高中数学圆锥曲线方程知识点总结

高中数学圆锥曲线方程知识点

总结(总7页)

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§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程

1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长通常等于2a，且2a>F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

（1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：x2y2ab221(ab0).

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y

注：A.以上方程中a,b的大小ab0，其中bac；

2222a2x2b21(ab0).

x2y2y2x2B.在221和221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，

abab只要看x2和y2的分母的大小。

②一般方程：Ax2By21(A0,B0).

③椭圆的标准方程：

⑵椭圆的性质

①顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.

③焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).

x2a2y2b2xacos1的参数方程为ybsin（一象限应是属于02）.

④焦距：F1F22c,ca2b2.

a2a2⑤准线：x或y.

cc

⑥离心率：e(0e1).【∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于

a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程

ca为x2y2a2。】

⑦焦（点）半径：

i. 设P(x0,y0)为椭圆

ii.设P(x0,y0)为椭圆

由椭圆第二定义可知：右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：d

⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：

2x2a2y2b21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF22b2a2b2b2(c,)和(c,)

aapF1e(x0a2a2)aex0(x00),pF2e(x0)ex0a(x00)归结起来为“左加ccx2a2y2b21(ab0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则PF 1aex0,PF2aex0x2b2y2a21(ab0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则PF1 aey0,PF2aey0，

则PF1F2的面积为b2tan（用余弦定理与PF1PF22a可得）。若是双曲线，则面积为b2cot（3）

2。

（4）共离心率的椭圆系的方程：椭圆方程

x2a2y2b2t(t是大于

x2a2y2b21(ab0)的离心率是ec(ca2b2)，a0的参数，ab0)的离心率也是e 我们称此方程为共离心率

ca的椭圆系方程. 2.

3.椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（0e1）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。

二、双曲线方程

1.

2. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a，且2a⑴①双曲线标准方程：

一般方程：Ax2Cy21(AC0).

⑵①i. 焦点在x轴上：

a2xy顶点：(a,0),(a,0) 焦点：(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程：0或

cabx2a2y2b20

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).

ii. 焦点在y轴上：

yxa2顶点：(0,a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,c). 准线方程：y. 渐近线方程：0或

caby2a2xasec0，参数方程：b2ybtanx2或xbtanyasec .

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.

③离心率e.

2a2④准线距

c2b2（两准线的距离）；通径

aca.

⑤参数关系c2a2b2,e.

⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程

（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

MF1ex0aMF2ex0ax2a2cay2b21

构成满足MF1MF22a

MF1ex0a▲MF2ex0ayM' M▲yF1M

1x⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率FF2xM'e2.

F2

A.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；

B.等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直。

C.注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：x2y2(0) ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的

x2y2x2y2共轭双曲线.22与22互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

ababx2a2y2b20.

⑸共渐近线的双曲线系方程：

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

x2a2y2b20如果双曲线的

x2y2xy渐近线为0时，它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如：若双曲线一条渐近线为yx且过p(3,)，求双曲线的方程？

x2y21x22解：令双曲线的方程为：y(0)，代入(3,)得1.

82421212

2.双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离

的比为常数e（e>1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点F为双曲线的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。

三、抛物线方程

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y22px

p0叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（程是x

（2）抛物线的性质

设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径 通径 焦点弦 注：

x轴 p,0），它的准线方2p ； 2 y轴 （0，0） 2p x1+x2+p 2p x1+x2+p 2p y1+y2+p 2p y1+y2+p ①通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2 y2px（或x2py）的参数方程为y2pt22（或x2pt2y2pt）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义

1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线；当

e0时，轨迹为圆（ec，当c0,ab时）.【弦长公式aAB1k2x1x2(1k2)[(x1x2)24x1x2]】 2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆 双曲线 抛物线 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 定义 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 图形 方 标准程 方程 x2y21(ab>0) a2b2x2y21(a>0,b>0) a2b2 参数 方程 x2pt2y2pt(t为参数) 范围 中心 ─axa，─byb 原点O（0，0） |x| a，yR 原点O（0，0） x0 顶点 对称轴 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) p 2准 线 a2x=± c准线垂直于长轴，且在椭圆外. 2c （c=a2b2） a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a2b2） x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 离心率 e=1 【备注1】双曲线： （1）等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2. （2）共渐近线的双曲线系方程：

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

x2a2y2b20如果双曲线的渐近

x2y2xy线为0时，它的双曲线方程可设为22(0).

abab【备注2】抛物线：

（1）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为距离

2p，顶点到准线的2p，焦点到准线的距离为p. 22（2）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1x2+p或AB22p(α为直线AB的倾斜角)，

sin2p2py1y2p，x1x2,AFx1(AF叫做焦半径).

42§弦长公式：