非对易相空间中耦合谐振子的能级分裂

第１Ｏ卷第２期　重庆科技学院学报（自然科学版）　２００８年４月　非对易相空间中耦合谐振子的能级分裂　王亚辉　（陕西理工学院，汉中７２３０００）　摘要：利用非对易相空间量子力学的代数关系和Ｍｏｙａｌ—Ｗｅｙｌ乘法，考虑到相空间变量的对易关系，给出了非对易相　空间中耦合谐振子能级分裂。　关键词：非对易相空间；耦合谐振子；能级分裂　中图分类号：Ｏ４１２：Ｏ５６１　’文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１９８０（２００８）０２—０１３７—０３　量子力学和量子场论是反映微观世界运动规　律的科学，它们的正确性被越来越多的实践所证　实。然而，人们对于它们的研究和探索始终没有间　断过。在原子和分子的尺度下，空间是对易的，即　ｘｉ］＝０，（ｉ，ｊ＝ｌ，２，３）。但是，近年来发现，在弦的尺度　下出现了空间的非对易效应『１，２１。在具有非零背景场　的Ｄ膜理论的低能效应研究的推动下，非对易空间　问题引起了物理学界极大的关注『３］。通常研究非对　和动量的对易关系为：　Ｉｘ　］＝喀，Ｉｘ　，￣ｉｆ：－ｏ，　，］＝ｏ（ｉｊ＝ｌ，２，…ｎ）（１）　这种情况称为对易空间。在非对易空间中，用和　＾　＾ｐ　来表示坐标和动量算符，它们的对易关系由下面的　公式给出ｆ３，４１：　。一　却　印　一　＋　ｉ，ｐｊ］＝／６￣／，　霉】＝　０　，　利用文献ｆ３］，可以得　０　（ｉ，ｊ＝１，２，…，凡）（２）　一　一　　一　～￣ｅｐ｛ｏ　】和｛０　】是完全反对称矩阵。　＝　２　易空间问题的理论和方法主要来自量子场论，然　而，在量子力学的框架下研究一些可解模型的非对　易空间效应也是非常有意义。文献［７卜［１４１对非对易　量子力学的微扰方面有了广泛的研究。本文讨论的　是在非微扰情况下探讨非对易量子力学的一些可　解模型。　首先讨论非对易量子力学代数的一般情况，然　后介绍Ｍｏｙａｌ—Ｗｅｙｌ乘法在Ｓｅｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程中通过　一这就是非对易相空间中的坐标互和动量　用对　易空间中的坐标　和动量Ｐ线性表示出来的基本　形式。　３　个广义Ｂｏｐｐ’ｓ变换使　）一百（　）。工作重点　在非对易情形下，粒子也应当服从Ｂｏｓｅ—Ｅｉｎ．　是把单粒子量子力学的产生和消灭算符推广到非对　玻色子系统，在非微扰的情况下，重新定义产生和消　ｓｔｅｉｎ统计，即瞄　，葫＝ｏ和　，４１＝ｏ。于是可以得到连　石　式（３）变为　＝　一易空间中服从玻色一爱因斯坦统计的态矢量空间的，　续性条件『３Ｉ４１：　０或　灭算符。在所给出的相空间变量的对易关系中包含　了空间～空间和动量～动量两个方面的非对易性　利用这些对易关系，进一步讨论了二维耦合谐振子　的能级分裂情况。　２　２０　（　１，２，…　＝，　（４）　－２￣－０　…　（５）　＋　＠　１非对易量子力学代数　在量子力学中，采用自然单位制（ｈ＝ｅ＝１），坐标　收稿日期：２００７—１１－０６　基金项目：陕西理工学院科研项目（ＳＬＧ０５２１）　作者简介：王亚辉（１９７８一），男，陕西宝鸡人，陕西理工学院物理系讲师，研究方向：量子场论。　・１３７・　维普资讯 http://www.cqvip.com 王亚辉：非对易相空间中耦合谐振子的能级分裂　一：＋丢　叩　＋　丢　叩：一　：　％　一　令　疗：击　２　：２）＋　。　）　。　Ｐ２－ｘ２ｐ１）　Ａ　２　一其中０是一个小量，　≤（１０　ＧｅＶ）　圈。　在非对易相空间中，相应的Ｍｏｙａｌ—Ｗｅｙｌ乘（星　乘）被定义为　：十　０　０ｐ　一　：　：）　（１３）　ｏ　ａ：　＋—　石　击　ｚ）　ｚ）　（１４）　（户　）：ｅ　）ｇ　）　）　）＋—　ＴＯ　ｇｌ　＋　２　ｄｆ￣ｇｌ嘲　（７）　在这里通过一个广义的Ｂｏｐｐ￣ｓ变换　一　把星乘转变成了普通乘法。相应的Ｓｃｈｒｏｃｌｉｎｇｅｒ方程　可以写成　眠　）蝴（　＠　’：Ｅ　（８）　于是，在量子力学中任意一个力学量都可以通　过一个广义的Ｂｏｐｐ　Ｓ变换　一孟　—　在非对易相空　间中得到定义。　２非对易相空间中耦合谐振子的能级分裂　耦合谐振子的Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ算符为：　日＝　１　２　２２：）＋　２　慨：）　：　（９）　在非对易相空间中，根据Ｍｏｙａｌ—Ｗｅｙｌ乘（星乘）　的意义，只要做一个广义Ｂｏｐｐ＇ｓ变换，把日　）—　），星乘就转变成了普通的乘法。因此，在非对易　相空间中耦合谐振子的Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ算符为：　月＾：　１　＾２　＾２１　２　＾２　：Ｊ十　＋互　）一ａｘ　互：　（１０）　将式（６）代入（１０）得　疗＝丢［（　＋　。　：一　２　］　＋　［（　一丢印：）。＋（　：＋丢印　）。］　一Ａ　一丢印：）（　：＋丢印　）　（１１）　整理后为　月＾：　１　２　２：）＋　慨　）　ｐ：　：ｐ　）　Ａ　２　２一：＋　一　：　：一—　ｐ　ｐ：）（１２）　・１３８・　所以　），　）（１５）　将式（１４）、（１５）代入式（１３）得　ｎ：　、）　一　［　：）　（ｐ　：）慨　：　：）　慨　：（ｐ　：）卜Ａ［等　：　）＋｝　慨　：）　：）　一　：）　：）］（、１６）　经整理得：　舡击　）＋　）　，：ｐ，　，　ｐ，：）一Ａ［　：　）　＋￣－（２ｘ，１ｐ　２＋　，２ｐ，１＋　１ｐ’１－ｐ＇ｌＸ＇Ｉ＋戈，２ｐ，２叩，２　，２）］　１　＇２＝　＋　１　２　：。