例析抽象函数周期的求法
抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。
一、仅含抽象关系式的周期函数
例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足期是____________。
，则的一个正周
解：设，则，依题意有
，由周期函数的定义，是的一个周期
所以期
例2 已知函数函数。
满足，求证：函数为周期
证明：因为对有
（2）代入（1）得
这样
所以为周期函数，且为它的一个周期。
例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意
，使
。试证：
，有
，且存在常数是周期函数，且有一个周期为4a。
证明：设，则
所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。
说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。
例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有
，又，求的值。
解：
又
所以
可知是以2为一个周期的周期函数
所以
二、图象中有两条对称轴的抽象函数
例5 若函数周期函数，且
的图象关于两条直线
是它的一个周期。
和
都对称，试证：
是
证明：因为的图象关于直线和（a 所以且 这样 所以是周期函数，且是它的一个周期。 例6 设是定义在R上的偶函数，且它的图象关于x=2对称，已知 时， 的表达式。 时， ，求 解：由题设知：有两条对称轴和 所以为周期函数，且为它的一个周期 又当时， 所以 三、图象关于两点成中心对称的抽象函数 例7 设函数一个周期为 的图象关于相异两点A（a,0），B（b，0）都对称，则 的周期函数。 是 证明：由题设有，这样 故原命题得证 例8 定义在R上的函数f(x)是奇函数，又也是奇函数，求 的值。 解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)关于O（0，0）对称，且f(0)=0 又是奇函数，所以f(x)关于点（-1，0）对称 所以是f(x)的一个周期 所以 四、图象有一条对称轴和一个中心对称点的抽象函数 例10 设函数函数，且 的图象关于点A（a，0）与直线 都对称，则f(x)为周期 是它的一个周期。 证明：因为函数f(x)图象点于点A（a，0）对称 所以 又函数f(x)图象关于直线对称 所以 这样 所以 为周期函数且 为它的一个周期。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容