三年级奥数-周长

三年级奥数-周长

基本概念 ①周长：

封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． ②面积：

物体的表面或封闭图形的大小， 叫做它们的面积． 基本公式：

①长方形的周长2 (长 宽)， 面积 长， 正方形的面积

长 宽． ②正方形的周长4 边

边长 边长． 常用方法：

对于基本的长方形和正方形图形， 可以直接用公式求出它们的周长和面积， 对于一些不规则的比较复杂的几何图形， 我们可以采用 转化的数学思想方法割补成基本图形， 利用 长方形、 正方形周长及面积计算的公式求解． 转化是一种重要的数学思想方法：

在转化过程中要抓住变与不变两个部分． 转化后的图形虽然形状变了 ， 但其周长和面积不应该改变， 所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积． 转化的目 标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形． 寻求正确有效的解题思路：

意味着寻找一条摆脱困境、 绕过障碍的途径． 因此， 我们在解决数学问题时， 思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题． 也就是说， 在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时， 我们往往转化问题的形式， 从侧面或反面寻找突破口 ， 知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题． 这种解决问题的思想在数学中叫 化归， 它是数学思维中重要的思想和方法． 在几何中， 有许多 图形是由

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一些基本图形组合、 拼凑而成的． 这样的图形我们称为不规则图形． 不规则图形的面积往往无法直接应用 公式计算． 那么， 不规则图形的面积怎样去计算呢？ 对称、 旋转、 平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段． 平移：

在平面图形的计算中， 常常要将一个平面图形移动到平面上的另 一个位置进行计算． 其中， 将图形沿一个固定方向的移动叫做平移， 一个图形经过平行移动不改变其形状与大小， 所以图形面积是保持不变的． 利用 图形的平移， 可以使面积计算问题的解法简捷明快， 颇有新意． 割补：

割补法在我国古代叫 出入相补原理， 我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出出入相补， 各从其类的出入相补原理． 这个原理的内容是几何图形经过分、 合、 移、补所拼凑成的新图形， 它的面积不变． 对称：

平面图形中有许多 简单漂亮的图形都是轴对称图形． 轴对称图形沿对称轴折叠， 轴两侧可以完全重合． 也就是说， 如果一个图形是轴对称图形， 那么对称轴平分这个图形的面积． 熟悉轴对称图形这个性质， 对面积计算会有很大帮助． 代换：

在几何计算中， 对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧． 本讲主要通过求一些不规则图形的周长， 体会一种转化思想， 重点在于把不规则图形转化为规则图形原有图形结构 第六讲 几何问题（ 一） 知识点拨 对称 旋转 平移新的图形结构 在原有图形结构中解决问题较困难 在新的图形结构中解决问题较容易 的方法， 包括平移、 割补、 差不变原理， 通过这些方法的学习 ， 让学生体会求周长的技巧， 提高学生的观察能力、 动手操作能力、 综合运用 能力． 【例 1】 下图表示一块地， 四周都用篱笆围起来， 转弯处都是直角． 已知西边篱笆长17 米， 南边篱笆长 23 米． 四周篱笆长多少米？ 北南西东1723 北南西东B1723DCA 【解析】 因为这块地

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的东边和北边的篱笆转弯处是直角 ， 可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段 AD ， 将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段 BD ， 则折线 ACB 的长等于折线 ADB 的长． 所以东边和北边篱笆的长分别和西边、 南边的篱笆长相等． 列式为：

四周篱笆长为：

23 17280（）(米) 【巩固】 (希望杯培训题)右图的周长是 分米． 6

分米7分米 【解析】 把那些与水平方向平行的小线段都放下来， 恰好与底边一致； 把竖直方向的小线段都依次贴到左边， 恰好贴满左边， 因此多 有的短横线的长的和为 6 分米， 所有的短竖线的长的和为7 分米， 图形的周长为 67226计算右边图形的周长(单位：

