均值不等式教学设计 人教课标版(新教案)

． 均值不等式 整体设计

教学分析

均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．

本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习、和习题都是基本题，要求全做．

鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式＋≥的联系．

三维目标

．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积

极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．

重点难点

教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．

教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．

课时安排 课时

教学过程 第课时

导入新课

思路.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．

思路.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．

推进新课 (\\\\(新知探究)) (\\\\(提出问题)) 错误!

活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数、的叫做数、的算术平均值，数叫做、的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，、必须是正

数，等号成立当且仅当＝，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．

利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到＋≥.这是一个很重要的结论．一般地，如果、∈，那么＋≥(当且仅当＝时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：

∵＋－＝(－)， 当≠时，有(－)＞.

当＝时，有(－)＝，所以(－)≥，即＋≥.

这个不等式对任意实数，恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是、为实数，等号成立的条件是当且仅当＝时成立．“当且仅当”即指充要条件．

下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．

如图，是圆的直径，点是上一点，＝，＝.过点作垂直于的弦′，连结、.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？

图

(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)

这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△∽△.所以可得＝.或由射影定理也可得到＝.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即小于或等于圆的半径，用不等式表示为：

≥.

显然，上述不等式当且仅当点与圆心重合，即当＝时，等号成立．

还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若、∈＋，则≤，当且仅当＝时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：＋≥或≤＋等．

讨论结果： ()()略．

()均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长． ()若、∈，则≤，当且仅当＝时，式中等号成立； 若、∈，则＋≥，当且仅当＝时，式中等号成立； 若、∈，则＋≥，当且仅当＝时，式中等号成立． (\\\\(应用示例)) 例(教材本节例)

活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的和相当于均值不等式中的、.因此必须有，∈＋.

点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯. 变式训练 已知、、都是正实数，求证：(＋)(＋)(＋)≥. 证明：∵＞，＞，＞， ∴＋≥＞，＋≥＞，＋≥＞. ∴(＋)(＋)(＋)≥··＝， 即(＋)(＋)(＋)≥.

例已知(＋)(＋)＞(＋)，求证：＋≥.

活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与互为倒数，它们的

＋＋

积为，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题．

证明：∵(＋)(＋)＞(＋)， ∴＋＋＋＞＋. ∴－＋－＞. ∴(－)－(－)＞. ∴(－)(－)＞， 即－与－同号． ∴与均为正数．

∴＋≥＝(当且仅当＝时取“＝”)． ∴＋≥.

点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．

例若＞＞，＝，＝(＋)，＝，则( ) ．＜＜ ．＜＜ ．＜＜ ．＜＜

活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据、、三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数＝的单调性．

答案： 解析：∵＞＞， ∴＞＞. ∴(＋)＞·，即＞. 又∵＞， ∴＞＝(＋)． ∴＞.故＜＜.

点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例(教材本节例)

活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在()中，矩形的长与宽的积是一

个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在()中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．

点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．

(\\\\(知能训练))

．“＝”是“对任意的正数＋≥1”的( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分又不必要条件 ．若正数、满足＝＋＋，则的取值范围是． 答案：

． 解析：一方面，当＝时，对任意的正数，有＋＝＋≥；另一方面，对任意正数，都有＋≥，只要＋≥≥，即得≥.

．[，＋∞) 解法一：令＝(＞)， 由＝＋＋≥＋，得≥＋， 解得≥，即≥，故≥.

解法二：由已知得－＝＋，(－)＝＋， ∴＝(＞)．

∴＝·＝[(－)＋]＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋≥＋＝.

当且仅当－＝时取等号，即＝＝时，的最小值为. ∴的取值范围是[，＋∞)．

点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考＋

与的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．

由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法． (\\\\(课堂小结))

．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？

．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式＋≥；两正数、的算术平均数()，几何平均数()及它们的关系(≥)．两关系式成立的条件不同，前者只要求、都是实数，而后者要求、都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．

(\\\\(作业))

习题—2A组，.习题—组，.

