2018-2019学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

（理）试题

一、单选题

1．命题“xR,x20”的否定是（ ） A．xR,x20

2C．x0R,x00

2B．x0R,x00 2D．x0R,x00

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定的求解方法，结合题目进行求解. 【详解】

2根据全称命题的否定，“xR,x20”的否定是x0R,x00.

故选：D. 【点睛】

本题考查全称命题的否定，易错点是对条件也进行了否定.

2．已知直线ax2y10与直线(a4)xay10垂直，则实数a的值为（ ） A．0 【答案】B

【解析】试题分析：由题意得，直线ax2y10与直线(a4)xay10垂直，则a(a4)2(a)0，

即a26a0，解得a0或a6，故选B． 【考点】两直线位置关系的应用．

3．已知条件甲：曲线C是方程f(x,y)0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A

【解析】根据曲线的方程和方程的曲线的定义，进行判断即可. 【详解】

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B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．0或6

C．-4或2

D．-4

因为若曲线是方程f(x,y)0的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)0的根；

但若曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)0的根，曲线不一定是方程f(x,y)0的曲线.

故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定，其本质是对曲线和方程的认知，属基础题. 4．已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为（ ）

A．(x1)(y1)2 C．(x1)(y1)2 【答案】D

【解析】设出圆心坐标为(a,a)，由圆心到两切线的距离相等可求得a，同时求得半径． 【详解】

由题意可设圆心坐标为(a,a)，则2222B．(x1)(y1)2 D．(x1)(y1)2

2222|aa||aa4| 22|4|2R 2解得a1，所以圆心坐标为(1,1)，又所以R【点睛】

222，所以圆的方程为(x1)(y1)2，故选D．

本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的相切问题，解题关键是性质：直线与圆相切的充要条件是圆心到切线的距离等于圆的半径．

x25．椭圆y21的离心率e为（ ）

4A．

1 2B．2 2C．3 2D．23 或22【答案】C

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【解析】由椭圆方程可得a,b,c，即可直接求解离心率. 【详解】

x2因为椭圆方程为：y21

4故a4,b1,cab3

22222故可得e故选：C. 【点睛】

c3. a2本题考查椭圆离心率的求解，本题中可直接求解.

x2y26．F1,F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且A点的坐标为(1,m)，

97则△AF1F2的面积为（ ）

A．47 3B．214 3C．1 D．

3 2【答案】A

【解析】根据点A的横坐标，计算出纵坐标，再用三角形面积公式即可求解. 【详解】

x2y2因为椭圆方程为1，故c22,c2 97又点(1,m)在椭圆上，代入可得：m214 3故SnAFF12故选：A. 【点睛】

121447 2cm2233本题考查椭圆上一点坐标的求解，涉及三角形面积的处理，属基础题.

x2y27．已知双曲线221一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率

ab等于5，则该双曲线的实轴长为（ ）

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A．5 5B．

1 2C．25 5D．1

【答案】C

【解析】根据焦点坐标以及离心率信息，列方程，求出a即可. 【详解】

因为抛物线y4x的焦点为1,0，

2故可得c1,c1， 又双曲线的离心率等于5 2故可得

c55，解得a， a525. 5则该双曲线的实轴长2a故选：C. 【点睛】

本题考查双曲线的方程，涉及抛物线焦点坐标的求解，属基础题.

8．某公司有普通职员140人、中级管理人员40人、高级管理人员20人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则所抽取的中级管理人员的人数共（ ）名 A．4 【答案】B

【解析】先计算抽样比例，再根据抽样比例确定每层需要抽取的人数. 【详解】

根据题意，抽样比为

B．8

C．5

D．10

401， 200518人. 5故在中级管理人员中应该抽取：40故选：B. 【点睛】

本题考查分层抽样的等比例性质，属基础题. 9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

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A．1 【答案】C

B．

2 3C．

13 21D．

610 987【解析】第一次执行循环：S2112,i1；

2113211313S,≥2. 第二次执行循环：S3，满足，结束循环，输出i2i21221213【考点定位】 本小题考查了对算法程序框图的三种逻辑结构的理解，考查了数据处理能力和算法思想的应用.