（）(分米) 【巩固】

厘米)。

1510 【解析】 要求这个图形的周长， 似乎不可能， 因为缺少条件。

但是， 我们仔细观察这个图形， 发现它的每一个角 都是直角 ， 所以， 我们可以将图中右上缺角 处的线段分别向上、 向右平行移动到虚线处(见右下图)， 这样正好移补成一个长方形。

求长方形的周长就易如反掌了 。

所以图形的周长是：

(10 15)250(厘米)。

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【例 2】 下图中标出的数表示每边长， 单位是厘米． 它的周长是多少厘米？ 【解析】 平移转化为求长方形的周长， 长方形的长 5+6=11(厘米)， 宽 1+3=4(厘米)， 周长(11+4)2=30(厘米)， [(5+6)+(1+3)]2=30(厘米)， 它的周长是 30 厘米． 【巩固】 如下图是某校的平面图， 已知线段 a＝120 米， b＝130 米， c＝70 米， d＝60 米， l＝250 米． 杨老师每天早晨绕学校跑 3 圈， 问每天跑多少米？ 例题精讲 【解析】 【巩固】 平移法转化为长方形再求． ［ (120＋ 130+60)＋ (70+250)］ 23＝ 3780(米)． 图⑴、 图⑵都是由完全相同的正方形拼成的， 并且图⑴的周长是 22厘米， 那么图⑵的周长是多少厘米？ (2)(1) 【解析】 图⑴的周长是小正方形边长的12倍， 图⑵的周长是小正方形边长的18 倍， 因此， 图⑵的周长为 22 12 1833

厘

米． 【例 3】 【解析】 【例 4】 下图的小正方形边长为 1 厘米． 这个图形的外沿的周长是多少厘米？ 28 厘米 一个周长是 20 厘米的正方形， 剪下一个周长是 6 厘米的正方形， 剩下的图形的周长是 ． (写出所有可能的结果) 周 长为 6 厘米的正方形的边长为：

641.52045(厘米)， 在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：

【解析】 (厘米)， 周 长为 20 厘米的正方形的边长为图1图2 对于图 1 的周长， 与原来正方形的周长相等， 为 20 厘米； 图 2 的周长， 观察可以发现， 比原来正方形的周长多 了 两条小正方形的边， 即为：

20 1.5223(厘米)． 【巩固】 求右图的周长． 【解析】 140 厘米 【例

5】 求下图的周长． 【解析】 通过平 移 转化为 右 上图 ， 周 长等 于 大长方 形 周 长加 上 AB、 CD 的 长， 即 有 周 长为(50+35)2+102=190(厘米)． 【例 6】 (第七届小机灵杯数学竞赛初赛)下面两张图中， 周长较大的是 ． (在横线上填写表示图名的字母) 141410BA 【解析】 通过平移比较发现

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B 比 A 多 两小段边， 得 B 的周长较大． 【巩固】 如下图， 正方形操场边长 100 米， 一只蚂蚁沿甲地走了一圈， 另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？ 即 为【解析】 我 们 分 别 求 甲 、(100+50+30)2=360(米)． 再求乙的周长． 乙的周长等于长方形周长加上 2 个 30 米， 即为(100+50)2+302=360(米)． 所以它俩走的一样长． 乙 的 周 长 ．甲 的 周 长 可 转 化 为 长 方 形 周 长 ( 如 图 ) ， 【巩固】 求右图所示图形的周长(单位：

分米) 501050 【解析】 这道题最简单的方法也是用 平移法来解． 下面我们来看一个基本解法． 这是一个组合图形， 由两个矩形组成， 不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长． 仔细观察图形可以发现：

右边矩形的右边边长可以移到左边， 这样就可以使左边的矩形变得完整． 所以， 这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的 2 倍． 即：

