第2-3次作业答案(平面力系)

第2-3次作业答案(平面力系)

第1章刚体的受力分析
5.一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的作用力Fn=1000N，齿轮节圆

直径

D=0.16m，压力角（啮合力与齿轮节圆切线间的夹角），求啮合力Fn对轮心O之矩。

解：解法一利用定义式计算

解法二利用合力矩定理计算

将合力Fn在齿轮啮合点处分解为圆周力Ft和Fr，则由合力矩定理得：

6.刹车踏板如图所示，已知F=300N，与水平线夹角?=30o，a=0.25m，b=c=0.05m，推杆顶力为水平方向。试求踏板平衡时，推杆顶力Fs的大小。

解：踏板AOB为绕定轴O转动的杠杆，力F对O点矩与力FS对O点矩平衡。力F作用点A坐标为 x?b?0.05m
力F在x﹑y轴上的投影为

???Fx??Fcos30??260N??F??Fsin30??150N?y?y?a?0.25m力F对O点的矩

MO(F)?xFy?yFx?[0.05?(?150)?0.25?(?260)]N?m?57.5N?m

Oii?1
由杠杆平衡条件 M(F)57.5得到F?o?N?1149N?Mn(F)?0

S

7．两力偶作用在板上，尺寸如图，已知F1=F2=1.5 kN，F3=F4= 1 kN，求作用在板上的合力偶矩。

解：由式M= M1 + M2
则

M=-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 =-350 N· m
负号表明转向为顺时针。

第2-3章平面力系
平面汇交力系和力偶系

1.圆柱的重量G=2.5kN，搁置在三角形槽上，如图所示。若不计摩擦，试用几何法求圆柱对三角槽壁A、B处的压力。

解：（1）画圆柱受力图，如图2-1a所示，其中重物重力G垂直向下，斜面约束反力FNA、FNB沿分别垂直与各自表面。

a) b)
图2-1
（2）选比例尺，如图2-1b所示。

（3）沿垂直方向作ab代表重力G，在a点作与ab夹角为400的射线ac，在b点作与ab夹角为600的射线bc，得到交点c。则bc、ca分别代表FNA和FNB。量得bc、ca的长度，得到FNA=1.63kN、FNB=2.2kN。

2.如图所示，简易起重机用钢丝绳吊起重量G=10kN的重物。各杆自重不计，A、
B、C三处为光滑铰链联接。铰链A处装有不计半径的光滑滑轮。求杆

AB和AC受到的力。

解：画A处光滑铰链销钉受力图（见图2-2），其中

重物重力G垂直向下；
AD绳索拉力FT沿AD方向，大小为G；AB杆拉力FBA沿AB方向；
AC杆受压，推力FCA沿CA方向。

以A为原点建立Axy坐标系，由平衡条件得到如下方程：图2-2

?Fix?0,

i?1nFCAsin450?FBA?FTsin300?0 (a)

?Fiy?0,

i?1nFCAcos450?FTcos300?G?0(b)
由(b)式得FCAG(cos300?1)??26.4kN，代入（a）式得0cos45

FBA?FCAsin450?FTsin300?26.4?0.707?10?0.5?13.66kN
所以杆AB受到的力FBA?13.66kN，为拉力；杆AC受到的力FCA?26.4kN，为压力。

3.锻压机在工作时，如图所示，如果锤头所受工件的作用力偏离中心

线，就会使锤头发生偏斜，这样在导轨上将产生很大的压力，加速导轨的

磨损，影响工件的精度。已知打击力P=150kN，偏心距e=20mm,锤头高度h=0.30m。试求锤头加给两侧导轨的压力。

解：画锤头受力图，如图2-3所示，锤头受打击力F=150kN，工件的反作用力F’，两侧导轨的对锤头压力FN1、FN2。由平衡条件得到：

?Fix?0,
i?1nFN1?FN2；

?Fiy?0,

i?1nF'?F
（FN1、FN2）构成一力偶，力偶
矩M1?FN1?h；（F’、F）构成
一力偶，力偶矩M2?Fe。由平
面力偶系平衡条件得：图2-3

FN1?FN2?Fe/h=10kN
''故锤头加给两侧导轨的压力大小为FN1=FN2=10kN，方向与FN1、FN2相反。

平面一般力系

4.拖车的重量W=250kN，牵引车对它的作用力F=50kN，如图所示。当车辆匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力。