设计感想

．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①，都是正数；②积(或和＋)为定值；③与必须能够相等．

．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．

(设计者：郑吉星)

第课时

导入新课

思路.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果，∈，那么＋≥(当且仅当＝时取“＝”)；二是均值不等式：如果，是正数，那么≥(当且仅当＝时取“＝”)．在这个不等式中，为，的算术平均数，为，的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．＋≥与≥成立的条件是不同的，前者只要求，都是实数，而后者要求，都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．

思路.(直接导入)通过上节课＋≥(、∈)与≥(＞，＞)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．

推进新课

(\\\\(新知探究)) (\\\\(提出问题)) 错误!

活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与＋≥的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与＋≥都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是与都为实数，并且与都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是与都为正实数，并且与都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如＝，＝，仍然能使≥成立．

两个不等式中等号成立的条件都是＝，故＝是不等式中等号成立的充要条件．

在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．

本节课我们将进一步探究均值不等式的应用． 讨论结果： ()()略．

()应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”． (\\\\(应用示例)) 例(教材本节例)

活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将()变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．

点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能. 变式训练 函数＝(＋)－(＞且≠)的图象恒过定点，若点在直线＋＋＝上，其中＞，则＋的最小值为． 答案： 解析：∵＝(＋)－恒过点(－，－)，∴(－，－)． 又∵在直线上， ∴－2m－＋＝，即2m＋＝. 又∵＞，∴＞，＞. 而＋＝＋ ＝＋＋＋≥＋×＝， 当＝，＝时取“＝”． ∴＋的最小值为.

例()已知＜，求函数＝－＋的最大值；

()已知、为实数，求函数＝(－)＋(－)的最小值．

活动：()因为－＜，所以首先要“调整”符号．又(－)·不是常数，所以应对－进行拆(添)项“配凑”．()从函数解析式的特点看，本题可化为关于的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(－)＋(－)为定值，则用变形不等式≥()更简捷．

解：()∵＜，∴－＞.

∴＝－＋＝－(－＋)＋≤－＋＝.

当且仅当－＝，即＝时，上式等号成立． ∴当＝时，＝.

()∵＝(－)＋(－)＝(－)＋(－) ≥[]＝，

当且仅当－＝－，即＝时，上式等号成立． ∴当＝时，＝.

点评：若、∈＋，＋＝，＝.若为定值，则当且仅当＝时，的值最小；如果为定值，则当且仅当＝时，的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.

变式训练 已知在△中，∠＝°，＝，＝，是上的点，则点到、的距离乘积的最大值是． 答案： 解析：方法一：以、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线方程为＋＝，设(，)，则＋＝(＞，＞)． ∴＝··≤()＝， 当且仅当“＝”时等号成立． 方法二：设到的距离为，到的距离为. 由相似三角形易得＝，＝， ∴＋＝＝.以下解法同一．

例当＞－时，求函数()＝的值域．

活动：教师引导学生观察函数()的分子、分母特点，可作如下变形：()＝＝＝＋＋－. 这样就可以应用均值不等式了． 解：∵＞－， ∴＋＞.

∴()＝＝＝＋＋－≥－＝－，当且仅当(＋)＝时，即＝－时取“＝”． 另一解＝－－＜－(舍去)，故函数值域为[－，＋∞)．

点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，

既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可. 变式训练 已知···…·＝，且、、、…、都是正数，则(＋)(＋)…(＋)的最小值是． 答案： 解析：∵＞，则＋≥， 同理，＋≥， …… ＋≥， 各式相乘，得 (＋)(＋)…(＋)≥·＝. 取“＝”的条件为＝＝＝…＝＝， ∴所求最小值为.

