泾川县第二中学 王继伟
新课改的主旋律是培养学生的创新精神和实践能力，学生的创新
精神是信息化社会的需要，21世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代。创新精神、实践能力是新世纪公民所必须具备的基本素质。正如江泽民同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”。培养学生的创新精神和实践能力，小而言之，它关系到一个人的生存质量、生命质量；大而言之，它关系到一个民族的生存与发展。因此，在初中数学教学中培养学生创新精神尤为重要。现将我的做法和感受作以论述。 一、抓好“四基”教学，打好创新基础
“九层之台，起于累土；合抱之木，生于毫末”，学生的良好素质和创新精神必须根植于“四基”的沃壤之中。学生创造性的成果主要表现为对已有数学知识的发现概括或创造性运用。其实，大至新知识的创造和新技术的发明，它们都是以已有的知识和技术为基础的；而且，就一般而论，知识面越广越深，其创造性的可能性就越大。就学生创造性而言，更是以已有的知识作为新知的生长点。所以我们在教学中，必须切实重视“四基”教学，全面完成“四基”教学任务。
（一）抓好数学概念教学
概念是客观事物本质属性在人们头脑中的反映。数学概念是数学的基石，数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。只要对概念理解的深透，才能在解题中做出正确的判断。学生数学能力的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。而在现实中，许多学生对数学的学习，只注重盲目的做习题，不注重对数学概念的掌握，对基本概念含糊不清。做习题不懂得从基本概念入手、思考解题依据、探索解题方法，而是跟着感觉走。这样的学习，必然越学越糊涂，因而数学概念的教学在整个数学教学中有其不容忽视的地位与作用。
1.概念的引入：（1）从学生已有的生活经验、熟知的具体事例中
进行引入。如“圆”的概念的引出前，可让同学们联想生活中见过的年轮、太阳、五环旗、圆状跑道等实物的形状，再让同学用圆规在纸上画圆，也可用准备好的定长的线绳，将一端固定，而另一端带有铅笔并绕固定端旋转一周，从而引导同学们自己发现圆的形成过程，进而总结出圆的特点：圆周上任 意一点到圆心的距离相等，从而猜想归纳出“圆”的概念。（2）在复习旧概念的基础上引入新概念。 概念复习的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此，在教学新概念前，如果能对学生认知结构中原有的适当概念作一些类比引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如：在学一元二次方程时，就可以先复习一元一次方程，因为一元一次方程是基础，一元二次方程是延伸，复习一元一次方程是合乎知识逻辑的。通过比较得出两种方程都是只含有一个未知数的整式方程，差异仅在于未知数的最高次数不同。由此，很容易建立起“一元二次方程”的概念。
2．分析概念含义，抓住概念本质。（1）揭示含义，突出关键词。 数学概念严谨、准确、简练。教师的语言对于学生感知教材，形成概念有重要的意义，因此要特别注意用词的严格性和准确性。教师要用生动、形象的语言讲清概念的每一个字、句、符号的意义，特别是关键的字、词、句，这是指导学生掌握概念，并认识概念的前提。 如：“分解因式”概念：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫把这个多项式分解因式。”在教学中学生往往只注重“积”这个关键词，而忽略了“整式”，易造成对分解因式的错误认识。所以在教学中务必强调，并与学生分析这两处关键词的含义，加深对概念的理解。（2）分析概念，抓住本质。 数学概念大多数是通过描述定义给出它的确切含义，它属于理性认识，但来源于感性认识，所以对于这类概念一定要抓住它的本质属性。 如：“互为补角”的概念：“如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角。”其本质属性：①必须具备两个角之和为180°,一个角为180°或三个角为180°都不是互为补角，互补角只就两个角而言。②互补的两个角只是数量上的关系，这与两个角的位置无关。通过这两个本质属性的分析，学生对“互为补角”有了全面的理解。
3.剖析变化，深化概念。 数学概念都是从正面阐述，一些学生
只从文字上理解，以为掌握了概念的本质，而碰到具体的数学问题却又难以做出正确的判断。因此，在教学过程中，必须在学生正面认识概念的基础上，通过反例或变式从反面去剖析数学概念，凸显对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的全面性。 如：在学习对顶角的概念后，让学生做题：下列表示的两个角，哪组是对顶角？（a） 两条直线相交，相对的两个角,（b）顶点相同的两个角,（c） 同一个角的两个邻补角。 前后联系，多方印证，加深认识。部分学生对概念的全面理解不可能一蹴而就，而是要经历：实践——认识——再实践——再认识的过程，这是个“正确”与“错误”摇摆不定的过程，更是一个对概念的理解不断深化的过程。事实上，学生在初步学习某一数学概念之后，对概念的理解并不怎么深刻，而是通过对后续知识的学习让学生回过头来再对概念进行加深理解，遵循“循环反复，螺旋上升”的学习原则。如：学生刚接触“二次函数”的概念时，仅能从形式上判断某一函数是否为二次函数。但当他们学习了其图象，研究了图象的性质后就能根据二次项系数a 得出图象的开口方向，由a、b 确定图象的对称轴，由a、b、c 给出图象的顶点坐标。这时对二次函数的概念记忆深刻，能脱口而出了。
