菱形和矩形的经典题例

01（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形

的边长为 A A．5

A B C D （第1题）

B．6 A C．8 D．10

B （第8题）

D

C

二、菱形的对角线。

02(2010江苏南通） 如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线

AC的长是【答案】D A．20 B．15 C．10 D．5

03（2009辽宁朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为_________． 三、菱形的周长。

04（2010湖南怀化）如图２，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（ ）

A．20 B．18 C．16 D．15

05（2009年赤峰市）菱形的对角线长分别是16cm、12cm，周长是 。 四、菱形的面积。

(2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱

2

形ABCD的面积为_________㎝．

D A E B (第12题)

C

06（2010 四川绵阳）已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为 ．

07（2010福建德化）已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 24 ㎝ 五、菱形与距离。

08（2010 广东珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm， 则点P到BC的距离是_4____cm.

2

09(2011重庆綦江)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝

12 ． 5六、其他计算。 10．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按

ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 C 点．

G D E A C F B

11（2010云南曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱

0

形的内角，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18cm，=120时，A、B两点的距离为 54 cm.

12（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ C ）

A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1

13（2010 山东荷泽） 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为B A．23㎝ B．33㎝C．43㎝ D．3㎝

AA B E C

F

D

BEDO

14（2010浙江嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角BAD80，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BEBO，则EOA= 25 度．

15(2009年本溪)如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 3

A B O

H C CC

七、菱形的判定。

16（2010 江苏连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ B ）

A B C D

A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 17（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G． （1）求证：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ∵E、F分别为AB、CD的中点

11∴DF＝DC，BE＝AB

22∴DF∥BE，DF＝BE

∴四边形DEBF为平行四边形 ∴DE∥BF

(2)证明：∵AG∥BD ∴∠G＝∠DBC＝90°

∴DBC 错误！未指定书签。为直角三角形 又∵F为边CD的中点．

1

∴BF＝DC＝DF

2

又∵四边形DEBF为平行四边形 ∴四边形DEBF是菱形

15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB，

∴

ODAD58，即，

PDBD8t1077,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 44解得t18（2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为83，求AC的长． A O D E

C B

【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ∴四边形OCED是菱形． A O F B

图

C

D E

（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60° 又∵OD＝ OC， ∴△OCD是等边三角形

1OC，设CF＝x，则OC＝ 2x，AC＝4x 2DF在Rt△DFC中，tan 60°＝ ∴DF＝FC tan 60°3x FC过D作DF⊥OC于F，则CF＝由已知菱形OCED的面积为83得OC DF＝83，即2x3x83 ， 解得 x＝2， ∴ AC＝42＝8

19（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积． 解：（1）四边形OCED是菱形．…………（2分）

∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，…………（3分） 又 在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四边形OCED是菱形．…………………（4分）

AOBCDE（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分） ∴OE∥BC 又 CE∥BD

∴四边形BCEO是平行四边形

∴OE=BC=8……………………………………………（7分）

11∴S四边形OCED=OECD8624……………（8分）

2220（2010 四川自贡）如图，在□ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点G，H。

（1）求证：△BAE∽△BCF

（2）若BG＝BH，求证四边形ABCD是菱形

矩形的相关计算：

21（2011浙江温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( D ) A．2条 B．4条 C．5条 D．6条

22（2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A

33

A.23 B. C. 3 D.6

2

23（2010黑龙江哈尔滨）如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF，若ABE20，那么EFC的度数为 125 度。

24（2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ D ） A．3 B．4 C．5 D．6

ADFBCE

25（2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_25____cm.

26（2010内蒙呼和浩特）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为 5 ．

A

D′ B

E

D

C′ F C

27（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ） （A） 70°

（B） 65° （C） 50° （D） 25°

28（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为___

A１7cm______. 8ＤＢ２Ｃ

AB、BC的长分别为3和4，29如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边

那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（A ）

12624A． B． C． D．不确定

55530（2010 四川巴中）如图5所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 ①④ （填写番号）。 31（2010湖北恩施自治州）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = 52 .

矩形的判定

32（2010广东肇庆）如图4，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2.

（1） 求证：四边形ABCD是矩形；

（2） 若∠BOC=120，AB=4 cm,求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行加边形，AC、BD交于点O ∴OA=OC，OB=OD 又∵∠1=∠2

∴OB=OC

∴OA=OB=OC=OD ∴AC=BD

∴四边形ABCD是矩形

ｏ

（2）∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120，AB=4

∴∠1=∠2=30，BC=43

ｏ

ｏ

∴S四边形ABCD=ABBC＝163 cm ２