有关抽象函数周期性对称性

抽象函数的周期性与对称性

知识点梳理

一、 抽象函数的对称性

定理1. 若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线

xab2对称。

f(ax)f(ax)，推论1. 若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：则函数yf(x)的图像关于直线xa对称。

推论2. 若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：f(x)f(2ax)),则函数yf(x)的图像关于直线xa对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

推论3. 若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：f(ax)f(ax)， 又若方程f(x)0有n个根，则此n个根的和为na。

定理2. 若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：f(ax)f(bx)c（a,b,c为常数），则函数yf(x)abc,)的图象关于点22对称。

(推论1. 若函数yf(x)定义域为R,且满足条件：f(ax)f(bx)0成立，则yf(x) 的图象关于点

(ab,0)2对称。

1

推论2.若函数yf(x)定义域为R，且满足条件：f(ax)f(ax)0（a为常数），则函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

ba2对

定理3.若函数yf(x) 定义域为R，则函数yf(ax)与yf(bx)两函数的图象关于直线称（由axbx可得）。

x推论1. 函数yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称。

推论2. 函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线x0对称。

bac,)yf(x)yf(ax)ycf(bx)22对称。 定理4.若函数 定义域为R，则函数与 的图象关于点

(ba,0)yf(ax)yf(bx)推论. 函数与函数图象关于点2对称。

(二、抽象函数的周期性

定理5.若函数yf(x) 定义域为R，且满足条件f(ax)f(xb)，则yf(x)是以Tab为周期的周期函数。

推论1.若函数yf(x) 定义域为R，且满足条件f(ax)f(xb)，则yf(x)是以T2(ab)为周期的周期函数。

2

推论2.若函数满足条件

fxa1,则T=2afxyf(x) 则是以T2a为周期的周期函数。

推论3. 若函数满足条件

fxa1fx,则T=4a1fxyf(x) 则是以T4a为周期的周期函数。

定理7.若函数yf(x)的图象关于直线 xa与 xb(ab)对称，则yf(x)是以T2(ba)为周期的周期函数。

定理8.若函数yf(x)的图象关于点(a,0)与点(b,0)(ab) 对称，则yf(x)是以T2(ba)为周期的周期函数。

定理9.若函数yf(x)的图象关于直线xa与 点(b,0)(ab)，则yf(x)是以T4(ba)为周期的周期函数。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )

A．13 B．2

13

C. 2

D. 13

2

2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上( )

A．是增函数且最小值为－5

3

B．是增函数且最大值为－5

C．是减函数且最小值为－5

D．是减函数且最大值为－5

3．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.

4．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．

①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；

②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；

④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．

－2x＋b5．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a(1)求a、b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

6．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足

4

①f(x1－x2)＝

f(x1)f(x2)＋1f(x2)－f(x1)

；

②存在正常数a，使f(a)＝1.

求证：(1)f(x)是奇函数；

(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.

fxx2bxc1、若函数对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）

A.f (2)2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x－1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。

A.直线y=0 B.直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1

3、已知定义为R的函数fx满足fxfx4，且函数fx在区间2,上单调递增.如果x12x2，且

x1x24，则fx1fx2的值（ ）

A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负

4、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称

D．关于点（1，0）对称

5

5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数

C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

6、已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，

5f(f())2的值是（ ） 则

A.0

1B.2

C.1

5D.2

7、已知

1A.7 fx1xfx，f2xff1x，…，fn1xffnx，则f20042（ ）. 13x，f1xf

1B. 7

C.

35

D.3

8、在数列｛xn｝中，已知x1x21，xn2xn1xn(nN*)，则x100=

fx11fx9、yfx定义域为R，且对任意xR都有

fx1，若f212则f(2009)=

10、已知f(x)是R上的偶函数，对xR都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=

f02005gxfx1f200511、函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且，是奇函数，则的值为

6

112、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －2x，则f (8.6 ) =

_______

fxx2bxc参考答案：1、若函数对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ）

A.f (2)答案：A。

2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x－1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。

A.直线y=0 B.直线 x=0 C.直线 y=1 D.直线 x=1

答案：D。由x11xx1

3、已知定义为R的函数fx满足fxfx4，且函数fx在区间2,上单调递增.如果x12x2，且

x1x24，则fx1fx2的值（ ）

A. 恒小于0 B.恒大于0 C．可能为0 D．可正可负

答案A。分析：图象关于点2,0对称.fx在区间2,上单调递增，在区间,2上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.2x24x1，且函数在2,上单调递增，所以

fx2f4x1，又由fxfx4，有f(4x1)fx14fx144fx1，

fx1fx2fx1f4x1fx1fx10

7

4、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称

答案：D。解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。

5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数

C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

答案：C。

6、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）

A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

答案：A.解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

7、已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，

8

则

f(f(52))的值是（ ） 15A.0

B.2

C.1

D.2

答案：A。解析：令

x12，则12f(12)12f(11112)2f(2)f(2)0；令x0，则f(0)0

f12f122fx1xf(x1)(1x)f(fxFxfx112f由x)得x1x，构造函数x，由22，所以

5208、已知

fx1x13x，f1xffx，f2xff1x，…，fn1xffnx，则f20042（ 113A.7

B. 7

C.

5

D.3

1xx1答案：A。分析：由

fx13x，知f1x3x1，ffx12x3x1x，f3xfx.

f(x)为迭代周期函数，故f3nxfx，f2004xfx，

f20042f217.

9、在数列｛xn｝中，已知x1x21，xn2xn1xn(nN*)，则x100=

答案：1。

fx110、yfx定义域为R，且对任意xR都有

fx11fx，若f212则f(2009)=_

9

.

）

答案：-1-2。

11、已知f(x)是R上的偶函数，对xR都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=

答案：2.

12、函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数，且f02005，gxfx1是奇函数，则f2005的值为

0和x0对称，周期为4f2005f1f10。 答案：0.函数关于1，113、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －2x，则f (8.6 ) =

_______

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

11、设f(x)是定义在区间(,)上且以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1,2k1),已知当

xI02f(x)x.求f(x)在Ik上的解析式. 时，

解：设x(2k1,2k1),2k1x2k11x2k1

xI022f(x)x,由1x2k1得f(x2k)(x2k)时，有

10

f(x)是以2 为周期的函数，f(x2k)f(x),f(x)(x2k)2.

11