第六章案例

一、基点价格值 （一）原理

所谓基点，就是利率该变量的计量单位，一个基点等于1个百分点的1%，即0.01%。 基点价格值是指到期收益率变化一个基点，债券价格的变动值。基点价格值是价格变化的绝对值，价格变化的相对值称作价格变动百分比，它是价格变化的绝对值相对于初始价格的百分比，用式子表示就是：价格变动百分比=基点价格值/初始价格。 （二）事件描述

有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，相关资料如下：

债券种类 票面利率 面值（元） 信用评级 到期时间 到期收益率 价格（元） A 8% 100 AA 5年 8% 100 B 8% 100 AA 10年 8% 100 C 8% 100 AA 15年 8% 100 分别计算它们的基点价格值，以及计算收益率变动10个基点和100个基点时三种债券的价格波动值 （三）分析与思考

令收益率上升一个基点，从8％提高到8.01％，可以计算出，新的债券价格分别是：99.9595元、99.9321元和99.9136 元，价格分别变动-0.0405元、-0.0679元和-0.0864元，基点价格值分别是0.0405元、0.0679元和0.0864元。

令收益率下降一个基点，从8％减少到7.99％，新的债券价格分别是：100.0406元、100.0680元和100.0865元，价格分别变动0.0406元、0.0680元和0.0865元，基点价格值分别是0.0406元、0.0680元和0.0865元。

可以看到，收益率上升或下降一个基点时的基点价格值是近似相等的。由于收益率下降引起价格变动幅度比同等的收益率上升引起的价格变动幅度应该大一些，但是，这里由于收益率的变动很小（仅为一个基点），收益率上升或下降引起的价格波动是大致相等的。

令收益率上升10个基点，从8％提高到8.1％，可以计算出，新的债券价格分别是：99.5955元、99.3235元和99.1406元，价格波动值分别变动0.4045元、0.6765元和0.8594元。

令收益率下降10个基点，从8％减少到7.9％，新的债券价格分别是：100.4066元、100.6825元和100.8699元，价格波动值分别变动0.4066元、0.6825元和0.8699元。

结合上面计算得出的基点价值对应的结果，我们可以总结出一条规律：当收益率变动的幅度较小时（例如10个基点），收益率变动ｎ个基点，价格就近似变动基点价格值的ｎ倍。由于收益率的变动较小，收益率下降或上升导致的价格波动仍然是大致相等的，价格波动的不对称性可以被忽略。

当收益率上升100个基点，从8％提高到9％，可以计算出，新的债券价格分别是：96.0436元、93.4960元和91.8556元，价格波动值分别变动3.9564元、6.5040元和8.1444元。

再令收益率下降100个基点，从8％减少到7％，新的债券价格分别是：104.1583元、107.1062元和109.1960元，价格波动值分别变动4.1583元、7.1062元和9.1960元。

可以看出，当收益率变动的幅度较大时（例如100个基点），就不能采用前面的近似方法，用基点价格值的ｎ倍来估计价格的波动。另外，由于收益率的变动较大，价格波动的不

对称性也就表现出来，收益率下降或上升带来的价格波动是不等的。

进一步思考：衡量债券利率风险还有哪些指标？

二、利率变化与净价格效应 （一）原理

市场利率变动对债券投资收益的影响来自两个方面：一是利率波动的价格效应，即价格风险；二是利率波动的再投资效应，即再投资风险。两种效应结合在一起就是利率变化的净价格效应。

价格效应和市场利率的变动是反方向的，当市场利率上升时，债券价格会下跌；而当市场利率下降时，债券价格会上涨。再投资效应和市场利率的变动则是同方向的。当市场利率上升时，利息再投资收益增加；而当市场利率下降时，利息再投资收益减少。可见，市场利率变化时，价格风险和再投资风险对债券价格的影响正好相反，存在抵消现象。

但价格风险和再投资风险究竟哪个更大？或者说在什么情况下两者可以正好抵消，以规避利率变动的影响呢？这是我们以下案例需要探讨的。 （二）事件描述

投资者拥有期限为5年，面值1000元，票面利率为8%的债券，每年支付一次利息，当前市场的必要收益率为10%，债券当前市场价格为924.18元。同时，该投资者的还有一笔期限为4年，现值也等于924.18元的负债。投资者打算4年后将债券出售来偿还该笔负债。投资者4年后的债券收入包括销售价格、利息及利息再投资收入。如果在支付第一期利息前，利率下降到8%或者上升到12%，并且新的利率在将来保持不变。求利率变化带来的净价格效应。 （三）分析与思考