4.概念的记忆。（1）并列概念，举一反三。如：一元一次方程的概念：“只含有一个未知数，并且未知数的指数为一（次），这样的方程叫做一元一次方程”，清楚了“元”与“次”的含义，则一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式等概念就水到渠成了。通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化，让学生轻轻松松记概念。（2）易混淆概念，联系区别。任何一个概念都有它的内涵和外延，外延的大小与内涵 成反比关系。内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。把握概念的内涵与外延，能大大增加学生对概念的明晰度，提高鉴别能力，避免张冠李戴，为此，把所教概念同类似的相关的概念相比较，分清它们的异同点及联系，也就显得十分重要。如：学完“轴对称”与“轴对称图形”的概念后，可引导学生找出两者之间的联系和区别。联系：两者都有对称轴，如把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形，如把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那
么这两部分成轴对称。区别：“轴对称”是指两个图形成轴对称，主要指这两个图形特殊的位置关系；而“轴对称图形”仅仅是指一个图形，主要指这个图形所具备的特殊形状。通过这样的联系与区别，学生加深了对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认知概念的清晰度。（3）从属概念，图表体现。 有从属关系的概念其外延之间有着互相包含的关系，在复习阶段若以图表的形式表现，能使概念系统化、条理化，有利于学生的记忆和理解。
5.概念的巩固。（1）利用新概念复习就概念。如：在四边形这一章中：平行四边形具有四边形所有性质，矩形具有平行四边形所有性质，菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有 矩形、菱形的所有性质。这样链锁式概念教学，既掌握了新概念又加深了对就概念的理解。（ 2）加强预习。在课堂教学中优先考虑概念题的安排，精讲精练，讲练结合，合理安排，选题时注意题目的典型性、多样性、综合性和针对性，做到相关概念结合练，易混淆概念对比练，主要概念反复练。（ 3）对学生在练习中，课外作业中出现的错误，要抓紧不放，及时纠正。概念教学的重点不是记熟概念，而是理解和应用概念解决实际问题。因此，教师要引导每一位学生清楚的认识到所犯错误是哪一个概念用错了，或者是将哪一个概念的关键词忽略了，今后遇到类似的问题怎么办。即使是其它方面的错误也要找出是否概念不清而致错，予以分析纠正。（4）每一单元结束后，要进行概念总结。总结后，要特别注意把同类概念区别分析清楚，把不同类概念的联系分析透彻。概念的形成是一个由特殊到一般的过程，而概念的运用则是一个由一般到特殊的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。（5）运用概念去分析问题和解决问题，是教学过程中的高级阶段，在应用中求得对概念更深层次的理解，以达到巩固的目的，同时也使学生认识到数学概念既是进一步学习数学理论的基础，又是进行再认识的工具。当然应用概念应由易 到难，循序渐进，有一定的梯度，以符合学生的认知规律，便于将所掌握的知识转化为能力。
（二）培养良好的数学学习方法, 1.学会学习 :五要：（1）围绕老师讲述展开联想；（2）理清教材文字叙述思路；（3）听出教师讲述的重点难点；（4）跨越听课的学习
障碍，不受干扰；（5）在理解基础上扼要笔记。
五先：（1）先预习后听课；（2）先思考后提问；（3）先练习后做作业；（4）先理解后记忆；（5）先复习后考练。
五会：（1）会制定学习计划；（2）会利用时间充分学习；（3）会进行学习小结；（4）会提出问题讨论学习；（5）会阅读参考资料扩展学习。
2.调试学习心理。 五心：（1）开始学习有决心；（2）碰到困难有信心；（3）研究问题有专心；（4）反复学习有耐心；（5）向别人学习要虚心。
