2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学摸底考数学(理)试卷含详解

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A.Axx21

，Bx0x1，则AB（B.）D.1,11,1ab”的（bbcC.1,1）0,12.在ABC中，“B2A”是“A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件）exex3.函数y的图象大致为（2A.B.C.D.4.某算法的程序框图如图所示，若输出的y

2，则输入的x的值可能为2A.

12B.12C.32D.9

5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，2

书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则A.a1a3a29a31的值为a2a4a28a30

C.165B.1615216292D.16312201820182017201720162016

6.已知a2ln,b2ln,c2ln，则201720172016201620152015

A.abcC.cab

B.acbD.cba

3xy60xy2023

7.设x,y满足条件，若目标函数zaxbya0,b0的最大值为2，则的最小值为（abx0

y0

A.25B.19C.13）D.5）8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（A.136πB.144πC.36πD.34π9.在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)xax

2

4*D.10.已知数列an满足2an1anan2nN，且a1012，若函8422x数f(x)sin2x2cos，记bnfan，则数列bn的前2023项和为（）2A.8B.4412

b1在区间1,1没有零点的概率为（4）C.A.0B.2023C.-2023D.1x2y2

11.已知A，F分别是椭圆C:221ab0的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60的直线l分别交x轴ab

和椭圆C于M,N两点，且N点的纵坐标为b，若FMN的周长为6，则FMN的面积为（A.35）335B.235C.435D.1635x

,x12

12.已知函数f(x)elnx，若函数yf(x)(24a)f(x)1恰有5个零点，则实数a的取值范242xx,x1

围是（）B.1,

A,.824

949

49

24

C.1,

95

D.1,5

9

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

r13.已知ax,1，b1,2，c1,5，若a2b∥c，则a__________.x2y2

14.已知双曲线C:21a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，F1F223，当点P在C上运动时，2abPF1PF2的最小值为2，则双曲线C的离心率为______．15.立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是__________.16.已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运动，且线段PAr(0r长度为fr.给出以下四个命题：①f1





3)，记点P的轨迹3；2②f

23；③f

232333

④函数fr在0,1上是增函数，fr在2,3上是减函数.其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡的指定区域内.

17.已知数列an是前n项和为Sn2（1）求数列an的通项公式；（2）令bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn．18.已知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且absinAsinBcbsinC（1）求A的大小；（2）求sin

n1

2

C

B2sin2的取值范围.22

19.某地区2022年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率.用随机数x（xN，且0≤x≤9）表示是否下雨；当x0,m1mZ时表示该地区下雨，当xm,9时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：332992714772740951945431593169468332491435272027073898445719（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区2022年清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.时间年份t降雨量y

201212013220143201542016520176201872019820209292826272523242221经研究表明：从2012年至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程a，并用此回归直线方程计算：如果该地区2022年（t11）清明节有降雨的话，降雨量为多少？ybt

20.如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ACABSA2，ACAB，D,E分别是AC,BC的中点，F在SE上，且SF2FE.（1）求证：AF平面SBC；（2）在线段DE上是否存在点G，使二面角GAFE的大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由.x2y22321.已知椭圆C:221（ab0）的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A(,)在椭圆C

ab22上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时，能在直线y在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.22.设函数fxaxlnx2a0.（1）若a2，求fx在点e,fe处的切线方程；e

5

上找到一点P，3（2）求fx的单调递减区间；（3）求证：不等式fxaxe恒成立.x宜春中学2023届高二下学期开学考试

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A.D【分析】根据一元二次不等式解法求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合Axx1x1x1，Bx0x1，所以AB0,1，故选：D.2.在ABC中，“B2A”是“A.充分不必要条件C.充要条件AAxx21

，Bx0x1，则AB（B.）D.1,11,1C.1,10,12ab”的（bbc）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件a

ba(bc)用正弦定理化边为角，并转化为【分析】根据充分必要条件的定义判断，在B2A时，利用作商bb2bccosA的函数式，利用A的范围证处此式大于1，从而得充分条件，反之，可举例说明不正确．【详解】若B2A，则C3A，A0,



3

a2ba(bc)sinA(sin2Asin3A)4cosA2cosA112cosA1A0,，bb2sin22A4cos2A4cos2A3

bca12cosA1b1.因此B2Aab.易知不等式ab不能得到等式关系cosA,1，0,b4cos2Abbcbbc2

bcB2A.例如：a3，b4，c5时，故选：A.ab，B2A.bbcexex3.函数y的图象大致为（2）A.B.C.D.B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值法排除即可；exexexexexex

【详解】解：因为函数yfx的定义域为R，且fx所以yfxfx，222e0e0ee1

为偶函数，又f01，故排除A、C；又f11，即f1f0，故排除D；22故选：B4.某算法的程序框图如图所示，若输出的y

2，则输入的x的值可能为2A.

