裂项相消与放缩法解数列专题

数列专题3

一、裂项求和法

裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.

通项分解〔裂项〕如：通项为分式结构,分母为两项相乘,型如：常用裂项形式有：

1,{an}是d0的等差数列.

an•an1111(2n)21111111；()；1()； n(n1)nn1n(nk)knnk(2n1)(2n1)22n12n11111[]；

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)11(ab)； abab111(nkn)特别地：n1n

nknkn1n二、用放缩法证明数列中的不等式

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法.

1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下4种：

①

ai1ni；②aif(n)；③aif(n)；④aik〔k为常数〕. k〔k为常数〕

i1i1i1nnn放缩目标模型→可求和〔积〕→等差模型、等比模型、裂项相消模型

2.几种常见的放缩方法

〔1〕添加或舍去一些项,如：a1a；n(n1)n 〔2〕将分子或分母放大〔或缩小〕 211111111 ； 〔程度大〕 n2n(n1)n1nn2n(n1)nn1111111()(n2)〔程度小〕 ②22nn1(n1)(n1)2n1n11111111n③1 n1n2n32nn1n1n1n11111111n1或 n1n2n32n2n2n2n2n2111111nn④123nnnnn

14411⑤平方型：22()；

2n12n1n4n24n2111111[](n2) ⑥立方型：32nn(n1)2(n1)nn(n1)1111(ab1)(ab1) ⑦指数型：n；

abnan1(ab)anban1(ab)11⑧k1k；

k1k2kn(n1)lg3lg52⑨利用基本不等式,n(n1),如：log3lg5()lg15lg16lg4

22①〔一〕放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如：〔1〕求证：

111123n1(nN*). 22221 / 9

.

111123n1(nN*). 21212121123n〔3〕求证：23n2(nN*).

2122232n〔2〕求证：

总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式,若般要先将通项an放缩后再求和.

问题是将通项an放缩为可以求和且\"不大不小〞的什么样的bn才行呢？其实,能求和的常见数列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中,bn大多是等比模型或裂项相消模型.

〔1〕先求和再放缩

2*

例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn＝an＋1－4n－1,n∈N,且a2,a5,a14构成等比数列．

<1>证明：a2a可直接求和,就先求和再放缩；若不能直接求和的,一

ii1n4a15；

11a1a2a2a311. anan12<2>求数列{an}的通项公式； <3>证明：对一切正整数n,有〔2〕先放缩再求和

1112(nN*). 22223n4x11*例如：函数f(x),求证：f(1)f(2)f(n)n(nN). xn11422例如：求证：1例2.设数列{an}的前n项和为Sn,满足

〔1〕求a1的值；

〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有

．

,且a1,a2+5,a3成等差数列．

nnn总结：一般地,形如anab或anab〔这里ab1〕的数列,在证明

111k〔ka1a2an为常数〕时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.

练习：

1.设数列{an}满足an0,a11,an(12n)anan1an1(n2),数列{an}的前n项和为Sn.

〔1〕求数列{an}的通项公式；

nSn2； n16n5Sn？说明理由. 〔3〕试探究：当n2时,是否有

(n1)(2n1)3〔2〕求证：当n2时,〔3〕形如

ai1nif(n)

例如：设Sn1223n(n1),求证：

n(n1)n(n2)Sn(nN*). 22aba2b2根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系： ab1122abab注：①应注意把握放缩的\"度〞：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab,若放缩成

222 / 9

.

(n1)(n3)(n1)2,就放过\"度〞了. n(n1)n1,则得Snki122i1n总结：形如

ai1nif(n)的数列不等式证明：

*设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和,若anbn(nN),利用不等式的\"同向可加性〞这一基

本性质,则有SnTn.要证明不等式

ai1nif(n),如果记Tnf(n)看作是数列{bn}的前n项和,则

bnTnTn1(n2),b1T1,那么只要证其通项满足anbn即可.

〔二〕放缩目标模型—可求积

放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的bn是可求积的模型,能求积

nCn1Cn1的常见的数列模型是bn〔分式型〕,累乘后约简为bi.

CnCi11bbmbbm姐妹不等式：(ba0，m0)和(ab0，m0)

aamaam记忆口诀：\"小者小,大者大〞,〔解释：看b,若b小,则不等号是小于号,反之〕.

1352n11(nN*). 例如：求证：2462n2n1111例如：求证：(11)(1)(1)(1)2n1.