＋　１　＋　￣／２１ｔＩＺＯ２：　：　ｐ，：）一　（２ｘ，　ｐ，：＋　，　ｐ，　慨，　一　Ｐ　１　１＋　２Ｐ　２－ｐ　２　２）　（１７）　其中　ｒ———————ｒ　ｒ————————ｒ　１ｙ／　一　，　１ｙ／Ｏ３２＋Ａ　ａ一　（１８）　式（１７）可以写成：疗：日　十日：　，　、　其中　Ｈ　１＇２十　１　２　知：：　＋　：２　，　Ｈｌ，ｚ￣－－　２ｐ，１　，１ｐ，２），　Ｈ＇＝－￣０－（２ｘ　ｐ，：＋　，：ｐ，　＋　ｘ＇ｌｐ　１－ｐ　１　１慨　２Ｐ　２－ｐ　２　２）　（１９）　Ｈ　和Ｈ，分别表示两个独立谐振子ｆ频率　，１　维普资讯 http://www.cqvip.com

王亚辉：非对易相空间中耦合谐振子的能级分裂　的能量算符，Ｈ　表示角动量算符，Ｈ　表示修正项（本　究的大部分工作才刚刚展开，非对易相空间中问题　征值较小，可忽略），所以Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ算符能量的本　在各个物理层面的理论和实验探讨都是非常必要　征值为：　和非常有意义的。　＝∞１（ｎ。＋｝）１　＋∞２（　＋÷１）１　２　（　～。）　，　参考文献　∞　（２／ａ￣　）　：／２ｂ＋　）　Ｏ（２／ｂ－－２／ａ）　［１］Ｇａｍｂｏａ　Ｊ，Ｌｏｅｗｅ　Ｍ，Ｒｏｊａｓ　Ｊ　Ｃ．Ｎｏｎ—Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｑｕａｉｌ—　ｒｕｍ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ【ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｘｘｘ．１ａｒｄ．ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／ｈｅｐ—　（　＋｝）＋∞　（　＋　）一　、／１一　。（２／ｂ－２／ａ）　ｔｈ／００１０２２０．　［２］Ｃｈｒｉｓｉｆａｎｓｅｎ　Ｈ＿Ｒ，Ｓｃｈａｐｏｓｎｉｋ　Ｆ．Ａ，Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｑｕａｎ—　（　，　＝０，１，２，３…）　（２０）　ｔｕｍ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ａｎｄ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｌｆａｍｅｓ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｘｘｘ．１ａｎ１．　ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／ｈｅｐ—ｔｈ／０１０６１８１．　由于Ｅ　取分立值，零点能量绝对值是　＋　［３］Ｓｅｉｂｅｒｇ　Ｎ，Ｗｉｔｔｅｎ　Ｅ．Ｓｔｒｉｎｇ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　∞　）。对于　＝ｎ　＝ｎ的情况，本征值为∞　＋　）＋∞　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｘｘｘ．１ａｒｄ．ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／ｈｅｐ－ｔｈ　／９９０８１４２．　（ｎ＋　）；对于　＝一　＝ｎ的情况，本征值为∞　（ｎ＋　）一　［４］ＬＩ　Ｋａｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｊｉａｎ—ｈｕａ，ＣＨＥＮ　Ｃｈｉ—ｙｉ．Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｐｈａｓｅ　Ｓｐａｃｅ［Ｊ］，Ｍｏｄｅｍ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒ　Ａ，　∞　＋　）＋２　、／１一　１２ｏ从公式（２０）可得到本征值　２００５，２０（２８）：２　１６５—２　１７４．　［５］Ｃｈａｉｃｈｉｎａ　Ｍ，Ｓｈｅｉｋｈ－Ｊａｂｂａｒｉ　Ｍ，Ｔｕｒｅａｎｕ　Ａ，Ｈｙｄｒｏｇｅｎ　的间隔为：Ａｎ。∞１＋Ａｎ６∞２—２ｏＪａＶ１－ａ。（Ａ／２６一Ａｎ。）。显　Ａｔｏｍ　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｌａｍｂ　Ｓｈｉｔｆ　ｉｎ　Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ＱＥＤ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｘｘｘ．１ａｒｄ．ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／ｈｅｐ—ｔｈ／００１０１７５．　