12B.12C.39D.22

Csinx,x21

【详解】执行程序可得：y{，可将备选答案代入进行验证即可，当x=时，输出的y值显然是622x,x2

负值所以不成立，当x=13622时，y也不成立，当x时输出y所以选C22245.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则a1a3a29a31的值为a2a4a28a30

A.B【详解】由题意女子每天织布数成等差数列，且a15,S31390，由于a1a31a2a30，且165B.1615C.1629D.1631a1a3a3116(a1a31)1616(a1a31)15(a2a30)

，应a1a3a31,a2a4a30．所以aaa15(aa)15222230230选答案B．201820182017201720162016

6.已知a2ln,b2ln,c2ln，则201720172016201620152015

A.abcC.cabA【分析】根据题意构造函数f(x)2lnxx2(x1)，利用导数可判断出f(x)在(1,)上递减，然后根据函数的单调性可比较出大小.【详解】由题意设f(x)2lnxx2(x1)，则f(x)故函数f(x)2lnxx2在(1,)上为单调递减函数，又20172120172,20162120162，所以(20171)(20171)20172，(20161)(20161)20162，即2016201820172,2015201720162

B.acbD.cba

22222(1x)(1x)

2x0，xx201820172016

，201720162015201820172016

)f()f()，所以f(

201720162015所以所以abc，故选：A．3xy60

xy2023

7.设x,y满足条件，若目标函数zaxbya0,b0的最大值为2，则的最小值为（x0aby0

）A.25AB.19C.13D.5【分析】根据约束条件表示的平面区域，得目标函数的最值点，进而可得2a3b1，根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz(a0,b0)过直线xy20与直线3xy60的交点时，（4，6）

目标函数zaxbya0,b0取得最大值2，即2a3b1，而

23ba

(2a3b)13625．abab

故选:A．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.136πB.144πC.36πD.34πD【详解】分析：作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．详解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，直观图如图所示：其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=2，C到AB的距离为2，C到AD的距离为22，以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2,0，0），C（22，2，0），D（0，4，0），E（2,0，4）．设外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD=ME，∴x2+y2+z2=（x﹣2）2+y2+z2=（x﹣22）2+（y﹣2）2+z2=x2+(y﹣4）2+z2=(x﹣2）2+y2+（z﹣4）2，解得x=2，y=2，z=2．2∴外接球的半径r=MA=117，44=22∴外接球的表面积S=4πr2=34π．故选D．点睛：：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.9.在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)xax

2

A.D8B.44C.4812

b1在区间1,1没有零点的概率为（4D.）4

【详解】在区间[0，2]上任取两个数a,b，0a2则，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，0b2

∵0a2，∴抛物线的对称轴为x则当x

a

时，函数取得最小值，2a

[1,0][1,1)，212b[0,1]，即当0x1上f(x)0，4122

∴要使函数f(x)xaxb1在区间(1,1)没有零点，4∵0b2∴f(0)1

b22411a

则函数的最小值，即a2b24，作出不等式对应的平面区域如图：（阴影44b2a20

44部分），对应的面积S

1

22，4，故选D．4则对应的概率P点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10.已知数列an满足2an1anan2nN则数列bn的前2023项和为（A.0B【分析】根据条件，得到数列an是等差数列，由a1012

B.2023）C.-2023D.1*且a，1012



2x，若函数f(x)sin2x2cos，记bnfan，22，2得到2a1012a1a2023a2a2022，进而推导出sin2a1sin2a2023sin2a1sin(22a1)0，cosa1cos(a1)0，最后，求得数列bn的前2023项和【详解】∵2an1an2an(nN)，∴数列an是等差数列，∵a1012

