2019年浙江省杭州市中考数学试卷及答案(解析版)

2019年浙江省杭州市中考试卷

数 学

试题卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的) 1.计算下列各式，值最小的是

( )

A.20+19 B.2019 C.2019 D.2019 2.在平面直角坐标系中，点Am,2与点b3,n关于y轴对称，则

( )

C.m2，n3

D.m2，n3

( )

A.m3，n2 B.m3，n2

3.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA3，则PBA.2

B.3

C.4

AOBPD.5

4.已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 A.2x372x30 C.2x330x72

B.3x272x30 D.3x230x72

( )

5.点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是 ( ) A.平均数

B.中位数

C.方差

D.标准差 D.

6.如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则 ( ) A.

ADAN ANAEB.

BDMN MNCEC.

DNNE BMMC

DNNE MCBM

ADBNMEC

7.在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则

( )

y

A.必有一个角等于30 C.必有一个角等于60

y

B.必有一个角等于45 D.必有一个角等于90

y18.已知一次函数y1axb和y2bxa(ab)，函数y1和y2的图象可能是 ( )

yOx1O1xO1xOx

A

B

C

D

9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（OCOB，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知ABa，ADb，BCOx.则点A到OC的距离等于 ( ) A.asinxbsinx C.asinxbcosx

B.acosxbcosx D.acosxbsinx

10.在平面直角坐标系中，已知ab，设函数yxaxb的图像与x轴有M个

交点，函数yax1bx1的图像与x轴有N个交点，则 ( )

A.MN1或MN1 C.MN或MN1

B.MN1或MN2 D.MN或MN1

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解：1x2 .

12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的

平均数为y，则这mn个数据的平均数等于 .

13.如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径

为3cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于 cm2（计算结果精确到个位）.

14.在直角三角形ABC中，若2ABAC，则cosC . 15.某函数满足当自变量x1时，函数值y0；当自变量x0时，函数值y1，写出一个满足条件的函数表达式 .

16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG90，△AEP的面积为4，△DPH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 .

A1D1AEH PDBF

三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.（本题满分6分） 化简：

4x21 2x4x2GC圆圆的解答如下：

4x214x2x2x242 x4x2x22x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.

18.（本题满分8分）

称重五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）

（1）补充完整乙组数据的折线统计图；

（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系；

2222②甲、乙两组数据的平均数分别为S甲、S乙，比较S甲与S乙的大小，并说明理由.

19.（本题满分8分）

如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：APC2B； （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若AQC3B，求B的度数.

AABPCBQC

20.（本题满分10分）

第19题图

方方驾驶小汽车匀速地从A地行使到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行使时间为t（单位：小时），行使速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时. （1）求v关于t的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A出发，

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.

21.（本题满分10分）

如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1S2.

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连结HD，求证：HDHG.

AEDFBHCG

第21题图

22.（本题满分12分）

设二次函数yxx1xx2（x1、x2是实数）.

（1）甲求得当x0时，y0；当x1时，y0，乙求得当x时，y.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由；

（2）写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含x1、x2的代数式表示）； （3）已知二次函数的图像经过0,m，（m、n是实数），当0x1x211,n两点时，求证：0mn

23.（本题满分12分）

如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，ODBC于点D，连结OA. （1）若BAC60， ①求证：ODOA；

②当OA1时，求△ABC面积的最大值；

（2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnOED（m、n是正数），若ABCACB，求证：mn20.

AEOBDC12121. 1612 第23题图

2019年浙江省杭州市中考试卷

数学答案解析

1.【答案】A 【解析】A8 【考点】实数 2.【答案】B

【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同 【考点】直角坐标系 3.【答案】B

【解析】因为PA和PB与⊙O相切，所以PA＝PB＝3 【考点】圆与切线长 4.【答案】D

【解析】设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：3x230x72 【考点】一元一次方程 5.【答案】B

【解析】这组数据中的中位数是41，与涂污数字无关 【考点】数据 6.【答案】C

【解析】∵DE//BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC ∴

DNANANNEDNNE ,BMAMAMMCBMMCB7 C7 D6

【考点】相似三角形 7.【答案】D

【解析】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180xy)，则有

三种情况：

①xy(180xy)y90o或xy90o ②yx(180oxy)x90o或xy90o ③(180oxy)xyx90o或y90o 综上所述，必有一个角等于90° 【考点】三角形内角和 8.【答案】A

【解析】①当a0,b0，y1、y2的图象都经过一、二、三象限

②当a0,b0，y1、y2的图象都经过二、三、四象限

③当a0,b0，y1的图象都经过一、三、四象限，y2的图象都经过一、二、四象限 ④当a0,b0，y1的图象都经过一、二、四象限，y2的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有A 【考点】一次函数的图象 9.【答案】D

【解析】过点A作AEOB于点E， 因为四边形ABCD是矩形，且AB＝，aAD＝b 所以BC＝AD＝，bABC＝90 所以ABE＝BCO＝x 因为sinxOBBE，cosx BCAB所以OBbsinx，BEacosx

所以点A到OC的距离dBEOBacosxbsinx 【考点】三角函数、矩形的性质 10.【答案】C

（b,0）（a,0）【解析】对于函数yxaxb，当y0时，函数与x轴两交点为、，

∵ab，所以有2个交点，故M2 对于函数yax1bx1

①ab0，交点为(,0),(,0)，此时N2MN

1b1③b0,a0，交点为(,0)，此时N1MN1

a1a1b②a0,b0，交点为(,0)，此时N1MN1

综上所述，MN或MN1 【考点】二次函数与x轴交点问题 11.【答案】(1x)(1x)