例设＜＜，求函数()＝的最大值，并求相应的值．试问＜＜时，原函数()有没有最大值？＜≤时，()有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．

活动：对本例中的函数可变形为()＝，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．

解：∵＜＜，∴－＞. ∴()＝≤＝，

当且仅当＝－，即＝时取“＝”． ∴函数()的最大值为，此时＝. 又()＝＝，

∴当＜＜时，()递增；当＞时，()递减． ∴当＜＜时，原函数()没有最大值．

当＜≤时，有最大值()，即()＝.

点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．

(\\\\(知能训练))

．函数()＝的最大值为( ) ．

．求函数＝＋(＞)的最小值，以及此时的值． ．已知、∈，且＋－＝，求＋的最小值． 答案：

． 解析：当＝时，()＝；当＞时，()＝＝≤，当且仅当＝，即＝时取等号． ．解：∵＞，∴＋≥·＝， 当且仅当＝，即＝时取等号． ∴当＝时，＋的值最小，最小值是. ．解：由＋－＝得(－)＝. ∵＞，＞，∴－＞. ∴＋＝＋＝－＋＋≥＋＝，

当且仅当－＝，即＝时，＋取最小值. (\\\\(课堂小结))

．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？

．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：()函数的解析式中，各项均为正数；()函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；()函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．

(\\\\(作业))

习题—2A组、、、、；习题—组、.

设计感想

．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是

＋

穿插进行的，且强调一题多解的训练．

．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．

．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．

备课资料

一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)

()设，，，…，为正实数，这个数的算术平均值记为，几何平均值记为，即＝)，＝，即≥，当且仅当＝＝…＝时，＝.特别地，当＝时，≥；当＝时，≥.

()用局部调整法证明均值不等式≥.设这个正数不全相等．不失一般性，设＜≤≤…≤，易证＜＜，且＜＜.在这个数中去掉一个最小数，将换成，再去掉一个最大数，将换成＋－，其余各数不变，于是得到第二组正数：，，，…，－，＋－.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为，那么＝＝，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为，则＝，

∵(＋－)－＝(－)(－)，由＜＜，得(－)(－)＞，则(＋－)＞.∴2a…－(＋－)＞1a…－·，即＞. 二、备用习题

．已知≥，≥，且＋＝，则( )

．≤ ．≥．＋≥ ．＋≤ ．若、、、、、是正实数，且＝＋，＝·，则( )

．＝ ．＜ ．≤ ．≥ ．若函数＝()的值域是[，]，则函数()＝()＋的值域是( ) ．[，] ．[，] ．[，] ．[，]

．某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则＝吨．

．直线过点()且分别交轴，轴正半轴于点，，为坐标原点，求△面积最小时的方程． ．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量(千辆时)与汽车的平均速度(千米时)之间的函数关系为＝)(＞)．

()在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到

千辆时)

()若要求在该时段内车流量超过千辆时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 参：

． 解析：对于选项：＋＝≥＝＝.故正确． ． 解析：∵、、、、、是正实数， ∴＝· ＝ ≥ ＝＋＝.

． 解析：令＝()，则∈[，]．

∴()＝()＝＋.该函数在＝处取得最小值，在＝处取得最大值. 故选.

． 解析：设一年总费用为万元，则＝·＋＝)＋≥)·)＝，当且仅当)＝，即＝时，等号成立．

．解：设直线的方程为－＝(－)，即＝＋－(＜)． 令＝，得＝－； 令＝，得＝＝－.

∴△＝(－)(－)＝＋＋(－)． ∵＜，∴－＞.

∴△≥＋＝，当且仅当－＝－，即＝－时取等号． 此时的方程为＝－＋.

．解： ()依题意，得＝))≤))＝， 当且仅当＝)，即＝时，上式等号成立， 所以＝≈(千辆时)． ()由条件得)＞， 整理，得－＋ ＜， 即(－)(－)＜， 解得＜＜.

答：当＝千米时时，车流量最大，最大车流量约为千辆时．如果要求在该时段内车流量超过千辆时，则汽车的平均速度应大于千米时且小于千米时．

(设计者：郑吉星)