六到：心到：开动脑筋，积极思维；眼到：勤看，多方面增加感性知识；口到：勤问、勤背诵，熟记一些必需知识；耳到：要勤听，发挥听觉容量的最大潜力；手到：要勤写，抄写、记录是读书关键；足到：要勤跑，实地考察或请教别人。要养成良好的预习习惯，预习看书应做到：粗读。先粗略浏览教材的有关内容，掌握本节知识的概貌；细读。对书本知识反复阅读、体会、思考。注意知识形成过程，对疑点做相应记号，以便带着疑问去听课。这样，在听课时就有的放矢了。上课要听知识引入及知识形成过程，听懂重点、难点剖析，听例题解法的思路和数学方法的体现，要紧紧抓住老师的思路，注意老师叙述问题的逻辑性，要看问题是怎么提出来的，以及分析问题和解决问题的方法步骤。要多思、勤思、随听随思。要多记：上课要记课堂要点。记笔记要掌握记录时机，应记要点、记疑问、记解题方法和思路，还要记小结、记课后思考题。及时复习是提高数学成绩必不可少的方面。复习做题时要先看笔记、看习题，通过看，回忆、熟悉所学内容，再列出相关的知识点、标出重点、难点，列出各知识之间的联系，同时在课本中找出与之相同的类型。在平时测试中，把遗漏的知识找出来，进行积累，从而 形成一定的运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力，将实际问题抽象为数学问题的能力，形数结合互相转化的能力，观察、实验、比较、猜想、归纳问题的能力，研究、探讨问题的能力和创新能力。
（三）灵活应用数学思想方法 。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素质的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才
能有效的应用知识形成能力。在我们解决问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法。数学思想方法是借助于数学知识技能为载体而体现出来的，思想要融入内容和应用中，才成为思想，就思想方法讲思想方法，学生会感到枯燥无味，是不能真正掌握数学思想方法的，只有在教学中反复多次渗透，方能“随风潜入夜，润物细无声”，让学生在不知不觉中领会、掌握，才能自觉应用，形成能力。
1.结合初中数学课程标准，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究 要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法—提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识——方法——思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。 2.以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中
教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。 应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教
学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。 数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。
3.重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法 数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。 概念既是思维的基础，又是思维的结果。恰当地展示其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：①解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；②揭示概念的形成过程，让学生综合概念定义的本质属性；③巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。 在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注意灌输数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，
使学生领悟蕴含其中的思想方法。 数学问题的化解是数学教学的核心，其最终目的要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实际问题。例如“平行四边形的面积求法”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，得到以化归思想指导将思维定向转化成求已知矩形的面积。这样以问题的变式教学，使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现化归目标，而化归的手段是“三角形位移”，由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想，同时提高了学生探索性思维能力。在数学知识的引进、消化和运用的过程中，要利用单元复习和阶段性总结的时间，以适当集中的方式，从纵横两方面整理、概括和提炼出数学思想方法纲要和系统。以分散方式的渗透性教学为基础，集中强化数学思想方法教育的形式，促使学生对数学思想方法由个别的具体感悟上升到一般的理性认识，这有利于提高教学效果。
