两角和与差的三角函数教学设计

一、教材的地位和作用：

本节课位于北师大版数学必修4第三章第二节，共需两课时，本节课是第一课时，两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是后继内容二倍角公式知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用，是整个三角恒等变形的基础，而且是向量知识的应用，所以有承前启后的作用。本课时主要讲授用向量推导两角和与差的余弦公式。 二、教学目标及重点、难点的设定： 1、知识目标：

①能够推导两角差的余弦公式。

②能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的 正、余弦公式。

③能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。 2、能力目标：

通过证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为处理问题的工具的作用。 3、情感目标：

通过本节学习，引发学生学习数学的兴趣，提高学生的思维能力。 教学重点难点：

本节的重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其推导。

本节的难点：灵活运用公式进行求值、化简和证明。 三、学情分析：

学生已经掌握了向量的有关知识，也具备了一定的逻辑推理能力，但是所授对象为普通学校学生，他们对新知识的认知能力有一定的困难，所以教学设计要把难度降低，特别是引导学生所设计的问题要有利于学生思考方向的定位。 四、学法指导：

1.要求学生熟悉向量的数量积的概念，以及向量数量积的坐标表示，特别单位向量的数量积，还有在单位圆，直角坐标系中角，向量的坐标这些必要的知识准备。体现循序渐进，温故知新的认知规律。 2.让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学方式：发现式、探究式

六、教学手段：计算机辅助教学（多媒体） 七、教学方法设计：

新课标指出 “应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟思考”。创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用

和学生主体作用的和谐统一。而让学生体会解决问题的过程更是新课程的中心。因此我采用了如下教学方法:创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----体会过程----解决问题。

另一方面本节课中“向量的数量积”虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，特别是单位向量，以及夹角的构造，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间，多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。 八、教学过程：

问题 cos15=？ 0师生活动 教师引导学生思考：cos60 =，cos45=000设计意图 创设问题情境，02，152120自然流畅地提出问题，揭示课题，是60与45的差，由此我们能否引发学生思考。得到：cos15= cos（60 -45 ）使学生目标明=？大家可以猜想，是不是等于呢确、进入角色。 00cos60- cos45 ？ 凭直觉得出 = 是否有 = 成立呢？ 是学生容易出现= 是否恒成立？ 的错误，通过讨学生自主研究得出结论（不论弄清结论，使恒成立，但也不是总不成立）。 学生明确“恒等” 的含义，同时为000进一步明确本节课的探索目标奠定了基础。 a.b= 向量的主要作用之一就是讨论几通过复习提问使│a│.│b│。何度量问题，例如，长度和角度学生熟悉基础知cos 中如果a，问题。从向量的数量积定义：识、特别是向量bb.=│.│知道两的夹角如何如计aab都是单位向量，││cos，有结论？ 个单位向量的数量积就等于它们算，为下 一环节之间夹角的余弦函数值。 铺垫。 如何把单位向量在第一章的学习当中我们知道，和三角函数结合设角的终边与单位圆的交点为起来解决我们开A，则cos等于角的终边与单位通过复习提问使始提出的问题 圆交点的横坐标，sin等于角学生熟悉基础知的终边与单位圆交点的纵坐标。识、特别是向量所以点A的坐标为（cosα,sin的数量积的概念α）而向量OA的坐标也是（cos和坐标表示以及α,sinα）这样，结合我们刚才用角的正、余弦的几个问题，我们把向量和三角表示特殊点的坐函数联系起来了那么如何构造角标为新课的推进呢？在直角坐标系中，以x做准备 轴为始边，分别做角α、β，其终边分别与单位圆交于A (cosα,sinα),B(sinβ,cosβ),则∠AOB=α-β。 设向量0a=( cos60 ,sin引导学生说出自己的发现 通过一个向量数量积运算使学生从形上猜想出cos（α-β）究竟等于什么，并且是真正感知的向量的工具作用。给学生思考60), 0b=( cos45 ,sin045), 试分别计算 a.b=│a│.│b│cos以及0a.b= x1x2 +y1y2 .你们发现了什的方向有个引么？ 如果把6045 学难点，激发学换成α、β有何结论？ 能否推广？ 如何证明？ 引导学生通过向量数量积的概念让学生经历用 0 0导，也分散了教生猜想，探求公式的欲望。 以及坐标表示分组讨论，启发学向量知识解决一生在单位圆中寻找COS(α+β)个数学问题的过与角α、β的三角函数间的等量程，体会向量的关系。体会推导的过程，鼓励与工具作用及应用同伴分享成果，最后老师小结，价值。 给出两角差的余弦公式： cos()coscossinsin的若学生中有用非证明。从而突出了重点。此环节向量的方法证明学生存在三两个困难：①三角函的，可在课堂中数表示单位圆上点的坐标，它虽展示不同证明方然算理简单，但学生由于陌生而法，让学生既体很不习惯，通过前面习环节应该会向量法证明的有所熟悉。②用向量构造角α-简捷性，又培养β，而前面设计的具体的向量数了学生思维的灵量积运算可以帮助他们克服困难活性和发散性。 ③推导过程中α，β的任意性，老师通过几何画板的动态演示让学生观察这一点的真实性。 -代替会有什么鼓励学生进一步扩大结论，以-再一次激发学结论？ 代替得到两角和的余弦：cos()coscossinsin 生学习的兴趣。 本节课开始时的利用差角公式求 的值。 通过练习使学生疑问 解： 原式=cos(60°-45°) 理解公式的简单= cos60°cos45°+sin60°应用。 sin45° 例1 ：计算 15构造成两个特让学生熟练两角分析：把75、和与差的余弦公① cos15 殊角的和、差. ②cos75 式，也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。 练习 1证明： (2)cos2cos (1)cossin2练习的设计更具目的性，前一个练习既让学生熟悉了公式，又巩固两个诱导式，了体现了代数思想，也实践了学以制用的原则。后两个练习是公式的逆用，锻炼了学生的逆向思维。 2不查表计算下列各式的值：（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin15 22 例2 已知sin，45目的在于熟悉公5,,cos,是第三象式，同时对同角132限角，求cos的值.。注意三角函数关系有复习的作用。 角、的象限，即符号问题。 课堂小结 (1)两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式，在解题过程中注意角、的象限，也就是符式。 引导学生归纳公号问题，学会灵活运用. 牢记公式形成知识结构图，便于记忆。（2）寻找角之间的关系，选择恰有助于学生对本当的公式解决有关问题。 （3）同学们要在实践中提高能力，学会合作，学会交流，学会向他人学习，下课注意对所学知识进行落实。 节课的内容更好地掌握。 作业 已知234，突出了学生学习cos()123，sin()，求135的个体差异现实 cos2的值。 九、板书设计：

两角和与差的余弦 公式 推导 例1 例2 十、教学反思：

1. 学生对于向量，单位圆知识点准备不到位，影响教学进度，特

练习 别是向量数量积。以后应要求学生提前准备。

2. 把学生的自主研究做为本节课的主题，研究的内容不仅仅是推导两角和的正弦或余弦公式，而是把重点放在研究思路和研究策略的制定上，教师只是引导作用，执行的不到位。

3.以学生学习活动为主，教师始终处在引导的地位，培养了学生的研究意识、创新意识。

4.从教学内容来看，向量，三角，单位圆的结合应是关键一环。