2xsin2xcosx1，，∴2a1012a1a2023a2a2022∵函数f(x)sin2x2cos22∴bnfansin2ancosan1，b1012fa10121∵f(a1)f(a2023)sin2a1cosa1sin2a2023cosa20232

sin2a1sin2a2023sin2a1sin(22a1)0，cosa1cos(a1)0，f(a1)f(a2023)2，同理f(a2)f(a2022)2

则数列bn的前2023项和2101112023故选B．x2y2

11.已知A，F分别是椭圆C:221ab0的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60的直线l分别交x轴ab和椭圆C于M,N两点，且N点的纵坐标为b，若FMN的周长为6，则FMN的面积为（A.A【分析】设l:y3xb，与椭圆方程联立可得xN,yN，由yN35）335B.235C.435D.163533b可求得cb，可知M为椭圆右焦点，53由焦点三角形周长可构造方程求得b的值，进而得到MF,yN，由此可得到所求三角形面积.【详解】y3xb

23223ab22222b,0b3ax23abx0设l:y3xb，M；由得：，，xxyN322b3a221

ba12426a2b332222

abcabb，解得：，，cb，yN2bb2333b3a5即M为椭圆的右焦点，△FMN的周长为2a2c6，即ac3，

23333，bb3，解得：b3，MF2，yN

335SFMN

故选：A.133.MFyN

25x

,x12

12.已知函数f(x)elnx，若函数yf(x)(24a)f(x)1恰有5个零点，则实数a的取值范242xx,x1

围是（）B.1,

A.,

824C949

49

24

C.1,

95

D.1,5

9

【分析】先研究x1时，f(x)x的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令f(x)t，通过换元后数形elnxxlnx1，则f(x)，elnxeln2x结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.【详解】解：当x1时，f(x)当1xe时，f(x)0，f(x)单调递减，当xe时，f(x)0，f(x)单调递增，f(e)1；所以x1时，f(x)󰁦1时，f(x)52xx2(x1)25󰁥5；当x󰁥

作出f(x)大致图象如下：由函数y[f(x)]2(24a)f(x)1恰有5个不同零点，即方程[f(x)]2(24a)f(x)10恰有5个不等实根，令f(x)t，则方程t2(24a)t10(*)，令函数u(t)t2(24a)t1，①方程(*)在区间(,1)和1,5上各有一个实数根，则

u(1)124a109

，解得1a；5u(5)255(24a)10

u(1)124a10

(*)②方程在区间1,5和(5,)各有一个实数根，则，不等式组无解；u(6)255(24a)10

③方程(*)的两根为1和5，此时

1524a151

无解．综上，1a故选：C.9．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

r13.已知ax,1，b1,2，c1,5，若a2b∥c，则a__________.10【分析】利用平面向量的坐标的线性运算求得a2b(x2,5)，利用向量平行的坐标表示得到方程求得x的值，进而利用向量的模的坐标公式求得结论.

r

【详解】∵ax,1，b1,2，∴a2b(x2,5)，x25,∴x3,∴a

3,1,又∵c1,5，a2b∥c，∴

1522∴a(3)110，故答案为：10x2y2

14.已知双曲线C:21a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，F1F223，当点P在C上运动时，2abPF1PF2的最小值为2，则双曲线C的离心率为______．a223【分析】设Px0,y0，则xa2y0，求出PF1PF2󰁦a232,求出a的值即得解.b202



【详解】解：设Px0,y0，22x0y0a2222则221,x0a2y0，abbQF1(3,0),F2(3,0)，c23a2b2PF1PF2x03c22x03yxy32y0a23󰁦a23，b202020当y00时等号成立，QPF1PF2的最小值是2，a232，解得a1，又c



3，c

3，ae

故答案为：315.立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是__________.5.76【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】设男生的指标数分别为x1,x2,,x24，女生的指标数分别为y1,y2,,y16，则xi

i1

24

2424

12,i1

xi122424

2i

24

2

4

，yi

i1

16

1610,i1

16

yi101616

16

2

6

，所以x

i1

i

288,x9624144，yi160,yi29610160，i1

i1

i1

所以本次调查的总样本的平均数为xy

i11

2416

40i1i



288160

11.2，40本次调查的总样本的方差是x11.2y11.2i1i

24

2

16

2

40i1i



x

i124

2i

22.4xi2411.2y22.4yi1611.22

2

i12416

40i12i

16

i1962414422.42882411.22101609622.41601611.22

5.76故答案为：5.76

4016.已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运动，且线段PAr(0r长度为fr.给出以下四个命题：①f1

