2020-2021学年山东省聊城实验中学九年级（上）月考数学试卷
一．选择题（共12小题）. 1．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形 B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形
2．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B 3．如图，AB∥CD，
B．∠E＝∠C C． D．
＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是（ ）
A． 4．已知sina＝A．75°
B． C． D．
，且a是锐角，则a＝（ ）
B．60°
C．45°
D．30°
，则S△ADE：S四边形BCED
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且的值为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB的值是（ ） A．
B．
C．
D．
7．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S
△ABF
＝4：25，则DE：EC＝（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
8．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，a∥b∥c，AB＝6，BC＝2，DE＝9，则EF的长为（ ）
A．4 B．3 C．2.5
，则α等于（ ） C．50°
D．2
10．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝A．70°
B．60°
D．30°
11．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．
B．
C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） 二．填空题（共5小题）
B．（﹣9，18）
D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ． 14．已知∠A是锐角，且tanA＝
，则sin＝ ．
15．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为 ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ ．
17．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 ．
三．解答题（共8小题） 18．计算：
（1）2sin230°•tan30°+cos60°•tan60°； （2）
sin45°+sin260°﹣
cos45°．
，解这个直角三角形．
19．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝19，c＝19
20．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，求AF的长．
21．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝12，求△ABC的面积．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
23．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加
工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，求AF的长．
25．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时
间是多少秒？
参考答案
一．选择题（共12小题） 1．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形 B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形
解：A、正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误； B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误；
C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故本选项错误； D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确． 故选：D．
2．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似． 故选：D． 3．如图，AB∥CD，
＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是（ ）
A．
解：∵AB∥CD，
B． C． D．
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△AOB∽△DOC， ∴
＝
＝，
故选：D． 4．已知sina＝A．75°
，且a是锐角，则a＝（ ）
B．60°
，a是锐角，
C．45°
D．30°
解：∵sina＝sin60°＝∴a＝60°． 故选：B．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且的值为（ ）
，则S△ADE：S四边形BCED
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
解：在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝1：4，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3． 故选：C．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB的值是（ ） A．
B．
C．
D．
解：如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝， ∴
＝，
设BC＝3x，AC＝4x，故AB＝5x， 则sinB＝故选：A．
＝
＝．
7．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S
△ABF
＝4：25，则DE：EC＝（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF＝4：25， ∴DE：AB＝2：5， ∵AB＝CD， ∴DE：EC＝2：3． 故选：B．
8．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC， ∴△ADE∽△EFC，∴
，
，
．故选C．
9．如图，a∥b∥c，AB＝6，BC＝2，DE＝9，则EF的长为（ ）
A．4
解：∵a∥b∥c， ∴
＝
，即＝
B．3 C．2.5 D．2
，
∴EF＝3． 故选：B．
10．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝A．70°
B．60°
，
，则α等于（ ） C．50°
D．30°
解：∵sin（α﹣10°）＝∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：A．
11．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
，BC＝2，
，
解：如图：∠ACB＝135°，AC＝
A、最大角＝135°，对应两边分别为：1，∵
：1＝2：
，
∴此图与△ABC相似； B、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似； C、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似； D、∵最大角＜135°， ∴与△ABC不相似． 故选：A．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）
B．（﹣9，18）
D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：D．
二．填空题（共5小题）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ 解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x． ∴tanA＝故答案为：．
14．已知∠A是锐角，且tanA＝解：∵tanA＝∴∠A＝60°， 则sin＝sin30°＝． 故答案为：．
，
，则sin＝
．
．
．
15．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为 12 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴S△DEF：S△BCF＝（又∵E是AD中点， ∴DE＝AD＝BC， ∴DE：BC＝DF：BF＝1：2， ∴S△DEF：S△BCF＝1：4， ∴S△BCF＝4， 又∵DF：BF＝1：2， ∴S△DCF＝2，
∴S▱ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝12． 故答案为：12．
）2，
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ 6 ． 解：∵在Rt△ABC中，sinA＝
＝，且BC＝4，
∴AB＝＝＝6，
故答案为：6．
17．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 （﹣2，3）或（2，﹣3） ．
解：∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，
∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的， ∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为， ∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B'的坐标为（﹣4×，6×）或（4×，﹣6×），即（﹣2，3）或（2，﹣3），故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）． 三．解答题（共8小题） 18．计算：
（1）2sin230°•tan30°+cos60°•tan60°； （2）
sin45°+sin260°﹣
cos45°．
解：（1）2sin230°•tan30°+cos60°•tan60° ＝2×＝
×+
+×
＝ （2）
．
sin45°+sin260°﹣cos45°
＝×+﹣×
＝+﹣1 ＝．
19．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝19，c＝19解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19∴b＝
＝19，
，解这个直角三角形． ，
∵tanA＝＝1， ∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°， 因此，b＝19，∠A＝∠B＝45°．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，求AF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝8，∠D＝∠C＝∠B＝90°， ∵E为BC的中点， ∴BE＝EC＝4， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°，
∵∠AEB+∠FEC＝90°，∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF ∴△ABE∽△ECF， ∴
＝
， ，
∴＝
∴CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝8﹣2＝6， ∴AF＝
＝
＝10．
21．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝12，求△ABC的面积．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝12， ∴CD＝AC＝6， AD＝
AC＝6
，
在Rt△BCD中，CD＝6，cosB＝， ∴
＝，
设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得， 62+（4x）2＝（5x）2， 解得x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴BD＝4x＝8，
∴S△ABC＝AB•CD＝（6
+8）×6＝18
+24，
答：△ABC的面积为18+24．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
解：∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB ∴△CGE∽△AHE ∴即：∴
∴AH＝11.9
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
23．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．
解：设DF＝xcm，
则DE＝2xcm，AD＝（90﹣x）cm， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∴∴x＝36，
∴DF的长为36cm．
24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，求AF的长．
，
，
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC， ∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D， ∴∠C＝∠AFB， ∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D＝， ∴AE＝4，
∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝∵BC＝AD＝5，
由（1）得：△ABF∽△BEC， ∴
，即
．
，
，
解得：AF＝2
25．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多少秒？
解：当运动的时间是t秒时，以点A、E、D为顶点的三角形与△ABC相似， ①当②当
时，时，
，∴t＝3（s）； ，∴t＝4.8（s）；
综上所述，当t为3秒或4.8秒时，
以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
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