【人教版七年级下册期末复习】 坐标及其性质的综合应用专项练习 『经典题例』
例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位正方形
及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为，
，得到
已知正方形ABCD内部的一个点F经
过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是
A．
B． C． D．
例2：已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8）．若点P在梯形内，且△PAD的面积等于△POC的面积，△PAO的面积等于△PCD的面积．求点P的坐标．
『专项测试』
一．选择题
1．如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，O)，(3，-l)，…，根据技个规律探索可得，第100个点的坐标为()
1
A．(14，0) B．(14，-1) C．(14，1) D．（14，2)
2．如图所示，一只电子跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→>(0，1)→(1，1)→>(1，0)→…]且每秒跳动一个单位，那么第45秒时跳蚤所在位置的坐标是()
A．(5，6) B．(6，0) C．(6，3) D．(3，6)
3．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积。
A．32
B．32．5
C．33
D．33．5
4．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
2
A．2 B．3 C．4 ，
，
D．．5
，
，把一根长为2019
的规律紧
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点
个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在A处，并按绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点，观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，，则边长为8的正方形内部整点个数为．
A．64 B．49 C．36 轴，，
D．25
C、P、H在x轴上，轴，点D、
，
7．如图，在平面直角坐标系中，
，
，
，把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线线粗
的规律紧绕在图形“凸”
细忽略不计的一端固定在点A处，并按的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
3
A． B． C． D．
，第二次向右跳动3个单位
，，以此规律跳动下
8．如图，在平面直角坐标系上有点至点
，第三次跳动至点
，点A第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点
去，点A第2020次跳动至点的坐标是
A．
B．
C．，
，
D．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知
。若在第二象限内有一点
则点P的坐标为。
三点，且a，b满足关系式
，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，
A． 二．填空题
B． C． D．
10．已知点A(a，0)和点B(0，5)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是________． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)，按A→B→C→D→A…排列，则第2019个点所在的坐标是________
4
12．如下图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位…，依此规律跳动下去，点P第2019次跳动至点P2019的坐标是________．
13．如图，在平面直角坐标系中，动点在第一象限及，轴上运动．第一次它从原点运到点后按图中箭头所示方向运动，即2018次运动到点
，则式子
的值是________．
，然
，每次运动一个单位长度，若第
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．
若
，点P的坐标是
5
三．解答题
15．在平面直角坐标系中，A（-1，2），B（3，6）．
（1）求三角形AOB的面积；
（2）设线段AB交y轴于点C，求点C的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣1），B（0，3），点M为第二象限内一点，且点M的坐标为（t，1）．
（1）请用含t的式子表示△ABM的面积；
（2）当t=﹣2时，在x轴的正半轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式
＋（b－3）2＝0，（c－4）2≤0．
6
（1）求a，b，c的值； （2）求出三角形ABC的面积？
（3）如果在第二象限内有一点P（m，），那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（4）在（3）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系满足