3)，记点P的轨迹3；2②f

23；③f

232333

④函数fr在0,1上是增函数，fr在2,3上是减函数.其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）①④【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0),P(x,y,z)，所以PAr的轨迹的几何意义是以A(0,0,0)为圆心r为半径的球面．则lf(r)是r的函数，当r1时，以A(0,0,0)为圆心r为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是lf(1)3

1321，故答案①正确；当r2时，4223时，以A(0,0,0)3以A(0,0,0)为圆心r为半径的圆过点B1,C,D1，则lf(2)32，故答案②不正确；当r

为圆心r为半径的圆过点Q(0,1,

3231233则lf(故答案③不正确；由于0r1)，)32，331233时，单调递增且当r1时，lf(r)最大；当r(2,3)，单调递减，故答案④正确；应填答案①④．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解．难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡的指定区域内.

17.已知数列an是前n项和为Sn2（1）求数列an的通项公式；（2）令bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn．（1）an2n（2）2

n1n1

2

n2n

2

2【分析】（1）减项作差即可，注意对首项单独讨论；（2）先求出bn的通项公式，再分组求和.【小问1详解】∵Sn2

n1

2

n1当n2时，anSnSn12当n1时，a12满足上式，2(2n2)2n所以数列an的通项公式为an2n.【小问2详解】由（1）得，bn2log22

23n2

nnn，n则Tn(21)(22)(23)(2n)

2(12n)n(1n)n2nn1

(2222)(123n)22.122223n18.已知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且absinAsinBcbsinC（1）求A的大小；（2）求sin

C

B2sin2的取值范围.22

31,0（1）A=;（2）.23

【分析】（1）运用正弦定理化角为边，再结合余弦定理进行求解；（2）运用三角变换公式将表达式化为角的函数，再借助函数的定义域求其值域即是取值范围．【详解】（1）因为absinAsinBcbsinC，由正弦定理有ababcbcA为锐角，∴A=（2）由题，b2c2a2bc1

即有bcabc由余弦定理得cosA，又2bc2bc22

2

2

3C2

sinB2sin2cosBcosC1cosBcosB1

22313

cosBcosBsinB1sinB1又在锐角ABC中，有226



0B0B22B，

2620C0B

322

所以23B，所以sinB1，363263

，B时，sinB；63662，B时，sinB1；6236当B

当B

32C1,0.∴sinB2sin的取值范围是222

19.某地区2022年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率.用随机数x（xN，且0≤x≤9）表示是否下雨；当x0,m1mZ时表示该地区下雨，当xm,9时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：332992714772740951945431593169468332491435272027073898445719（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区2022年清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.时间年份t

201212013220143201542016520176201872019820209降雨量y

292826272523242221经研究表明：从2012年至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程a，并用此回归直线方程计算：如果该地区2022年（t11）清明节有降雨的话，降雨量为多少？ybt

（1）m5，29179t，19.2mm306m

50%，可得m5，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，从而根据古典概型的概率计算公式【分析】（1）由10y（2）即可求解；9

2

5（2）由题中所给的数据可得t5，y25，根据公式b

t

i1

i

ti

y

ti

y2

t

i1

9，$ay$bt，求出回归直线方程，即可估计该地区2022年清明节有降雨的话，降雨量是多少.【小问1详解】解：由题意可知，m

50%，解得m5，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，10所给的20组数据中714，740，491，272，073，445，435，027，共8组表示3天中恰有两天下雨，故所求的概率为【小问2详解】解：由题中所给的数据可得t5，y25，82；205t

i19i1

9

i

ty

2

i

y44332112001221334458，2

2

2

2

tti9

4321021222324260，所以b

ttyyi1i

i

tti1

i

92



582925295179，，aybt

6603030

29179t，30629179576y1119.2，当t11时，30630y所以回归方程为所以该地区2022年清明节有降雨的话，估计降雨量为19.2mm.20.如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ACABSA2，ACAB，D,E分别是AC,BC的中点，F在SE上，且SF2FE.（1）求证：AF平面SBC；（2）在线段DE上是否存在点G，使二面角GAFE的大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由.（1）见解析；（2）存在，DG