50 10250 2220（）(分米) 【例 7】 如图是一个机器零件的侧面图， 图

中每一条最短线段长 5 厘米， 这个零件高 30 厘米， 求这个零件侧面的周长是多少厘米？ 【解析】 采 用 平 移 ，(57+30)2+510=180(厘米)． 零 件 侧 面 的 周 长 等 于 长 方 形 周 长 加 上 内 部 10 条 最 短 线 段 长 ，即 【例 8】 下图是一面砖墙的平面图， 每块砖长 20 厘米， 高 8 厘米， 像图中那样一层、 二层一共摆十层， 求摆好后这十层砖墙的周长是多少？ 【解析】 我们仍然可以通过平移转化为长方形来求． 长方形的长是10块砖的长度， 即 2010=200(厘米)，宽是 10 块砖的宽度， 即 810=80(厘米)， 所以十层砖墙的周长是(200+80)2=560(厘米)． 【巩固】 把长 2 厘米、 宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状， 求该图形的周长？ 【解析】 【例 9】 66 厘米 右图是由16 个同样大小的正方形组成的， 如果这个图形

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的面积是 400 平方厘米， 那么它的周长是多少厘米？ 【解析】 考虑此类问题我们即可以局部分析， 各个突破， 也可以纵观全局整体思考． 每个正方形的面积为 400 1625

(平方厘米)， 所以每个正方形的边长是5 厘米． 观察右图，这个图 形的周 长

4 23 420

条正方形的边组成， 所以其周长为 5

厘米． 【巩固】 下

从上下方向来看是由 72

1414条正方形的边组成， 从左右方向来看是由5 20190

图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的土字图形． 试求出其周长． 【解析】 【例 10】 如图所示， 一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形， 各条线段长度见图(单位：

厘米)． 求：

图中所有长方形的周长之和． 周长是由 24 条 1 厘米的边长组成， 所以周长=124=24(厘米)． 21342 【解析】 类似于上题， 题目 中所说的长方形， 并不只包括最小的几个长方形， 因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了 多 少次． 因为没从大长方形的长上找到一条线段， 就能对应地找到大长方形内 的一个长方形， 所以可以利用 上一个问题的结论来解决这个问题． 当然， 要考虑到， 每个长方形都有两条长和两条宽， 因此计算过程中应该注意不要漏算． 先考虑大长方形的长上各边：

应用上一道题目 的结论， 每条边上长为 4、 3、 1、 2 的线段分别被计算了 4、 6、6、 4 次． 然后再考虑大长方形的宽：

因为共有 4被计算了 10 220（ 次）． 故总周长可以用下式计算得到：

24 43 6 1 6宽2 42 20 136

32 1 10 个长方形， 所以长度为 2 的

（ 厘米）． 【铺垫】 求图中所有线段的总长(单位：

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厘米) 2134EDCBA 【解析】 要注意到， 题目 所求的是图中所有线段的总长， 而图中的线段， 并不仅仅是 AB 、 BC 、 CD 、DE 四段， 还包括 AC 、 BE 等等， 因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和． 同时应该注意到，43ACABBCBEBCCD

；

图中所有线段的总长， 需要先计算 AB、 BC、 CD、 DE 这四条线段分别

被累加了 几次． 这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：

由 1 段组成的线段共有 4 条， 即 AB、BC、 CD、 DE， 而求和过程中 AB、 BC、 CD、 DE 这四条线段各被累加了 1 次． 类似地考虑到， 由 2 段组成的线段共有 3 条， 求和过程中 AB、 DE 各被累加了 1 次， BC、 CD 各被累加了 2 次． 由 3 段组成的线段共有 2 条， 求和过程中 AB、 DE 各被累加了 1 次， BC、 CD 各被累加了 2 次． 由 4 段组成的线段只有 AE， 其中 AB、 BC、 CD、 DE 各被计算了 1 次． 综上所述， AB、 DE 各被计算了 4 次， BC、 CD 各被计算了 6 次． 因而图中所有线段的总长度为：

44263 148 (厘米) 【例 11】 如图， 正方形的边长为 4 ，

被分割成如下12 个小长方形， 求这12 个小长方形的所有周长之和． 3 1 26DE

， 等等． 因此， 为了 计算 【解析】 4 4 【巩固】（希望杯第一试） 如

右图， 正方形 ABCD 的边长是 6 厘米， 过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9 个小长方形。