当市场必要收益率为10%时，上述债券久期为4.28年，大于负债久期，因此存在净价格效应。计算得到下表信息： 时间（年） 1 2 3 4 销售价格 利息的利息 变化 净价格效应 价格 利息 现金流 80 80 80 80 1080 4年后各笔现金流现值 10% 54.64 60.11 66.12 72.73 737.65 40.84 8% 58.8 63.51 68.58 74.07 793.83 31.15 56.18 -9.69 46.49 12% 50.84 56.94 64.78 71.43 686.36 51.39 -51.29 10.55 -40.74 通过上表计算数据，我们可以得出结论：如果预测利率将会下跌，投资者可以投资于久期超过负债久期的债券，因为此时债券价格的涨幅超过利息收入跌幅，可以通过净价格效应获得更高的回报。

如果预测利率将会上升，投资者可以投资于久期小于负债久期的债券，因为此时债券价格的跌幅小于利息收入涨幅，可以通过净价格效应获得更高的回报。

三、久期的含义和公式 （一）原理

麦考莱久期：“久期”是对以债券价格波动为主要内容的利率风险的一个严密的表达方

式和适当的衡量指标，它能帮助市场参与者有效地实施资产组合策略与套期保值策略。“久期”这个概念最早是由弗里德里克•麦考莱在1938年发表的一篇研究文章中提出的，他在现值的基础上，衡量了与金融工具（如附息债券）有关的现金流的平均期限。“久期”是债券的各期支付（包括息票的支付与本金的偿还）所需时间长度的加权平均数。

久期以附息债券价格的函数式P0PV(CF)为基础，在对收益率（r）求一阶导数

tt1n之后，再在等式两边同时除以债券价格（P），得到：

上始终的D便是久期的概念，它的展开式为：

dP11D drP(1r)DPV(CF)ttt1nn

tPV(CF)t1公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即债券的市场价格；而分子则是指全部利息和本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使用预期将来每一次支付发生时的即期利率)来进行折现，然后，将所有经过折现后的现金流的现值用作权重对各次支付所需要的时间进行加权，最后再作加总。在这里，权重的意义在于它代表着未来的每一次支付占全部债券价值中的特定比重，即每期收到的现金流的现值只代表了债券市场价格的一个部分。

dP11D由此式可以看出，久期这个概念开创性地将债券收益率的变动和债drP(1r)券的价格变动联系了起来，是对债券价格波动性或对收益率变动的敏感性的衡量：久期越是大，债券价格对收益率变动的反应就越是强烈，这意味着利率风险就越是大；反之则反是。 （二）事件描述××

某种债券的到期收益率为10%，面值为$1 000，票面利率为8%，每年付息一次，债券的现行市价为$950.25，存续期还剩3年。请计算出该债券的久期，并说明含义。 （三）分析与思考

(1) 收到现金流入 所需要的时间 1年 2年 3年 合计 (2) 现金流动额 $80 $80 $1 080 $1 240 (3) 现值系数 (折现率为10%) 0.9091 0.8264 0.7513 ------- nt1n(4) = (2)×(3) 现金流的现值 $72.73 $66.12 $811.40 $950.25 (5) = (4)×(1) 现金流的现值与所需时间的乘积 72.73 132.23 2 434.21 2 639.17 久期 DPV(CFt)tPV(CFt)=2639.17=2.7771639 $950.25t1

根据公式变形得到

dPDdP2.53dr。说dr，代入D=2.78，r=10%，得到pp(1r)明当市场收益率上升1%，债券价格下降2.53%；当市场收益率下降1%，该债券价格上升2.53%。

D也称作修正久期，直接衡量了收益率变动和债券价格变动的关系。 (1r)进一步思考：久期最本质的定义是什么？

四、凸度的含义和公式 （一）原理

债券的价格与其收益率呈反比关系；然而，债券收益率下降抬高债券价格的数额要大于债券收益率发生同等幅度的上升所导致的债券价格下跌的数额。

这种非线性联系在“久期”运用过程中也体现出来：第一，“久期”的预测是对称的，而债券实际价格的变动是不对称的；第二，在收益率发生上升和下跌这两种情况下，“久期”的预测都出现了误差，即都低估了债券价格的实际变动；第三，同样是“久期”的预测出现了偏差，但收益率上升导致债券价格下跌的误差要小于收益率下降导致的债券价格上涨的误差。