【解析】二项用平方差公式，1x212x2(1x)(1x) 【考点】因式分解 12.【答案】

mxny mn【解析】平均数等于总和除以个数，所以平均数【考点】数据统计 13.【答案】113

mxny mn

【解析】Srl31236363.14113.04113 【考点】圆锥的侧面积 14.【答案】325或 25【解析】如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边 ①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：

BC3x，则cosCBC3x3AC2x2 ②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：BC5x，则cosCACBC2x5x25255 综上所述，cosC32或255 【考点】解直角三角形

15.【答案】yx1或yx21或yx1等

【解析】答案不唯一，可以是一次函数，也可以是二次函数【考点】函数的解析式 16.【答案】6510 【解析】∵A'EPPF ∴A'EPD'PH

又∵AA'90，DD'90 ∴A'D' ∴△A'EP～△D'PH

又∵ABCD，ABA'P，CDD'P ∴A'P D'P 设A'PD'Px ∵S△A'EP：S△D'PH41： ∴A'E2D'P2x

∴S11△A'EP2AEAP22xxx24 ∵x＞0 ∴x2 ∴A'PD'P2 ∴A'E2D'P4

∴EPAE2AP2422225

C2x5xAxB

∴PH=EP5 ∴DHDHAP1

∴ADAEEPPHDH42551535 ∴ABAP2

∴S矩形ABCDABAD2(355)6510 【考点】矩形性质，折叠

17.【答案】圆圆的解答不正确.正确解答如下：

4x2(x2)x24原式

(x2)(x2)(x2)(x2)(x2)(x2)12124x(2x4)(x24)

(x2)(x2)x(x2) (x2)(x2)x. x2【考点】分式的加减运算

18.【答案】（1）补全折线统计图，如图所示.

（2）①x甲x乙50.

22S乙②S甲，理由如下：

2因为S乙[(2x乙)2(2x乙)2(3x乙)2(1x乙)2(4x乙)2]

151[(4850x乙)2(5250x乙)2(4750x乙)2(4950x乙)2(5450x乙)2] 51[(48x甲)2(52x甲)2(47x甲)2(49x甲)2(54x甲)2] 52S甲， 22S乙所以S甲.

【考点】平均数和方差

19.【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PAPB， 所以PABB，

所以APCPABB2B. （2）根据题意，得BQBA， 所以BAQBQA， 设Bx，

所以AQCBBAQ3x， 所以BAQBQA2x， 在△ABQ中，x2x2x180， 解得,，即B36.

【考点】垂直平分线性质，三角形外角，内角的性质，等腰三角形性质，方程思想 20.【答案】（1）根据题意，得vt480， 所以v480， t因为480＞0，

所以当v120时，t4， 所以v480(t4) t（2）①根据题意，得4.8t6， 因为4800， 所以

480480， v64.8所以80v100

②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下： 若方方要在11点30分前到达B地，则t3.5， 所以v480120，所以方方不能在11点30分前到达B地. 3.5【考点】反比例函数及其应用，不等式性质

21.【答案】根据题意，得ADBCCD1，BCD90. （1）设CE（x0＜x＜）1，则DE1x， 因为S1S2，所以x21－x，

51（负根舍去）， 251即CE

2解得x

（2）因为点H为BC边的中点， 所以CH，所以HD因为CGCE125， 251，点H，C，G在同一直线上， 21515所以HGHCCG＋，所以HDHG 222【考点】方程思想，勾股定理

22.【答案】（1）乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0）， 所以yx(x1)，

当x1时，y1(11)1122242， 所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为xx1x22， 当时，函数有最小值M，

2Mx1x2xx(xx)2x1122x2124

（3）因为y(xx1)(xx2)， 所以mx1x2，n(1x1)(1x2)，

所以mnx221x2(1x1)(1x2)(x1x1)(x2x2) [(x111112)24][(x22)24]

因为0＜x1＜x2＜1，并结合函数yx(1x)的图象，

所以0＜(x121112)4，0＜(x111422)24≤4

所以0＜mn116，

因为x1x2，所以0＜mn＜116 【考点】二次函数，待定系数法求二次函数解析

二次函数的图像和性质，点在函数图像上的判断

23.【答案】（1）①证明：连接OB，OC， 因为OBOC，ODBC，

所以BOD1BOC1222BAC60， 所以OD1OB122OA

式，运用、

②作AFBC，垂足为点F，

所以AFADAOOD，等号当点A，O，D在同一直线上时取到 由①知，BC2BD3，

所以△ABC的面积BCAF3即△ABC面积的最大值是33 43212123233 4（2）设OEDODE，CODBOD， 因为△ABC是锐角三角形， 所以AOCAOB2BOD360， 即(mn)180o（*） 又因为ABC＜ACB， 所以EODAOCDOC

2m

因为OEDODEEOD180， 所以2(m1)180o（**） 由（*），（**），得mn2(m1)， 即mn20

【考点】圆周角定理，等腰三角形性质，含30°角的直角三角形，不等式性质，三

角形内角和定理，代数式变形能力，设元方程思想等综合运用