这9 个小长方形的周长之和是多少厘米？ 4 5 2 56． ABCD 【解析】

从总体考虑， 在求这9 个小长方形的周长之和时， AB 、 BC 、 CD 、 DA 这四条边被用 了 1 次，其余四条虚线被用 了 2 次， 所以 9 个小长方形的周长之和是：

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6 46 2 4 72（ 厘米）。

【例 12】 边长是15 厘米的 3个正方形拼成一个长方形， 这个长方形的周长是多少？ 【解析】 想一想， 把几个正方形拼合在一起， 拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多 少呢？ 由 3个大小相同正方形拼成一个长方形， 只有一种拼法， 就是把三个正方形排成一排． 于是拼成的长方形的长是15 345 米． 所以长方形的周长是：

厘米， 宽是15 厘

(长 宽) 245 15 （ 【巩固】 两个大小相同的正方形拼成了一个长方形， 长

方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了 6 厘米， 原来一个正方形的周长是多少厘米？ 【解析】 先想一想， 减少的 6 厘米相当于正方形的几条边的边长呢？ 把两个正方形拼成一个长方形时， 拼成的长方形的周长比原来两个正方形的 8条边减少了 2 条边(如图所示) 2120

）(厘米)． 3而这两条边的和正好是减少的 6 厘米， 所以，

厘米． 所以原来一个正方形的周长是：

正方形的边长是6的周长是3 412

2 厘米， 原来一个正方形62 4 12(厘米) 【总结】 通过这个例题， 可

以看出， 求组合图形及一些特殊图形的周长与面积， 一定要仔细观察， 善于发现其中内 在的联系 ， 找出未知与已知的关系， 将问题转化， 从而得到解决． 下面我们来学习 几种求几何图形周长和面积的技巧． 【例 13】 ( 2007 年希望杯第一试)右图中的阴影部分 BCGF 是正方形， 线段 FH 长18 厘米， 线段 AC 长 24厘米， 则长方形 ADHE 的周长是 厘米． HGFEDACB 【解析】 本题需要注意， 长方形 ADHE 的宽应等于正方形 BCGF 的边长． 由于图 中 阴 影部分 BCGF 是个正方形， 其四条边的边长都相等， 且等于长方形 ADHE 的宽． FHAC的和应为长方形 ADHE 的长加上正方形 BCGF 的边长， 所以等于长方形 ADHE的长与宽之和． 所以长方形 ADHE 的周长为：

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(1824) 284厘米． 【巩固】 如图， 在长方形 ABCD 中， EFGH 是正方

形． 已知的周长． 10cmAF ，7cmHC ， 求长方形 ABCDHGFEDCBA 【解析】 通 过 观 察 发 现 AF1072

（）HG是 长 方 形 的 长 与 宽 ，所 以 长 方 形

ABCD 的 周 长 是34(cm )． 【例 14】 如右图所示， 在一个正方形内画中、 小两个正方形， 使三个正方形具有公共顶点， 这样大正方形被分割成了 正方形区域甲， 和 L形区域乙和丙． 甲的周长为 4 厘米， 乙的边长是甲的周长的1.5 倍， 丙的周长是乙的周长的1.5 倍， 那么丙的周长为多少厘米？ EF 长多少厘米？ 乙丙甲JIFEHGDCBA 【解析】 乙的周长实际上是正方形 AHJE 的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、 向下平移)， 同样的， 丙的周长也就是正方形 ABCD 的周长． 由于所以丙的周长为 9 436

厘米， 642EFAEAF

(厘米)． 4 1.56AE

，6 1.59AD

， 【例 15】 用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成

一个大的平行四边形， 已知大平行四边形的周长是 244 厘米， 那么平行四边形和三角形各有多少个？ 【解析】 大平行四边形上、 下两边的长为 (2442 2) 四边形的边， 所以共有小平行四边形120 量相等， 也是40个． 【巩固】 用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形， 已知大平行四边形的周长是 236 厘米， 那么平行四边形和三角形各有多少个？ 2120