为了纠正久期的这种不足，就需要引入凸度的概念。所谓凸度是指债券收益率的单位变化所引起的债券久期的变化大小，即衡量到期收益率变动所引起的债券价格变动幅度的变动程度。从图形上看，更直观地说，凸度用来衡量债券价格与收益率关系曲线的曲度。如果收益率增加相同大小，则凸度大的债券其价格减少幅度较小，凸度小的债券其价格减少幅度较大；如果收益率减少相同大小，则凸性大的债券其价格增加较大，凸度小的债券其价格增加幅度较小。

1d2P凸度是债券价格对收益率的二阶导数除以债券价格，公式如下：C

Pdy2上式中，C为凸度，P为债券价格。

凸度对债券价格百分率变动的影响等于凸度的数值乘以收益率的平方，它呈增函数性质，即：

dPCdr2 P（二）事件描述

某种债券的息票率为8.4%，每半年付息一次，期限为6年。债券的面值为$100，由于到期收益率为9%，所以在市场上按$97.26折价出售。

现假定年收益率从9%下降到7%，请分析其对债券价值的影响。 （三）分析与思考

(1) 期限 (2) 支付额 (3) 支付额的现值 (4) (5) (2) (10.045)t$4.02 $3.85 $3.68 $3.52 $3.37 $3.23 $3.09 $2.95 $2.83 $2.70 $2.59 $61.44 $97.26 (2)(1)(10.045)t4.02 7.69 11.04 14.09 16.85 19.35 21.60 23.63 25.44 27.04 28.47 737.32 936.54 (t)(t1)(2) (10.045)t8.04 23.08 44.17 70.44 101.11 135.46 172.83 212.64 254.36 297.49 341.62 9,585.10 11,246.34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总计 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $4.20 $104.20 $150.40

52.9426.47。 52.94凸性(半年)= ，凸性(一年)= 2根据“修正后久期”和“凸度”的公式，假如收益率从9%2下降2个百分点至7%，那2（1.045）$97.26么预期中的债券价格百分率变动为：

根据“修正后的久期”及“凸性”来预测债券价格百分率的变动： dP22(26.47)(0.02)MDdyCVdy=(－4.61)(－0.02)+=0.102788=10.28%； 根据“修正后的久期”及“凸性”来预测债券价格百分率的变动： P

dP22(26.47)(0.02)=0.102788=10.28%； MDdy上升CV2dy假如收益率从9%个百分点至11%，那么，预期中的债券价格百分率变动为：=(－4.61)(－0.02)+反过来，假如收益率从9%上升2个百分点至11%，那么预期中的债券价格百分率变动PdP2为： MDdyCVdy=(－4.61)(0.02)+(26.47)(0.02)2=－0.81612=－8.16%。 P假如收益率从9%上升2个百分点至11%，那么，预期中的债券价格百分率变动为： dPMDdyCVdy2=(－4.61)(0.02)+(26.47)(0.02)2=－0.81612=－8.16%。 P

进一步思考：收益率上升和下降都是2个百分点，债券价格百分率变动为什么不一样？

936.549.629，久期(一年)=9.6294.8145，修正后久期=4.81454.61。 936.544.8145期(半年)=97.26（10.045）久期==4.8145，修正后久期=2=4.61， 297.26（1+0.045）936.544.81454.61。 52，修正后久期.9411246.34，久期(一年)=9.6294.81459.629期(半年)==26.4752.94凸性(半年)= 11246.34，凸性。 10.045）97.262(一年)=2（2 凸性=2（1.045）$97=52.94.262221.04597.2611246.34

五、15国裕物流CP001的违约风险 （一）原理

债券的违约风险，又称信用风险，是指债务人（债券发行人）不能按时足额偿还债券利息和本金的风险。概括地说，违约事件有二类：一是实际违约事件，就是对合同本身约定的不履行，如发行人到期不偿还债券本金及利息等；二是预期违约事件，又称先兆性的违约事件，即发行人不履行合同的义务只是个时间问题，未来的某个时期肯定是要违约的，如发行人已经失去偿付能力，但还未到偿付时间。