图2-4解：画拖车受力图，如图2-4所示，拖车受6个力的作用：牵引力F，重力G，地面法向支撑力FNA、FNB，摩擦力FA、FB。

由平面一般力系平衡条件得到：

?Fix?0,

i?1n?FA?FB?F?0

?Fiy?0,

i?1nFNA?FNB?G?0

?MA(Fi)?0,

i?1nFNB?(4?4)?G?4?F?1.5?0
联立上述三式，解得FNB?134.4kN,FNA?115.6kN。所以当车辆匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力分别为115.6kN、134.4kN。

5.图中所示飞机起落架，已知机场跑道作用于轮子的约束反力ND铅直向上，作用线通过轮心，大小为40kN。图中尺寸长度单位是毫米，起落架本身重量忽略不计。试求铰链A和B的约束反力。

解：取轮子和AC为分离体，画轮子和 ，分离体受到：AC杆受力图（见图2-5）

机场跑道作用于轮子的约束反力FND，
铅直向上；

A处受到光滑铰链销钉的作用力FAx、FAy；
BC杆为二力杆，故分离体C点受到BC杆
作用力FBC沿CB方向，假设为拉力。由tan??500?1000，解得??31.6。650
n图2-5 由平面一般力系平衡条件得到：?Fix?0,

i?1FAx?FBCsin?

?FNDsin150?0

?Fiy?0,

i?1

nnFAy?FBCcos??FNDcos150?0?MO(Fi)?0,

i?1?FAx?(600?650)?FBCcos??100?FBCsin??600?0
联立上述三式，解得铰链A的约束反力FAx=-15.57kN,FAy=-64.5kN，BC

杆对C点作用力FBC=28.8kN。所以铰链B的约束反力FB=FBC=28.8kN，方向与FBC相同。静定与超静定问题、物系的平衡
6.下图所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？

解：（a）静不定问题；
（d）静不定问题；（b）静定问题；（e）静定问题；（c）静不定问题；（f）静定问题
7.试求如图所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。

（1）（2）
解：1）计算附属部分BC梁1）计算附属部分BC梁

FC?FBy?qd

FBx?0

?M?F??0BiFC?2d?qd?d2?0FC?qd4 ?Fiy?0FBy?qd?FC?3qd4
2）计算基本部分AB梁
'FAx?FBx?0FBx?0 2）计算基本部分AB梁'FAx?FBx?0

?F

Aiy?0'FAy?FBy?qd?Fiy?0

Ai'FAy?FBy?qd?7qd4?M?F??0i??2d?0MA?FByMA?2qd2?M?F??0??2d?q

d?3d2?0MA?FBy

MA?3qd2
8.静定多跨梁的荷载及尺寸如下图所示，长度单位为ｍ，求支座反力

和中间铰处的压力。

解：按照约束的性质画静定多跨梁图2-8BC段受
力图（见图2-8），
对于BC梁由平衡条件得到如下方程：
?MB(Fi)?0,
i?1n1FNCcos600?6??20?62?0，FNC?120kN2
FBx?FNCsin600?0， FBx?FNCsin600?103.9kN?Fix?0,
i?1n
?Fiy?0,
i?1nFBy?20?6kN?FNCcos600?0， FBy?60kN
故支座反力C反力FNC?120kN，方向垂直与支撑面；中间铰处B的压力FBx?103.9kN、FBy?60kN。

求支座反力9.静定刚架所受荷载及尺寸如下图所示，长度单位为ｍ，
和中间铰处压力。

解：画静定刚架整体受力图（见图2-9a），由平衡条件得到如下方程：

a) b)图2-9
?MB(Fi)?0,
i?1n1?FAy?10?50?5kN?m??20?52kN?m?0，FAy?02

（a）?Fix?0,

?Fiy?0,
i?1nFAy?20?5kN?FBy?0， FBy?100kN
讨论刚架右半部分BC，受力图见图2-9b，由平衡条件?MC(Fi)?0得到如下方程：

i?1n

1FBx?5?FBy?5??20?52kN?m?02
解得FBx??50kN，代入(a)式得到FAx?0。由平衡条件?Fix?0、?Fiy?0得

i?1i?1nn
到：

FCx??FBx?50kN
FCy?20?5kN?FBy?0，F

Cy?0
所以A、B支座反力和中间C铰处压力分别为FAx?0，FAy?0，
FBx??50kN，FBy?100kN，FCx?50kN，FCy?0，方向如图2-9所示。
10.如下图所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m，设计要求：

当α＝200，β=3.20时达到最大冲力F=315kN。求在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩Ｍ，并求此时轴承Ｏ的约束反力。

解：画滑块B、曲柄OA受力图，如图2-10所示，AB杆为二力杆，故FAB、FBA作用线沿AB连线，对于曲柄而言，受到力偶M作用，只有轴承Ｏ的约束反力FO和FBA构成力偶，才能平衡M的作用，故FO平行于AB连线且与FBA反向。