厘米，

观察上边， 每6 厘米有两个平行6 240个， 而三角 形的数量与小平行四边形的数 【 解析】 大平行四边形上、 下两边的长为 (236四边形的边， 1162 2)米， 观察上边， 每6 厘米有两个平行38个， 小平行四边形 38 16192三角 形19 2

2116

厘

， 所以有

39 个． 【例 16】 有9 个小长方形， 它们的长和宽分别相等，

用这9 个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是 45 平方厘米， 求这个大长方形的周长． 【解析】 从图上可以知道， 小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍， 所以长是宽的 5方形的面积为 4595422.5)2

41.25

平方厘米， 所以 1.25 宽 宽长方形的周长为 (2.5

倍． 每个小长5， 所以宽为 2 厘米， 长为 2.5 厘米． 大

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29厘米． 【巩固】 右图的长方形被分割成5 个正方形， 已知原长方形的面积为

120平方厘米， 求原长方形的长与宽． 【解析】 大正方形边长的 2 倍等于小正方形边长的 3倍， 所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5 倍，大 正 方 形 的 面 积 是 小 正 方 形 面 积 的 1.5 1.5120(2.25 23)16

平方厘米， 所以小正方形的边长

厘米， 宽为

为 4 厘米， 大正方形的边长为 6 厘米，原长方形的长为 4 3124610

2.25

倍 ，所 以 小 正 方 形 面 积 为厘米． 【例 17】 冯大叔给儿

子做玩具用8个一样大的小长方形拼图， 拼出了 如图甲、 乙的两种图案：

图案甲是一个正方形， 图案乙是一个大的长方形； 图案甲的中间留下了边长是2cm 的正方形小洞． 求小长方形的长和宽？ 【解析】 由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽， 由乙图可以看出， 设小长方形的宽为 x cm ， 则小长方形的长为 (2于小长方形的 5 个宽， 列方程得53(22)xx

， 解得为 6

cm ． 2)x cm ， 根据乙图小长方形的 3个长等6， 所以小长方形的长为 10 cm ， 宽x 【巩固】 用同样的长方形条砖， 在一个盆的周围砌成一个正方形边框， 如右图所示． 已知外面大正方形 的周 长是264厘米， 里面小正方形 的面积是900平方厘米， 每块长方形 条砖的长是_________厘米， 宽是______厘米． 【解析】 外面大正方形的边长为 264长方形的宽为 (6646618

厘米， 长方形的长为 (66 18)厘米， 里面小

30)2

24厘米． 练习1. 下图

正方形的边长为 30 厘米， 从图中可以看出，2

是一个锯齿状的零件， 每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米， 求这个零件的周长． 乙甲课后作业 【解析】 平移法， 将锯齿状的零件转化成平行四边形， 两组对边相等都等于 24 厘米 ， 所以这个零件的周长是 242=48(厘米)． 练习2. 右图是由七个长 5 厘米、 宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、 横放而成的图形． 求这个图形的周长？ 【解析】 平移法． {[(3+5)3+3]+5}2+6(5-3)2=76(厘米) 练习3. 如图， 每个小方格是一个正方形， 如果该图总面积是 52 个平方单位， 试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？ 【解析】 练习4. 用一块长8分米， 宽 4 分米的长方形纸板与两块边

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长 4 分米的正方形纸板拼成一个正方形． 拼成的正方形的周长是多少分米？ 40 个长度单位 48 【解析】 两块边长4 分米的正方形纸可以拼成一个长8分米， 宽 4 分米的长方形纸板， 与原有的一块8分米， 宽 4 分米的长方形纸板的面积一样大， 而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长． 所以， 拼法如图所示． 然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长． 拼成的正方形的周长是：

8 432(分米)

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