中，已知三点坐标．
，
，其中，
（1）求（2）求
三点的坐标； 的面积；
下方作
，使
，
交轴于点，交轴于点，求点，的坐标．
（3）如图2，在
19．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的路线循环移动．
（1）写出点B的坐标；
（2）当点P移动了4秒时，求出此时点P的坐标；
（3）在移动第一周的过程中，当△OBP的面积是8时，求出此时点P的坐标；
7
（4）若在点P出发的同时，另外有一点Q也从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线循环运动，请直接写出点P和点Q在第2020次相遇时的坐标．
坐标及其性质的综合应用专项练习 『经典题例』
例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位正方形
及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为
，得到
已知正方形ABCD内部的一个点F经
过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是
A．【答案】A
B． C． D．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组设F点的坐标为
；
，解可得a、m、n的值，
，点点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．
由点A到，可得方程组；由B到，可得方程组，解得，
设F点的坐标为，点点F重合得到方程组，解得，即．故选A．
8
例2：已知四边形AOCD是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8）．若点P在梯形内，且△PAD的面积等于△POC的面积，△PAO的面积等于△PCD的面积．求点P的坐标．
思路：根据题意画出图形，过点P作PE⊥y轴于点E，利用△PAD的面积等于△POC的面积，得出EO的长，进而得出PE的长，即可得出P点坐标． 【答案】解：如图，过点P作PE⊥y轴于点E．
因为：点A，C，D的坐标分别为（0，8），（5，0），（3，8），△PAD的面积等于△POC的面积，
所以：×3AE=×5OE，即3（8-OE）=5OE，解得：OE=3
所以：△PAD的面积=△POC的面积=×3×5=7．5，
△PAO的面积=△PCD的面积=[﹙3﹢5﹚×8÷2-2×7．5]÷2=8．5，
则×8PE=8．5，即PE=，所以：点P的坐标是（，3）．
『专项测试』
一．选择题
1．如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，O)，(3，-l)，…，根据技个规律探索可得，第100个点的坐标为()
9
A．(14，0) 【答案】D
B．(14，-1) C．(14，1) D．（14，2)
【解析】在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为(n，偶数列的坐标为(n，)；(n，−1)…(n，1−)，
由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行。代入上式得(14，−5)即(14，2)，
2．如图所示，一只电子跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→>(0，1)→(1，1)→>(1，0)→…]且每秒跳动一个单位，那么第45秒时跳蚤所在位置的坐标是()
)；(n，
−1)…(n，
)；
A．(5，6) 【答案】D
B．(6，0) C．(6，3) D．(3，6)
【解析】由图可得，4秒后跳蚤所在位置的坐标是（2，0）；16秒后跳蚤所在位置的坐标是（4，0）； 36秒后跳蚤所在位置的坐标是（6，0）；∴42秒时根据跳蚤向上跳动6个单位可以到达（6，6），45秒时根据跳蚤向左跳动3个单位可以到达（3，6），故答案为：
D．
3．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积。
10
A．32 B．32．5
C．33
D．33．5
【答案】B
【解析】：过C点作x轴的平行线，与AD的延长线交于F，作BE⊥CF，交FC的延长线于E，
根据点的坐标可知，AF=7，DF=2，EF=7，CE=3，CF=4，BE=6，
∴S四边形ABCD=S梯形BEFA-S△BEC-S△CDF=（6+7）×7-×3×6-×2×4=32．5
4．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
A．2 B．3
C．4
D．．5
【答案】A
【解析】B交x轴于C，那么根据图中的信息可知；C=1，
S△OAC=×1×2=1，S△OBC=×1×2=1，因此S△OAB=S△OAC+S△OBC=2．
11
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点
个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在A处，并按绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是
，把一根长为2019
的规律紧
A．【答案】A
B． C． D．