对滑块B：

由?Fiy?0得到FAB?F/cos?；

i?1n
由?Fix?0得到FNB?Ftan?=17.6kN。

i?1n
因为FBA?FAB，故由FO?FBA
得到FO?FAB?F/cos?=315.5kN。

图2-10
将FO向水平和垂直方向分解得到：
FOx?FOsin??17.6kN，
FOy??FOcos???315kN。

M?FO?OAsin(???)?0由曲柄OA力矩平衡条件得到方程
解得M?FO?OAsin(???)?3155?0.23?sin23.2kN?m?28.6kN?m。

所以在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力FNB=17.6kN，曲柄上所加的转矩0M?28.6kN?m，此时轴承Ｏ的约束反力FOx?17.6kN，FOy??315kN。

11.在下图所示架构中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶矩M=100N·m，不计各杆件重量，求A、B、C处的约束反力。

解：1.对整体
图

2-11?ME?0

1?100?0.2?200???87.5?N???1.6

D?FAY?1.6?m?F?0.2?0?FAY2.对BD杆 ?M?0FBsin30??0.8?m?F?0.6?0
?FB?

3.对ABC杆 1?100?0.6?200??550?N?0.4C?M?0 FAX?1.6sin60??FAY?1.6cos60??FB'?0.8?0
?FAX
?FAY?0.8?FB'?0.8?1.6sin60??87.5?0.8?550?0.80.83 ?267?N?

∑F
∑F
X?0?0YFAXFB'cos30??FCX?0FCX?209?N?

FAY?FB'sin30??FCY?0FCY?187.5?N?

12.三脚架如下图所示，FP=4.0kN，试求支座A、B的约束反力。

图2-12a
解：（1）先取整体研究，如图2-12a所示，列平衡方程：nMB(Fi)?0?FAx?4r?FP?7r?0FAx??7.0kN i?1?

?n
Fix?0FAx?FBx?0FBx??FAx?7.0kNi?1
（2）再取BC杆研究，如图2-12b所示，列平衡方程：nMC(Fi)?0 ?FT?4r?FBy?6r?FBx?4r?0i?1
?FT?FP? FBy?2.0kN
（3）最后取整体研究，如图2-12a所示，列平衡方程：

nFiy?0FAy?FBy?FP?0 图2-12bi?1 FAy?FP?FBy?2.0kN ??

13.如下图所示，起重机停在水平组合梁板上，载有重G=10kN的重物，起重机自身重50kN，其重心位于垂线DC上，如不计梁板自重。求A、B两处的约束反力。

(a)
(b)
图2-13解：起重机受到平面平行力系作用，受力图如图2-13a所示。

?MH(Fi)?0,
i?1nF2?HK?G'?1?G?(1?4)?0， F2?50kN
?Fiy?0,
i?1nF1?G'?F2?G?0， F1=10kN
画ACB梁受力图，如图2-13b所示，由作用反作用定律可知F1=F1=10kN，’
F?F2?50kN。取CB梁为研究对象，由?MC(Fi)?0得:' 2i?1n
?F2'?1?FNB?8?0， FNB=6.25kN
取ACB梁为研究对象，由平衡条件得到如下方程：
?Fix?0,
i?1nFAx?0
?Fiy?0,
i?1nFAy?F1'?F2'?FNB?0, FAy=53.8kN

n
取AC梁为研究对象，由?MC(Fi)?0得：

i?1
MA?FAy?4?F1'?1?0，MA=205kN?m
所以A两处的约束反力FAx?0，FAy=53.8kN，MA=205kN?m；B两处的约束反力FNB=6.25kN。

14.平面桁架的荷载及结构尺寸如下图所示，求各杆的内力。

先求支座反力：

n图2-14a
以整体桁架为研究对象，参见图2-14a，由?MA(Fi)?0得到：

i?1

FB?29kN由?Fiy?0得到：

节点C：

?Fix?0，

FN4?FN7cos??0，

FN4?FN7cos???21kN（压） i?1

nn?Fiy?0,
i?1?FN7sin??FN8?0,FN8??FN7sin??21kN节点D：

?Fiy?0, FN8?FN5sin??30kN?0， FN5?15kNi?1n ?Fix?0，FN5cos??FN6?FN9?0， 即FN6?29kNi?1n节点H：

