弹性力学简明教程_习题解答

上（y=0）

0

-1

0

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l

m

fxsgyh10

gyh10

fys

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

xx0g(yh1),xyx00;xxbg(yh1),xyxb0;②在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：y③在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

y0gh,xy2y00

uyh20,vyh0

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板

Fs0,FNgh1b,M0

由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

bdxgh1b0yyh2b 0yyh2xdx0bxyyhdx002⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

hy

2hy

2q

0

(y)y-h/2q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力

h/2()dxFSh/2xyx0h/2与面力符号相反，有(x)x0dxFN

h/2h/2(x)x0ydxMh/2③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

FFyxq1lFNq1lFN 0,FNFN0,FSFSql0FSqlFS

q1lh121ql2MA0,MM'FSl2ql2q1lh0M2MFSl2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2()dyFqlFN1Nh/2xxlq1lhql2h/2MFSl h/2(x)xlydyM22h/2()dyFqlFxyxlSSh/2【2-10】【解答】由于h应力边界条件：

l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的

xq b(a)上端面OA面上面力fx0,fy由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqbbdxfdxqdx0y0b0yy02bbxqb2bb(对OA中点取矩) 0yy0xdx0fyxdx0qxdxb212b0yxy0dx0(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qbbdxFyN0y02qb2bxdxM0yy012bdx00xyy0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fxfy0

xyx0 yxy0 显然满足 xyyx（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

222q等式左=22xy=20=右

bxy应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性

h3轴（Z轴）的惯性矩I，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

12q3qx2M(x)x,Fx。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

6l2l3Fsx4y2Mx3qx22x3y2xy2q3 xy12.3h4y。

2bhh4lhIlh根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y3qxyxy30得： y.2q3A yx2lhlhyxy根据边界条件

yh/2qx3qxyxy3qx0得 A.故y.2q3.

2lhlh2l2l将应力分量代入平衡微分方程（2-2）

第一式：

x2yx2y左6q.36q30右 满足

lhlh第二式 自然满足

将应力分量代入相容方程（2-23）

22xyxy左22xy12q.312q.30右

lhlhxy应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x)Fx，横截面对中性轴的惯性矩为

Izh3/12，根据材料力学公式

弯应力xM(x)12Fy3xy；该截面上的剪力为FsxF，剪应力为 IzhFs(x)S*F6Fh2hh/2y2xyybyy 33bIz22h41h/12取挤压应力y0（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：左12F12Fyy0右 第二式：左=0+0=0=右 h2h3该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左2(xy)0右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

0 0

m

-1 1

fx

0 0

fy0 0

hy上2 hy上2

代入公式（2-15），得

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

h/2(x)x0dy0x向面力主矢h/2h/2h/2(x)x0ydy0面力主矩2h/26Fhh/22()dy(y)dyFy向面力主矢3h/2xyx0h/2h4yy-h/20,xyyh/20;yyh/20,yxyh/20

满足应力边界条件

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，

FN0,FSF,MFl

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

h/2h/2(x)xldy12Flydy0FNh/2h3

h/2

h/2h/2(x)xlydy12F2lydyFlMh/2h3

h/2

6Fh22()dyydyFFSh/2xyxlh/2h34h/2h/2

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

3x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力 左端:fx(x)x06ay 0yh fyxyx00

右端:fxxxl6ay (0yh) fy(xy)xl0 应力分布如图所示，当lh时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

A

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

(x)Appe20eh/6 bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数axy，得应力分量表达式

2(lxmyx)sfx(s)x0,y2ay,xyyx2ax考察边界条件，由公式（2-15）

(mylxy)sfy(s)hhh①主要边界，上边界y上，面力为fx(y)2ax fy(y)ah

222hhh②主要边界，下边界y，面力为fx(y)2ax, fy(y)ah

222③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxh/2h/2(x)x0dy0，y向主矢：Fyh/2h/2(xy)x0dy0

主矩：Mh/2h/2(x)x0ydy0

h/2h/2次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为x向主矢：Fx(x)xldy0

y向主矢：Fy主矩：M2h/2h/2(xy)xldyh/2h/2(2al)dy2alh

h/2h/2(x)xlydy0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，

⑵bxy，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x2bx，y0，xyyx2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在yhhh主要边界，上边界上，面力为fxybh,fyy0

222在y

hhh，下边界上，面力为fxybh,fyy0

222在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件

求得：

在左边界x=0，面力分布为fxx00,fyx02by 面力的主矢、主矩为

xh2h2向主矢

h2h2：

Fxh2h2xx0dy0y向主矢：

Fyxyx0dy2byx0dy0

主矩；Mh/2h/2(x)x0ydy0，在右边界x=l上，面力分布为

，，面力的主矢、主矩为 fxxl2bl,fyxl2by，

x向主矢：Fxh/2h/2h/2h/2xxldyh/22bldy2blhh/2y向主矢：

Fy'xyxldyh/23h/2h/22bydy0

h/2主矩：M'h/2xxlydyh/22blydy0

（3）cxy，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x6cxy,y0,xyyx3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①上边界y上，面力为fxyh2h32hch,fyy0 242② 下边界y=h3hh上，面力为fxych2,fyy0

