函数的基本性质

一、单调性定义

1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A，若对于任意的x1，x2∈M，当x12．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明． 二、单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则(增)函数，为增(减)函数．

1

为减3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．

5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 三、函数单调性的应用有：

(1)比较函数值或自变量值的大小． (2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象． 四、函数的最大(小)值：

定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足： (1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)； (2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M. 称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值． 五、复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

t＝g(x) 增 增 减 减 六、解题技巧 y＝f(t) 增 减 增 减 y＝f[g(x)] 增 减 减 增 1．函数单调性的证明方法

(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．

(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．

2．函数最值的求法

(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．

1.(2010·天津模拟)函数y＝log1 (－x－2x＋3)的单调递增区间为________．

22.(文)函数y＝a在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为( )

x

2

A. B．2 C．4 D. 111334

3.(文)(2010·济南市模拟)设y1＝0.4 ，y2＝0.5 ，y3＝0.5 ，则( )

1214

A．y314．(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f范围是( )． A．(－1,1)

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)

5.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( )

A．y＝log0.5(1－x) B．y＝x0.5 C．y＝0.51x

－

1

D．y＝(1－x2)

2

10.31

6．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a＝log1 2，b＝log1 ，c＝2，则3

32( )

A．a＜b＜c C．b＜c＜a

B．a＜c＜b D．b＜a＜c

2

x－1 x≥03

7．(文)(2011·北京模拟)设函数f(x)＝1

x x<0

A．(－∞，－3) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)

D．(0,1)

，若f(a)>a，则实数a的取值范围是( )

8．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )

1

A. 2

1

B. C．2 D．4 4

9．(文)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

10.(文)(2011·平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，fx2－fx1有<0，则( )

x2－x1

A．f(3)11．(文)已知f(x)＝(x≠a)．

x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义

设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝______ (或f(－x)＝_____)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)． 2．关于奇偶性的结论与注意事项

(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．

(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又

是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．

(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)． 二、函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足

f(x＋T)＝____，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函

数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．

(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．

1.(2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )

A．y＝2 B．y＝x－x C．y＝2x D．y＝x3

|x|

2

*

2.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R上的偶函数( )

A．y＝x2－2x B．y＝2x C．y＝cos2x

1

D．y＝

|x|－1

3.(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝

12A. B. 233

C. D．1 4

xx＋

x－a为奇函数，则a＝( )

4.(文)(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

5．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于( )

A．－1

1111B. C．1 D．－ 44

1x6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝()，则f(1)，

2

g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．

x＋1

7．(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所

x＋4有x之和为( )

9A．－

2

7

B．－ C．－8 D．8

2

8．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)

＝－x2＋1.则f(－5)＝________.

9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

10．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为( )

A．a B．－a C．0 D．2a

11．(2011·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋13)＝，则f(2010)的值为( )

－fx

A．－2－3

B．－2＋3 C．2－3 D．－3－3

4

(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． 2ax＋a

12．(文)已知函数f(x)＝1－

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的值域；

(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．