?Fiy?0,FN5?0

i?1n

?Fix?0，

FN2?FN6?29kN

i?1n

节点B：
?Fix?0，?FN2?FN1cos??0，FN1??FN2/cos??41kNi?1n
?Fiy?0以及节点E的平衡方程可作为校核计算结果的正确性。i?1n 15.求下图所示桁架中1、2、3各杆的内力，F为已知，各杆长度相等。

(a)

(b)
图2-15
解：先求支座反力设各杆长度为a，以整体桁架为研究对象，如图2-15a所示。

由?MA(Fi)?0得到：?2F?1.5a?F?2.5a?FB?4a?0, FB?1.37F5

i?1n

i?1
n
用假想截面将桁架截开，取左半部分，受力图如图2-15b所示，由平衡条件得到：
?MC(Fi)?0，?FA?2a?2F?0.5a?FN1?asin??0，FN1??2.6F
i?1
n
FA?2F?FN2sin??0，F
?Fiy?0， N
2??(FA?2
F)/sin??0.433F
i?1
n
?Fix?0，FN3?FN2cos??FN1?0，FN3??FN2cos??FN1?2.38F
i?1
n
所以桁架中１、２、３各杆的内力分别为FN1??2.6F（压），
FN2?0.433F，
FN3?2.38F。

考虑摩擦时的平衡问题
受水平力F=500N作用，物块与墙面间的静摩16.一物块重G=100N，

擦因数为fs= 0.3（1）问物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？

解：（1）做物块受力图如图2-16所示
图2-16

?F

?Fx?0FN?F?0FN?F?500N

y?0F1?W?0F1?W?100N

Fmax?fSFN?0.3?500?150N
因为F1?Fmax，所以物块处于平衡状态，摩擦力为F1，即100N。（2）用摩擦关系式求fs的取值范围。

令F1?fSFN 解得：fS?0.2
17.重物块重G，与接触面间的静摩擦系数为fs，力F与水平面间夹角为?，要使重物块沿着水平面向右滑动，问图示两种情况，哪种方法省力？

(a)
(b)解：重物块受力分析如图2-17所示。

图（a）：FN?G?F?nis?FSxm?fs??G?F?nisa图（b）：FN?G?F?nis
故图（b）省力。

?FSxma???fs??G?F?nis?? 图2-17
18.如图所示，置于V型槽中的棒料上作用一力偶，当力偶的矩M=15N·m时，刚好能转动此棒料。已知棒料重P=400N，直径D=0.25m，

不计滚动摩阻，求棒料与V型槽间的静摩擦因数fs。
解：取圆柱体为研究对象，受力如右图。列平衡方程：

?Fx?0，FSB?FNA?Pcos45??0
?Fy?0，FNB?FSA?Psin45??0
?MO?0，FSA
摩擦定律：

FSA?fsFNA DD?FSB?M?0 22

FSB?fsFNB
fs?2以上5式联立，解fs，可化得：PDfscos45??1?0 M代入所给数据得：

fs2?4.71fs?1?0
解得： fs?0.223
19.如图所示，铁板重2kN，其上压一重5kN的重物，拉住重物的绳索与水平面成30°角，今欲将铁板抽出。已知铁板和水平面间的摩擦因数

f1=0.20，重物和铁板间的摩擦因数f2=0.25，求抽出铁板所需力F的最小值。 解：画物块A的受力图（见图2-19a），

抽出铁板B时，铁板对重物A的摩擦力

FBA=f2FNB (a)

(a) (b)
图2-19
由平衡条件得到

?Fix?0，FBA?FTcos300?0

(b)i?1n
?Fiy?0， FTsin300?5kN?FNB?0

(c)i?1n
代(a)式入(b)式得

FNB?3.46FT (d)由(c)、(d)式得FT?1.26kN,FNB?4.36kN,FBA?1.09kN。

画物块B的受力图（见图2-19b）,由作用反作用定律可知：FAB=FBA，FNB=FNA。抽出铁板B时，地面对铁板的摩擦力

F??f1FN?0.2FN
由平衡条件得到

?Fix?0，

F?FAB?F??0, F?1.09kN?0.2FN?0

(e)

i?1n

?Fiy?0

FN?FNA?2kN?0,

FNi?1n?6.36kN

(f)

代(f)入(e)式得

F?2.36kN
所以抽出铁板B所需力F的最小值为2.36kN。

20.起重绞车的制动器由有制动块的手柄和制动轮所组成，如图
4—20所示。已知制动轮半径Ｒ＝0.5m，鼓轮半径r＝0.3ｍ，制动轮与制动块间的摩擦因数f＝0.4，提升的重量G＝1kN，手柄长l＝3m，a＝0.6m，b＝0.1m，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需力F的最小值。