2422次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2-h/2h/2h/2h/2

ch3cydy142xx0dy0h/2xyx0dyh/23h/2xx0ydy02④右边界xl上，面力分布为fxxl6cly,fyxl3cy 面力的主矢、主矩为

x向主矢Fxh/2xxldyh/26clydy0

h/2h/2y向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2yxldyh/2h/2ch3cydy1423

h/2h/2xxlydy16cly2dyclh3 h/22h/2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

44422240，显然满足 4xxyy（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(12) x,y0,xyyx32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，y力yh，应精确满足应力边界条件式（2-15），应2yh/20,yxyh/20

hhh上，无任何面力，即fxy0,fyy0

222因此，在主要边界y②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y212Fly3F4y2x0:fx0,fy1-2xl:fx3,fy12

2hh，2hhh因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=h/2-h/2h/2h/2h/2fxdy0, FN2fydyF, FS2h/2h/2h/2fxdy0fydyFfxydyFl

h/2h/2h/2fxydy0, M2h/2【3-7】【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

412qy24qy4424qy220，， 3223344xyhhxyh代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。

（2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:

26qx2y4qy33qy2q4y33yx2fxx33fyy(31) ，yyhh5hx22hh xyyx26qxh23(y2)

xyh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界yh（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） 2hhfxyyx0,fyyyqyh/2yh/222h在主要边界y下面，也应该满足2152 fxyh/2yx0,fyyh/2y0yh/2yh/2在次要边界x0上，分布面力为fxx0xx03qy4qy33,fyx0xy0x05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

FNFSMh/2h/2h/23qy4qy3fxdyh/2h35hh/2dy0h/2h/2fydy0fxydy3qy4qy3h/2h35hh/2

h/2ydy0④在次要边界xl上，分布面力为

fxxlxxl6ql2y4qy33qy6qlh2233，fyxlxy3y

xlhh5hh4应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

236qly4qy3qyFNfx(xl)dy33dy0h/2h/2hh5h2h/2h/26qlh2Fsf(xl)dy3ydyql h/2yh/2h4h/2h/26ql2y4qy33qy12M'fx(xl)ydy33ydyqlh/2h/2hh5h2h/2h/2【3-8】【解答】采用半逆法求解。 由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则x0

(2)推求应力函数的形式

2将x0，体力fx0,fyg，代入公式（2-24）有xfxx0

y2对y积分，得

fx （a）yfxf1x （b） y其中fx,f1x都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。

d4fxd4f1x0 将（b）式代入相容方程（2-25），得y（c） dx4dx4在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数

多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4fxd4f1x0,0两个方程要求fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2 4dxdx（d）

fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式

中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

yAx3Bx2CxDx3Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2xfxx0 （f）

y22yx2fyy6Axy2By6Dx2Egy (g)2xyxy3Ax22BxC (h)(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x0上（左）：

xx00,(xy)x00

将（f），（h）代入

xx00，自然满足

(xy)x0C0 主要边界xb上，

xxb0，自然满足

(xy)xbq，将（h）式代入，得

(xy)xb3Ab22BbCq 在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

bb0(y)y0dx06Dx2Edx3Db22Eb0 b30(by)y0xdx06Dx2Exdx2DbEb20 b0(byx)y0dx03Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

Aqb2, Bqb, CDE0

（i）

（j）

（k）

（l）

（m）

代入公式（g），(h)得应力分量

x0, y2qxxq313gy, xx2 xybbbb【3-9】【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

222A3Bx2 x20，y26Bxy，xyyxxyxy⑶考察边界条件：

在主要边界xb2上，精确满足公式（2-15）

xxb/20,(xy)xb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (a)

4②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

xxb/20,xyxb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (b)

4③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2b/2b/2yy0dx0 满足

xdx0 满足

32b/2yy01dxA3BxdxAbBb0 （c） b/2yxy0b/24b/2b/2联立（a）（c）得系数

q2qA,B2

2b代入应力分量表达式，得

12qqx2x0,y2xy,xy1122

b2b【3-10】【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2B6By6Dxyx (a) 0y2A3Dyxyyx(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件

yyh/20， 满足

34②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

h/2h/2FN dyF2B6CydyFBNNh/2xx0h/22hh/2h/22M ydyM2B6CyydyMCh/2xx0h/2h3h/2h/2132dyFA3DydyFAhDhFs （c） ssh/2xyx0h/24联立方程（b）（c）得

3F2FAs,D3s

2hhxyyh/20, 得ADh20 （b）

最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量 【3-11】【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25） (2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2x2fxx2Cx6Dy （a）

y2y2fyy6Ax2Bygy （b）

y2xy2Bx2Cy （c）

xy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00，

(yx)y00 （d）

将式（d）代入式（b），（c），可得

A0，B=0 （e） ②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为，，得应力边界条件 lsin，mcos.由公式（2-15）