一般来说，政府债券的信用级别越高，发生违约的概率最低；金融债券较之公司债券，总体上信用情况可能好一些；公司债券则依发行人信用状况而定，有些公司的信用级别很低，

违约风险很高。在债券市场上，当其他条件一样时，债券的违约风险越大，其价格就越低。此外，信用降级风险也属于信用风险。

违约风险的分析，主要是对发行人还本能力和付息能力等方面的分析。 （二）事件描述

2016年8月8日，武汉国裕物流产业集团有限公司(简称“国裕物流”)2015年度第一期短期融资券(简称“15国裕物流CP001”)未能逃脱违约的结局。当晚公司公告称，截至日终，公司未能按照约定筹措足额偿债资金，“15国裕物流CP001”不能按期足额偿付，已构成实质性违约。

“15国裕物流CP001”违约早有端倪。由于国际经济环境不景气、航运业动力过剩等因素影响，早在今年3月，国裕物流即自曝公司及下属子公司银行贷款逾期、垫款及欠息已共计约4.87亿元。此后公司又接连发布债务逾期进展、部分造船订单取消、资产抵质押、主要业务陷入停顿等相关公告。直至7月22日，国裕物流公告称逾期贷款均已续贷，欠息下降至468.65万元。随后的8月1日，公司进行风险提示公告称，公司正在通过多种渠道积极筹措偿债资金，但“15国裕物流CP001”到期兑付仍存在不确定性。

国裕物流主体评级及债项评级在此过程中连遭下调。国裕物流共发行过两支债券：“15国裕物流CP001”和“15国裕物流CP002”，规模分别为4亿元和2亿元，分别于今年8月6日和10月27日到期。两期短融发行时，大公均给予AA-/稳定的主体评级，A-1的债项评级；2016年2月，大公将国裕物流列入评级观察名单；4月将公司主体评级下调至BBB-/负面，债项评级下调至A-3；7月22日，大公将公司主体评级下调至CCC/负面，债项评级下调至C；8月3日，大公将公司主体评级下调至CC/负面，“15国裕物流CP001”债项评级下调至D，“15国裕物流CP002”信用等级维持C。

该起案例成为2016年内第14起债券违约事件。不过在此前已有多重风险预警和“债牛”延续的背景下，此次违约并未引起债市太大的波动。 （三）分析与思考

本次违约的发生，主要是国际经济环境不景气、航运业动力过剩等原因造成发行人经营状况恶化，营业收入大幅度下降。而营业收入是公司的利润来源和现金流的重要组成，是发行人偿还债券本息的基础。因此，发行人经营状况的恶化必然导致财务困境，最后无法还本付息。

但是在本次违约过程中，国裕物流在债券发行时已经公布自己的评级情况，给了投资者判断自己未来违约可能的可能；大公国际也做到了尽职履责，及时下调公司评级，来警示市场。在债券违约事件中，债券受托管理人需要承担重要责任。尤其是，当受托管理人预计发行人可能发生违约事件时，应当召开债券持有人大会，讨论相关事项，督促发行人寻找其他资金来还本付息，尽力维护持有人利益。

国裕物流的违约事件也提醒投资者在进行投资时密切关注发行人所在行业发展、未来趋势以及发行人未来的经营风险等问题。

进一步思考：如何辩证地看待我国债券市场的违约事件？

六、凸性的决定因素 （一）原理

债券价格和收益率之间不是线性关系，即当收益率变动相同幅度时，债券价格的变动幅度是变化的，并且越靠近原点，价格差越大，即债券的价格-收益率曲线是凸向原点的。这种价格和收益率的非线性关系就称为凸性。

凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸性的出现是为了弥补久期本身也会随着利率的变化而变化的不足。因为在利率变化比较大的情况下久期就不能完全描述债券价格对

利率变动的敏感性。凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。

债券凸性=

凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。 （二）事件描述

假设某债券的到期收益率为10%，下表给出了随着债券期限和票面利率的变化，该债券凸性的变化情况：

期限 5年 10年 20年 票面利率为0 15% 55% 210% 票面利率为10% 7.30% 12.30% 31.20% 试分析上表反映出的债券凸性的影响因素 （三）分析与思考

根据上述资料，如何利用债券定价和利率影响并结合现实来分析债券凸性的影响因素呢？

简要分析如下： 第一，比较同一票面利率下不同期限的债券凸性，我们发现长生命周期的债券凸性更明显，并且，长生命周期债券与票面利率变化之间的关系具有更明显的久期性质；

第二，短期债券的价格-利率关系几乎是一条直线，只有适当的弯曲，即短期债券凸性更小；

第三，凸性随着票面利率的降低而增大，随着票面利率的上升而减小； 第四，债券价格与利率的关系在曲线的低利率部分更加弯曲。