【解析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形ABCD的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．由点A，B，C，D的坐标可得出四边形ABCD为矩形及AB，AD的长，由矩形的周长公式可求出矩形ABCD的周长，结合点A的坐标即可得出结论． ∵∴∵
．
，∴细线的另一端在线段AD上，且距A点1个单位长度，
，即
．故选A．
，∴
，四边形ABCD为矩形，
可得出细线的另一端在线段AD上且距A点1个单位长度，结合
∴细线的另一端所在位置的点的坐标是
6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点，观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，，则边长为8的正方形内部整点个数为．
12
A．64 【答案】B
B．49 C．36 D．25
【解析】设边长为8的正方形内部的整点的坐标为则
，故x只可取
的数目为轴，
，x，y都为整数。
，0，1，2，3共7个，y只可取
个，故选B．
轴，点D、C、P、H在x轴上，
，把一条长为2018个单位长度且没有弹性
，
0，1，2，3共7个，它们共可组成点7．如图，在平面直角坐标系中，
的细线线粗细忽略不计的一端固定在点A处，并按在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
的规律紧绕
A．【答案】D 【解析】∵长为20，
B． C． D．
，∴“凸”形ABCDEFGHP的周
的余数为18，∴细线另一端所在位置的点在P处上面1个单位的位置，坐标为．故选D．
13
8．如图，在平面直角坐标系上有点至点
，第三次跳动至点
，点A第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点
，第二次向右跳动3个单位
，以此规律跳动下
去，点A第2020次跳动至点的坐标是
A．【答案】D 【解析】因为
为正整数，所以
D．
三点，且a，b满足关系式
，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，
，所以
故选
B．
C．
D．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知
。若在第二象限内有一点
则点P的坐标为。
A．【答案】A
【解析】由题意得，
B． C． D．
且，解得，且，所以，，
14
解得点
，又，解得，所以，
轴，
，
点B、C的横坐标都是3，
的面积，
，点在第二象限，
的面积相等，
，解得
，所以，点
，
．故选A．
四边形ABOP的面积与二．填空题
10．已知点A(a，0)和点B(0，5)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是________． 【答案】±4
【解析】根据坐标与图形得到三角形OAB的两边分别为|a|与5，然后根据三角形面积公式有：解得a=4或a=-4，即a的值为±4．
，
11．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-2)，D(1，-2)，按A→B→C→D→A…排列，则第2019个点所在的坐标是________
【答案】(-1，-2)
【解析】由题意知每四个点为一周期循环，
∵2019÷4=504…3，∴第2019个点所在的坐标与第3个点所在的坐标相同，即第2019个点所在的坐标 是（-1，-2），故答案为(-1，-2)．
12．如下图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位…，依此规律跳动下去，点P第2019次跳动至点P2019的坐标是________．
15
【答案】（-505，1010）．
【解析】由题中规律可得出如下结论：设点Pm的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4(n−1)和4n−3，在y轴左侧的点的下标是：4n−2和4n−1；
4-1，2020=4×(506-1)，∴点P2019的横坐标为-505． ∵2019=505×
∵点P1和点P2的纵坐标均为1，点P3和点P4的纵坐标均为2，点P5和点P6的纵坐标均为3， 2=1010， 因此可以推出，点P2019和点P2020的纵坐标均为2020÷
∴点P第2019次跳动至点P2019的坐标是（-505，1010），故答案为：（-505，1010）． 13．如图，在平面直角坐标系中，动点在第一象限及后按图中箭头所示方向运动，即2018次运动到点
，则式子
的值是________．
轴上运动．第一次它从原点运到点
，然
，每次运动一个单位长度，若第
【答案】50
4)秒，【解析】P点的速度是每秒运动一个单位长度，到(0，1)用的秒数分别是1(1=)秒，到(0，2)用8(2×6)秒，到(0，5)用25(5=)秒，到(0，6)用48(6×8)秒，依此类推，到(0，3)用9(3=)秒，到(0，4)用24(4×
到(0，45)用2025秒．2025−1−6=2018，故第2018秒时P点所在位置的坐标是(6，44)．6+44=50． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA=OB，BC=12，点P的坐标是（a，6）．
16
若，点P的坐标是
【答案】（14，6）或（－10，6）
【解析】∵S△ABO=•OA•OB，而OA=OB，∴•OA2=8，解得OA=4，∴OB=OA=4， ∴OC=BC−OB=12−4=8，A（0，4），B（－4，0），C（8，0）；