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0 （f）

sin(xy)yxtancos(y)yxtan0将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

gg2Ccot,Dcot （g）

23将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

xgxcot2gycot2 ygyxygycot【3-12】【解答】按半逆解法求解。

x2（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为(Ay3By2CyD)2

x(Ey3Fy2Gy)A5B4yyHy3Ky2，由§3-4可知，必然满足相容方106程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2x(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K （a）

2yAy3By2CyDgy （b） xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG) （c）

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样

x和y是x的偶函数，而xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

EFG0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界yh2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

(y)yh20,(yx)yh20

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到EFG0，可得：

h3h2hgABCDh084223h2hghABCDh08422 32x(AhhBC)043x(Ah2hBC)04联立此四个方程，得：

2g3,B0,Cg,D0 （e） 2h2将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

6g4gx2x2y2y36Hy2K （f）

hh2ggy2y3y （g）

h26g3gxy2xy2x （h）

h2②考察次要边界条件

A由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界xl上，fx0，不论y取任何值(h2yh2)，都有x0。由（f）式可见，这是不可能的，除非,H,K均为零。因此，只能用应力x的主矢、主矩为零，即

将（f）式代入式（i）得

h/2h/2h/2h/2(x)xldy0 （i） (x)xlydy0 （j）

h/24g36g2xyy6Hy2Kdy0 22h/2hh积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4g36g2lyy6Hy2Kydy0 2h/2h2hh/2积分后得

l21Hg(2) （l）

h10将（k）、（l）代入式（f），得

6g24g3l21x2xy2y6g(2)y （m）

hhh10考察右边界上切应力分量xy的边界条件： 右边界上fyglh，则xy的主矢为

h/2h/2xyxldy6g23gxyh/2h22h/2xdyglhfy xl可知满足应力边界条件。 将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6g24g3l21Xh2xyh2y6g(h210)y2g3g (n) yy2yh26g23gxyxxy2h2（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I，静矩是S。

1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力

l2x2,Fsxghx 方程分别为Mxgh2则式（n）可写成：

Mx4y23ygy(2)xIh5gy2 y(142)y2hFsxSxybI【3-13】【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：

将应力函数代入相容方程式（2-25），得

120Ay24By0

要使满足相容方程，应使

1AB （a）

5（2）求应力分量，代入式（2-24）

x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cy33 （b） y2By2D2Ey10Ay2D2Ey22xy6Bxy2Ex30Axy2Ex（3）考察边界条件

①在主要边界yh2上，应精确到满足应力边界条件

103Ah2DEh0 （c） 810(y)yh2q,即Ah32DEhq （d）

830(yx)yh20,即Axh22Ex0 （e）

4联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

qq3qqA3,D,E,B3 （f）

5h44hh ②在次要边界x0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

(y)yh20,即-h/2h/2h/2(x)x0dy0 满足条件

h/23Ah53()ydy(20Ay6Cy)ydy0Ch0 （g） xx0h/2h/22h/2h/2(xy)x0dy0 满足

将A的值带入（g），得

q （h） 10h将各系数代入应力分量表达式（b），得

C=yy23x2xqh(4h256h2)qyy3y(1343)

2hh3qxy2(142)xy2hh【3-14】【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将代入（2-24）

2A6Cxy6Dyx0y （a） 2B3Cyxy(3) 考察边界条件。

①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件 yyb/20 满足

32q,BCbq （b） xyyb/24②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

b/2b/2(x)x0dyF (2Ay3Dy)2b/2b/2F （c）

123()ydyMAy2DyM （d） xx0b/22b/2b/2b/2b/2xyb/2xodyF ByCy3b/2b/2F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

A13F2FF2MCq，Bq，， （f） D2bb2b2bb3将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

【3-15】【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在yb/2边界上，

y0；yb/2边界上，y2gx，所以可以假设在区域内y为yxfy

（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式

2y2xfyx2xfyf1y

x2x3fyxf1yf2y

6（3）由相容方程求应力函数。将代入40，得

d4f1d4f2x3d4fd2fx42x20 446dydydydy要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f320f(y)AyByCyD;4dyd4f1d2fA5B420f(y)yyGy3Hy2Iy; 142dydy106d4f20f2(y)Ey3Fy24dy代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数

x3Ay5By432Gy3Hy2Iy)(Ey3Fy2) 为：(AyByCyD)x(6106（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力

fx1g,fy0，求得应力分量表达式

2Bx2fxxx3Ayx2Ay32By26Cy2Hy3 6Ey2F1gx2y2fyyxAy3By2CyDx2x22B3Axy3Ay22ByCy4y3Gy22HyIxy232

（5）考察边界条件

在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

yyb/2yyb/2b3b2b2gxxABCD2gx428b3b2b0 xABCD0842b4x23b2b33b20 ABbCABG2412432HbI0

xyyb/2由上式得到

3b2b4b33b2ABbC0，ABG432124HbI0

求解各系数，得 231A32g,B0,C2g,D2g,H0

b2b2b3b2I2gG (a) 164在次要边界x0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2b/2xx0dy0  F0b/2b/2xx0ydy0  E0

bb2b/2xyx0dy0  I802g4G (b)

b/2由式(a)、(b)解出

b12g,G2g 8010b将各系数代入应力分量的表达式，得

I