然这种情况能级的间隔是依靠着参数ＯＬ而分裂的。　［６］王剑华，李康，刘鹏．非对易相空间中各项同性谐振子的　在ＯＬ趋近于１的极限情况下，本征值为∞　＋　能级分裂［Ｊ］．高能物理与核物理，２００６，３０（５）：３８７－３９１．　）一　＋　１），这就回到了对易空间时的结果。　［７］李洪奇彳ｑ用坐标变换精确求解二维耦合谐振子的能量本　征值［Ｊ］．河泽师范专科学校学报，２００４（４）：２２—２５，　３讨论　［８］王剑华，李康．非对易相空间中角动量的分裂［Ｊ］．高能物理　与核物理，２００６，３０（１１）：１　０５３．１　０５７．　我们首先是把单粒子量子力学的产生和消灭　［９］Ｍｕｔｈｕｋｑｎ￣ａｒ　Ｂ，Ｍｉｌ￣ａ　Ｐ，Ｎｏｎ－ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ　ｎａｄ　算符推广到非对易空间中服从玻色一爱因斯坦统　ｔｈｅ　Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｌｉｍｉｔ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｘｘｘ．１ａｎ１．ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／　计的态矢量空间的玻色子系统。并且给出的相空间　ｈｅｐ－ｔｈ／０２０４１４９．　变量的对易关系中包含了空间一空间和动量一动　［１　０］Ｓａｙｉｐｊａｍａｌ　Ｄｕｌａｔ，ＬＩ　Ｋａｎｇ．Ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ　Ａｎｏｍａｌｙ　ｉｎ　Ｎｏｎ－　量两个方面的非对易性。利用这些对易相关系　进一　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ｍｏｄ．Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔ．Ａ，　步讨论二维耦合谐振子在外电场的能级和能级分　２００６，２１（３９）：２　９７１－２　９７６．　［１１］ＬＩ　Ｋａｎｇ，ＣＨＡＭＯＵＮ　Ｎｉｄａ１．Ｈｙｄｒｏｇｅｎ　Ａｔｏｍ　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｉｎ　裂情况。所得到的结果在趋近于１的极限情况下，　Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｐｈａｓｅ　Ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ｅＬｔｅｒｓ，　回到了对易空间时的结果。　２００６，２３（５）：１　１２２－１　１２３．　空间的非对易效应在超弦场论中有着非常重　［１２］ＷＡＮＧ　Ｊｉａｎ—ｈｕａ，ＬＩ　Ｋａｎｇ．Ｈｅ一－ＭｃＫｅｌｌａｒ－－Ｗｉｌｋｅｎｓ　Ｅｆｆｅｃｔ　要的作用。目前，这个方面的研究在理论物理学界　ｉｎ　Ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｌｅｔｅｒｓ，　引起了广泛的关注。非对易相空间量子力学问题研　２００７，２４（１）：５—７．　Ｅｎｅｒｇｙ　Ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ　ｏｆ　Ｃｏｕｐｌｉｎｇ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｉｎ　Ｎｏｎ－ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｐｈａｓｅ　Ｓｐａｃｅ　＾　ｙｎ一　（Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｚｈｏｎｇ　７２３０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｉｔ　ｇｉｖｅｓ　ａ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　ａｎｄ　ｎｏｎ—ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ｍｏ—　ｍｅｎｔａ．Ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ｓｐｌｉｃｉｎｇ　ｏｆｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｉｎ　ｎｏｎ—ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ｓｐａｃｅｓ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎ－・ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ｐｈａｓｅ　ｓｐａｃｅ；ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｅｎｅｒｇｙ　ｓｐｌｉｃｉｎｇ　・１３９・