，当点P在第一象限，即a＞0时，作PH⊥x轴于H，如图①．
．
则2a－4=24．解得a=14．此时点P的坐标为（14，6）． 当点P在第二象限，即a＜0时，作PH⊥y轴于H，如图②．
则4－2a=24．解得a=－10．此时点P的坐标为（－10，6）．综上所述，点P的坐标为（14，6）或（－10，6）．
三．解答题
15．在平面直角坐标系中，A（-1，2），B（3，6）．
（1）求三角形AOB的面积；
17
（2）设线段AB交y轴于点C，求点C的坐标． 【解析】（1）解：如图所示：
S△AOB=S矩形DEFB-S△DAB-S△AOE-S△BOF=
OC×1+×OC×3=6，解得：OC=3．，所以C点的坐标为（0，3） （2）解：S△AOB=S△AOC+S△BOC=×
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣1），B（0，3），点M为第二象限内一点，且点M的坐标为（t，1）．
（1）请用含t的式子表示△ABM的面积；
（2）当t=﹣2时，在x轴的正半轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【解析】（1）解：由题意，点M到AB的距离为
，∴
18
又∵点M为第二象限内的点，∴（2）解：当t=-2时，由（1）知
，∴
，设点P的坐标为（m，0）（m>0）
分别过点M，点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，构造如图所示的长方形
则
由题意，
即点P的坐标为（1，0）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式
＋（b－3）2=0，（c－4）2≤0．
（1）求a，b，c的值； （2）求出三角形ABC的面积？
（3）如果在第二象限内有一点P（m，），那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（4）在（3）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：由已知c=4
＋（b－3）2=0，（c-4）2≤0，∴a-2=0，b-3=0，c-4=0．可得：a=2，b=3，
19
4×3=6 （2）解：∵B（3，0）C（3，4），∴BC=4，∴S△ABC=×
2×3=3，S△APO=×2×m=m，∴S四边形ABOP=S△ABO+S△APO=3+m=3+m （3）解：∵S△ABO=×
4×3=6，（4）解：因为S△ABC=×∵S四边形ABOP=S△ABC，∴3+m=6，则m=3，所以存在点P（-3，）使S四边形ABOP=S△ABC 18．如图，在平面直角坐标系满足
中，已知三点坐标．
，其中，
（1）求（2）求
三点的坐标； 的面积；
下方作
，使
，且
交轴于点，交轴于点，求点
，
的坐标．
（3）如图2，在
【解析】（1）解：∵
∴b-a-3=0，2a-b=0，解得，a=3，b=6，∴A（3，0），B（0，6），C（-5，4）； （2）解：如图，
20
过点C作CP⊥x轴于点P，S△ABC=S梯形CPOB+S△AOB-S△CPA=（4+6）5+3×6－48=25+9-16=18；
（3）解：将线段BC平移至点B与点A重合，则点C的对应点D（-2，-2）在CN上， 设M（x，0），过点D作DQ⊥x轴于点Q，
CP+AM×DQ=18， 则由S△ABC=S△ADC=S△DMA+S△CMA得，AM×
4（3-x）+×2（3-x）=18，解得，x=-3，∴M（-3，0）， 即×
过点C作CH⊥y轴于点H，则H（0，4）
设N（0，y），∵CN∥AB，∴S△NBC=S△NCA=S△CMA+S△NMA， 5（6-y）=×4×6+×6（-y）， ∴×
解得，y=-6，∴N（0，-6）．
综上，M和N的坐标分别为M（-3，0），N（0，-6）．
19．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的路线循环移动．
21
（1）写出点B的坐标；
（2）当点P移动了4秒时，求出此时点P的坐标；
（3）在移动第一周的过程中，当△OBP的面积是8时，求出此时点P的坐标；
（4）若在点P出发的同时，另外有一点Q也从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线循环运动，请直接写出点P和点Q在第2020次相遇时的坐标．
【解析】（1）解：∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），∴OA=4，OC=6． ∵四边形ABCO是长方形，∴AB=OC=6，BC=OA=4，∴点B（4，6） 2=8＞6，∴点P在BC上，∴PC=2，∴点P坐标为（2，6） （2）解：∵4×（3）解：如图，
①当点P在OC上时，S△OBP=
=8，∴OP1=4，∴点P（0，4），
6=8，∴BP2=，∴CP2=4-=，∴点P（，6）， ②当点P在BC上，S△OBP=BP2×
4=8，∴BP3=4，∴AP3=2，∴点P（4，2）， ③当点P在AB上，S△OBP=BP3×
6=8，∴OP4=，∴点P（，0） ④当点P在AO上，S△OBP=OP4×
（4）解：∵第一次相遇所需时间==s，∴点P，点Q相遇时坐标为（4，），
同理可求：第二次相遇时坐标为（，6），第三次相遇时坐标为（0，0），第四次相遇时坐标为（4，），
22
23
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