1

2【分析】（1）由已知可得EFAEAS，所以AFSE，又由已知可证BC底面SAE，所以BCAF，问题得解；

（2）以A为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面AFG的法向量为m(t,1,t1)，平面AEF的法向量为n(1,1,0)，所以有cos30

t12t21(t1)2，求解即可.【详解】（1）由ACABSA2,ACAB

E是BC的中点，所以AE2因为SA平面ABC，所以SAAE在RtSAE，SE因此AE

26，所以EF,SE

1

363EFSE,AEFAES

所以EFAEAS

则AFESAE90，即AFSE

SA平面ABC，SABC

又BCAE，BC底面SAE则BCAF，又SEBCE，所以AF平面SBC.（2）假设满足条件的点G存在，并设DGt，以A为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系则：A(0,0,0),S(0,0,2),E(1,1,0),G(1,t,0)，222222

SF2FE,F(,,)则AE1,1,0,AF,,,AG1,t,0333333

设平面AFG的法向量为m(x1,y1,z1)222mAF0xyz1011取y11，则x1t，z1t1333mAG0x1y1t0

222nAF0x2y2z20

3，33m(t,1,t1)设平面AEF的法向量为nx2,y2,z2，

nAE0xy022,x21,z20取y21



n(1,1,0)cos30

t0,1,t

t12t1(t1)22化简得：2t25t20

11

于是满足条件的点G存在，且DG.22【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.x2y22321.已知椭圆C:221（ab0）的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A(,)在椭圆C

ab22上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时，能在直线y



在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.x2（1）（2）不存在，理由见解析.y21；2【详解】试题分析：（1）由焦点坐标可得c1，再根据a2b2c2及点A(5

上找到一点P，323可得a22,b21，,)在椭圆C上，22进而可得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为y2xt，与椭圆方程联立可得9x28tx2t220，与判别式为正可得3t3，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点Q的纵坐标范围是圆上，所以这样的直线l不存在．7

y41，可判定点Q不在椭3x2y2试题解析：（1）设椭圆C的焦距为2c，则c1，因此椭圆方程为221(a21)

aa1132321(a1)解得a22A,在椭圆上，22222a4a1

x2故椭圆C的方程为y21．2（2）假设存在这样的直线设直线l的方程为y2xt，设Mx1,y1，Nx2,y2，Px3,，Qx4,y4，MN的中点为Dx0,y0，

53

y2xt,由{x22y1,2得9x28tx2t220，所以x1x2

8t22

，且8t362t20，则3t3，9yy2t2t

y1y22x1x22ty01由PMNQ知四边形PMQN为平行四边形，929而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，5

2t15y4t，可得y4所以，3y09297

又3t3，所以y41，3因此点Q不在椭圆上．所以这样的直线l不存在【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.22.设函数fxaxlnx2a0.（1）若a2，求fx在点e,fe处的切线方程；ex（2）求fx的单调递减区间；（3）求证：不等式fxaxe恒成立.（1）xey2e0（2）0,





1a

1

，结合切点坐标可得切线方程；e（3）证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率fe（2）求导后，根据x0,





1

时，fx0可得单调递减区间；a

x（3）设gxfxaxe，将问题转化为证明gx0；利用导数可说明x0

1

,1，使得gx在0,x02

上单调递减，在x0,上单调递增，由此可得gxmingx0，结合基本不等式可知gx00，由此得gx0，由此可得结论.【小问1详解】当a1

fe，又fe1，e2212时，fxxlnx2，fx，eeex1

xe，即xey2e0.e

1ax1a0；xx\\f(x)在点e,fe处的切线方程为：y1

【小问2详解】由题意得：fx定义域为0,，fxa令fx0，解得：x

1

0，a当x0,时，fx0；当x



1a1

,时，f¢(x)>0；a

\\f(x)的单调递减区间为0,





1.a

1x0，x【小问3详解】x设gxfxaxeelnx2，则gxexxyex在0,上单调递增，y在0,上单调递减，gx在0,上单调递增，又1x1

ge20，g1e10，2

11x

x0,1，使得gx00，则e0，x0lnx0，x02

gx在0,x0上单调递减，在x0,上单调递增，gxmingx0ex0lnx02又x0

11x022x020（当且仅当x01时取等号），x0x01

,1，gx00，gxgx00，即fxaxex恒成立.2