10．双曲线的两条渐近线方程是y3x，则该双曲线的离心率e（ ）

A．3 【答案】D

B．3或3 C．10 D．10或

10 3【解析】根据渐近线方程可知a,b关系，再利用a2b2c2，转换出a,c关系即可. 【详解】

因为双曲线的两条渐近线方程是y3x 故可得

ba3，或者3 ab第 5 页 共 15 页

2bb当3时，e110 aa2ab1b10 3时，，e1ba33a故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线的基本性质，涉及渐近线方程以及离心率，属基础题. 11．已知抛物线C1:y12x和圆C2:x2(y1)21，直线l经过定点(0,1)，依次交4uuuruuurC1,C2于A，B，C，D四点，则ABCD的值为（ ）

A．2 【答案】B

【解析】根据题意，作出图象，利用抛物线的定义，将问题转化为焦点弦两端点的纵坐标之间的关系. 【详解】

根据题意，抛物线的焦点，圆的圆心，以及直线过的点(0,1)是同一个点，作图如下：

B．1

C．

1 2D．

1 4

uuuruuur故：ABAFBFyA,CDDFCFyD uuuruuuruuuruuurABCDABCDyAyD.

则当直线AD垂直与y轴时，yAyD1

uuuruuur故此时ABCD1.

当直线AD不垂直与y轴时，设直线方程为ykx1 联立抛物线方程，整理得：y24k故可得：yAyD.1.

22y10

uuuruuur故此时ABCD1.

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uuuruuur综上所述：ABCD1.

故选：B. 【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用，问题的关键是将线段进行转换，本题中

uuuruuurABAFBFyA,CDDFCFyD是解题的关键步骤.

12．设动圆M与y轴相切且与圆C:x2y24x0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A．y28x

C．y28x或y0(x0) 【答案】C

【解析】根据题意，设出M点坐标，列出等量关系，整理化简即可求得. 【详解】

22设点Mx,y，圆M与y轴相切且与圆C:xy4x0相外切

B．y28x

D．y28x或y0(x0)

故可得x2x222y2，两边平方，

整理化简可得：y4x4x

当x0时，y8x；当x0时，y0 故选：C. 【点睛】

本题考查轨迹方程的求解，一般遵循设点，列等量关系，整理化简，检验的步骤.

二、填空题

13．数据1，2，3，4，2，1，2的众数是________． 【答案】2

【解析】根据众数的定义，结合题中数据，即可求解. 【详解】

因为众数是指一组数据中出现次数最多的数据， 根据题意，本题中2出现3次，次数最多， 故众数为2. 故答案为：2.

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2【点睛】

本题考查众数的定义，属基础题.

14．在空间坐标系中，点A(1,0,2)，点B(3,3,2)，则A，B两点的距离________． 【答案】5

【解析】根据空间中两点之间距离求解的坐标公式，代值计算即可. 【详解】

因为点A(1,0,2)，点B(3,3,2)， 故AB130322222255.

故答案为：5. 【点睛】

本题考查空间两点距离计算的坐标公式，属基础题.

15．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是________．

【答案】5

【解析】根据题中循环体的特点，执行循环体，直至满足输出条件即可求得. 【详解】

模拟执行程序框图如下：

k1,s1执行循环体；

s1，不满足s15，故k2， s112，不满足s15，故k3，

s2226，不满足s15，故k4， s63215，满足s15，故k5，

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s154231，满足s15，输出k5.

故答案为：5. 【点睛】

本题考查程序框图中循环体的执行，属基础题.

22xy16．已知F1,F2分别是双曲线22(a0,b0)的左右焦点，以坐标原点O为圆

ab心，OF1为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点则该双曲线离心率为________时，

nF2AB为等边三角形．

【答案】31

【解析】根据nF2AB为等边三角形，结合双曲线定义，建立a,c的等量关系，求解离心率即可. 【详解】

根据题意，作图如下：

因为nF2AB为等边三角形．故可得AF2F130， 在直角三角形AF1F2中，可得AF23c,AF1c根据双曲线的定义：3cc2a

解得

c231. a31故答案为：31. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，其难点在于如何利用双曲线的定义，属基础题.

三、解答题

1x2y217．求以椭圆1的焦点为焦点，以直线yx为渐近线的双曲线方程．

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x2y2【答案】1

82【解析】根据题意，联立方程组，解出a,b,c，即可求解双曲线方程. 【详解】

由已知得双曲线的焦点为(10,0)和(10,0)， 而双曲线的渐进线为y21bxx， 2a2联立a2b2c2，解得a8,b2， x2y2则双曲线的方程为：1．

82【点睛】

本题考查双曲线方程的求解，涉及椭圆的方程，属综合基础题.