4.通过范例和解题教学，综合运用数学思想方法 ，一方面要通过解题和反思活动，从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想；另一方面在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。 范例教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习进行。要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特殊规律的范例，在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法，提高学生的思维能力。例如，对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的变通性；对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对某些问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培养其横向思维等等。此外，还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。 要引导学生把握知识的整体结构，形成合理的数学模型，通过综合运用数学思想方法，融会贯通各知识点和单元，建立一个以范例和习题为中心
的知识网络，纵向加深知识层次，横向联系以发展思维能力，形成全局性的数学思想方法。
二、教师在自己的教学实践中要不断创新 （一）在新知识的传授过程中，设计创新情境
教师在教学时，态度必须和蔼可亲，面带笑容，使学生在课堂上深感轻松愉快，敢想敢说，大胆陈述自己的想法，允许学生用自己的方法学习、思考。容忍学生的错误和失败，鼓励学生提出不同的问题和解题方法，以自由、民主、宽松的教学气氛培养学生的创新情感。如在七年级上册《用字母表示数》的教学中，我们可以这样引入： 师：每天我们总能从学校的公布栏中得到一些重要信息，比如今天老师看到一则招领启事：初一(8)班的小丽同学昨天下午在学校大门口捡到一只钱包，内有人民币若干，请丢失钱包的同学尽快来初一(8)班小丽处认领。
初一（8）班9月21日
师：启事中为什么要用“若干元”表示钱款数？ 生：……。
师：若干元表示多少钱?能否概括地表示出来? 生：……。
师：我们可以用字母来表示数，本节课我们就来研究怎样用字母表示数。
创设一些贴近学生生活的情境，让他们在情境中逐步体会知识的产生、形成与发展的过程，使他们在兴趣盎然中获得积极的情感体验，感受知识的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。往往能取得事半功倍的效果。又如在八年级上册《勾股定理》的教学中，可设计如下导入方式： 师：《九章算术》是我国古代数学的精典之作，它曾一度作为古代书院的数学教本，直到今日，书中的一些问题还深深的吸引着我们。 师：《九章算术》中有这样的一道题：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸适与岸齐，问水深、葭长各几何? 师：你知道这道题所表达的信息吗?
生：有一个边长为10尺的方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，
高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边B'，问水深、芦苇各多少? 师：如何解决这个问题呢? 生：……
师：通过今天的学习，我们能解决这个问题
《勾股定理》设置古典知识的情境，可拓展学生的知识面，同时让学生带着问题走进课堂，易激起学生的强烈求知欲，让学生主动参与到课堂中来。
（二）在知识归纳的过程中,寻找创新的途径
对数学知识的归纳总结过程是一个再学习的过程，通过对知识的归纳总结，可以加深记忆。 记忆是知识的仓库，学过的知识记得牢，积累的知识就丰富，而丰富知识的积累将为创造型人才的培养奠定坚实的基础。因此我们每一位数学教师都应该重视对知识的归纳总结，例如：有理数的运算方法是初一学生遇到的第一种新运算。由于受小学学习数学的思维和方法的制约，学生对有理数运算不太适应，特别是容易出现符号问题。面对这种情况，我在平时教学中通过下面的方法归纳总结：（1）有理数，学运算，运算过程有两点，一是符号要判断，二是绝对值计算。（2）加法运算要会算，两种情况分别看，同号符号不改变，绝对值加要计算：异号符号要细看，绝对值减是关键。（3）减法运算要转换，明辨“两变一不变”，乘除要把符号断，运算顺序把好关。整式加减运算是初中学生学到的第一种代数式的运算，它的实质是合并同类项。对于同类项的判断与合并可以总结为：同类项，须判断，“两相同”是条件；合并时要计算，系数加，“两不变”。因式分解是代数中一种重要的恒等变形方法，它的灵活性、技巧性很强，为了帮助学生恰当地运用学过的几种方法进行因式分解，可以总结为：首先提取公因式，然后考虑用公式，“十字相乘”试一试，分租分得要合适。四种方法反复试，最后必是连乘式。总之，只要我们在平时的数学学习中，坚持及时总结，动脑梳理，便会有效记忆知识，提高学习效率。
三、培养学生的创造思维能力，让学生学会创新