18．已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

【答案】m1或2m4

【解析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围并求并集即可． 【详解】

若命题p为真，因为函数f(x)的图象的对称轴为x＝m，则m≤2；若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4>0，显然不成立． 当m≠0时，则有

由题意知，命题p，q一真一假， 故【点睛】

（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．

（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．

19．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表，经过进一步统计分析，

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或

解得m≤1或2解得1发现y与x具有线性相关关系． 价格x（元/kg） 日需求量y（kg）

10 11 15 10 20 8 25 6 30 5 ˆa（1）根据上表给出的数据，求出y与x的线性回归方程ybxˆ；

（2）利用（1）中的回归方程，当价格x40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？

ˆa（参考公式：线性回归方程ybxˆ，其中bxxyyiii1nxxii1n ，aybx．）

2ˆ0.32x14.4（2）1.6kg. 【答案】（1）y【解析】（1）根据题中所给的数据，结合参考方程，对数据进行分步计算即可； （2）将价格数据代入回归方程，即可求得预测值. 【详解】

（1）由所给数据计算得

11x(1015202530)20，y(1110865)8，

55xixi15i52(10)2(5)20252102250，

xxyy103(5)2005(2)10(3)80，

ii1bxxyyiii15xixi152800.32． 250aybx80.322014.4． ˆ0.32x14.4． 所求线性回归方程为yˆ0.321014.41.6． （2）由（1）知当x40时，y故当价格x40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg. 【点睛】

本题考查线性回归直线方程的求解，根据公式计算回归系数即可，属基础题.

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20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点

(4,10)．

（1）求双曲线的方程．

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

22【答案】（1）xy6；（2）证明见详解.

【解析】（1）根据离心率，设出等轴双曲线的方程，待定系数求解；

（2）由（1）结合M点的横坐标，即可求得M点的纵坐标，再用向量数量积是否为零，来证明点M是否在以F1F2为直径的圆上. 【详解】

（1）因为离心率e222，双曲线为等轴双曲线．

可设其方程为xy(0)， 则由点(4,10)在双曲线上， 可得42(10)26，

双曲线方程为x2y26．

（2）证明：因为点M(3,m)在双曲线上，

32m26，m23，

又双曲线xy6的焦点为F，F2(23,0)， 1(23,0)22uuuuruuuurMF1MF2(233,m)(233,m) (3)2(23)2m291230，

MF1MF2，

点M在以F1F2为直径的圆上．即证.

【点睛】

本题考查待定系数法求解双曲线的方程，以及求双曲线上的点的坐标；本题的难点是将证明点在圆上的问题转化为向量数量积为零的问题.

x2y221．已知椭圆M:21(a0)的一个焦点为F(1,0)，左右顶点分别为A,B，

a3第 12 页 共 15 页

经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值.

x2y2【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）3. 43【解析】【详解】

（Ⅰ）因为F(1,0)为椭圆的焦点，所以c1，又b23，

x2y2 所以a4，所以椭圆方程为1.

432（Ⅱ）当直线无斜率时,此时D1,,C1,323, 2.

当直线斜率存在时，设直线方程为，设

，

直线与椭圆方程联立得，消掉得

，

显然，方程有根，且

此时

2kx2x12k

12k34k2.

上式，（ 时等号成立），

所以|S1S2|的最大值为

.

22．已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)． （1）若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值

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【答案】（1）2（2）证明见详解. 2【解析】（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；

（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明. 【详解】

（1）由条件知直线l的斜率存在，设为k0， 则直线l的方程为：yk0(x4)， 即k0xy4k00．

从而焦点F(1,0)到直线l的距离为d平方化简得：k023，

12，k0． 222. 2故直线斜率为：（2）证明：设直线AB的方程为ykxb(k0)，

联立抛物线方程y4x，消元得：kx(2kb4)xb0． 设Ax1,y1，Bx2,y2， 线段AB的中点为Px0,y0， 故x0222212kb2x1x22,y0 2kk因为PMAB，kPMkAB1． 将M点坐标代入后整理得：

2kk1 2kb42k即可得：2kb2k2

2kb2k2故x022为定值．即证. 2kk【点睛】

本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.

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