21世纪将是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质
创造型人才．人的创造力包括思维能力和创造个性两个方面，而创造思维是创造力的核心，所谓创造思维就是与众不同的思考．数学教学中所研究的创造思维，一般是指对思维主体来说是新颖独到的一种思维活动．它包括发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题等思维过程．尽管这种思维结果通常并不是首次发现或前所未有的，但一定是思维主体自身的首次发现或超越常规的思考．它具有独特性、求异性、批判性等思维特征，思考问题的突破常规和新颖独特是创造思维的具体表现．这种思维能力是正常人经过培养可以具备的．知识和技能可以传授，创造思维能力只能培养。 （一） 利用一题多解，培养学生的发散思维能力 一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。例如：客车和货车同时从甲乙两地相对开出，客车每小时行50千米，货车每小时行40千米，4小时相遇。甲乙两地相距多少千米？学生按常规用①50 ×4+40×4=360(千米) 、 ②(50+40)× 4=360(千米)。两种方法解答后,教师及时设问：“如果假设客车和货车速度相同会怎样？这道题还有其它的解法吗？”启迪学生思考，从而得出几种新颖奇特、富有思维价值的解法。方法1：假设客车和货车每小时都行40千米，客车就少行4个10千米，于是可得：40× 8+4 ×10=360（千米）。方法2：假设客车和货车每小时都行50千米，货车就多行4个10千米，于是可得：50× 8-4 ×10=360（千米）。方法3：假设客车和货车都每小时行40千米，而客车多行的也正好是40千米，就可以得出解法：40× 9=360（千米）。又如:已知：（a+b）:3b=2:5,求a:b的值。方法1：利用比例的基本性质，5（a+b）=2×3b，5a=b,a:b=1:5。方法2：利用合比定理，a+b／3b=2:5, a+b／b=6:5, a+b-b／b=1:5,即a／b=1:5.方法3：利用多项式除法，原式可以变形为：(a／3b)+(b／3b)=2：5，a／3b=1:15,即a／b=1:5。
方法4：构造方程：设a／b=k,则a=kb,(kb+b):3b=2:5,k+1=6:5,k=1:5即a／b=1:5.方法5：构造方程组，设a+b=2k,3b=5k,可以用含k的式子表示出a和b,进而求的a:b的值。 (二)利用开放型问题培养学生的求异思维
开放性问题就是问题的条件、结论或过程开放。由于问题开放，学生可以按照自己的方式去思考和想象可能的情况，在思考过程中，学生的创新能力和创新品质得到培养，求异思维得到发展。例1.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E，PC在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG．若
PG探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的ABCBEF60，
PC思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D C D
P G F P
G F B A E A B
图1 图2 E
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中ABCBEF2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG的值（用含的式子表示）．例2.将一正方形纸片按下列顺序折叠，PC然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形。
将纸片展开，得到的图形是（ ）
例3.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。 ．． （1）所需的测具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.
（三）提倡辩论，培养学生创新精神
在教学过程中，要鼓励学生不迷信教师和书本的权威，向老师挑战，向书本挑战。学生敢于发表自己的见解，是培养学生创造性思维的重要前提。针对教学中的疑难点，教师有意识地设置争议情境，让学生参与讨论，给学生一个充分表现自己的机会。例如，让学生解答这样一道题：“有两根钢管，同样长，第一根锯下3／4，第二根锯下3／4米，哪根剩下的部分长？”。经过学生热烈的讨论，得出结论：（1）当两根钢管都是1米时，两根剩下的部分一样长；（2）当两根钢管的长度大于1米时，第二根剩下的部分长；（3）当两根钢管的长度大于3／4米而小于1米时，第一根剩下的部分长。
总之，创新是一个民族生生不息的灵魂，是人类不断进步发展的源泉，只有学会探索自然规律，掌握获取知识方法的人，才是21世纪最有用的人。我们应该勇于创新，培养学生的创新意识，努力把他们培养成为21世纪最有用的人。
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