352n1总结：形如

ai1nif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列{an}和{bn}的前n项积,若

n0anbn,利用不等式的\"正数同向可乘性〞这一基本性质,则有AnBn.要证明不等式aif(n),

i1如果记Bnf(n)看作是数列{bn}的前n项积,则bnBn(n2),b1B1,那么只要证其通项满足Bn10anbn即可.

例3.已知数列{an}满足a1〔1〕求证：{an22(nN*). ,an12an331}是等差数列,并求出{an}的通项an； an11〔2〕证明：对于nN*,a1•a2•a3••an.

n1〔二〕添加或舍去一些正项〔或负项〕

若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小.由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的.

n*例如：已知an21(nN),求证：

an1a1a2n(nN*). 23a2a3an1例4.已知数列{an}的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn(an12). 2〔I〕求an与an1(n2)之间的关系式,并求{an}的通项公式； 〔II〕求证例5.已知数列

1112. S1S2Sn：满足：

,

,记

.

求证：数列是等比数列；

3 / 9

.

若对任意恒成立,求t的取值X围；证明:.

〔三〕固定一部分项,放缩另外的项 例6.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,

〔1〕求a2的值；

〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有练习： 2.设s12Sn12an1n2n,n∈N*. n3317. an411a1a212131100,则s的整数部分是〔 〕

A.17 B.18 C.19 D.20

3.已知{an}是各项都为正数的数列,Sn为其前n项和,且a11,Sn〔I〕求数列{an}的通项an； 〔II〕求证：

11(an). 2an11112(1). 2S13S2(n1)SnSn1数列专题3

一、裂项求和法

裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.

通项分解〔裂项〕如：通项为分式结构,分母为两项相乘,型如：常用裂项形式有：

1,{an}是d0的等差数列.

an•an1111(2n)21111111；()；1()； n(n1)nn1n(nk)knnk(2n1)(2n1)22n12n11111[]；

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)11(ab)； abab111(nkn)特别地：n1n

nknkn1n二、用放缩法证明数列中的不等式

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法.

1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下4种：

①

ai1nik〔k为常数〕；②aif(n)；③aif(n)；④aik〔k为常数〕.

i1i1i1nnn放缩目标模型→可求和〔积〕→等差模型、等比模型、裂项相消模型

2.几种常见的放缩方法

〔1〕添加或舍去一些项,如：a1a；n(n1)n 〔2〕将分子或分母放大〔或缩小〕 211111111 ； 〔程度大〕 n2n(n1)n1nn2n(n1)nn1111111()(n2)〔程度小〕 ②22nn1(n1)(n1)2n1n11111111n③1 n1n2n32nn1n1n1n1①

4 / 9

.

1111111n1 n1n2n32n2n2n2n2n2111111nn④123nnnnn

14411⑤平方型：22()；

2n12n1n4n24n2111111[](n2) ⑥立方型：322(n1)nn(n1)nn(n1)1111(ab1)(ab1) ⑦指数型：n；

abnan1(ab)anban1(ab)11⑧k1k；

k1k2kn(n1)lg3lg52⑨利用基本不等式,n(n1),如：log3lg5()lg15lg16lg4

22或

〔一〕放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列

111123n1(nN*). 2222分析：不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.

11(1n)2111 解析：左边=212n12例如：〔1〕求证：

表面是证数列不等式,实质是数列求和. 〔2〕求证：

111123n1(nN*). 21212121分析：左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,将通项放缩为等比数列.

11(1n)1111112111 解析：∵nn,∴左边23n2122212222n12123n〔3〕求证：23n2(nN*).

2122232nnn分析：注意到nn,将通项放缩为错位相减模型.

2n2nn123nn2解析：∵nn,∴左边23n2n2

222n2222总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式,若般要先将通项an放缩后再求和.

问题是将通项an放缩为可以求和且\"不大不小〞的什么样的bn才行呢？其实,能求和的常见数列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中,bn大多是等比模型或裂项相消模型.

〔1〕先求和再放缩

2*

例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn＝an＋1－4n－1,n∈N,且a2,a5,a14构成等比数列．

<1>证明：a2a可直接求和,就先求和再放缩；若不能直接求和的,一

ii1n4a15；

11a1a2a2a311. anan12<2>求数列{an}的通项公式； <3>证明：对一切正整数n,有

5 / 9

.

解析： <1>当n＝1时,4a1＝a2－5,∴a2＝4a1＋5.∵an＞0,∴a22

2

22

4a15. <2>当n≥2时,4Sn－1＝an－4－1,①；4Sn＝an＋1－4n－1,②

22222

由②－①,得4an＝4Sn－4Sn－1＝an＋1－an－4,∴an＋1＝an＋4an＋4＝.∵an＞0,∴an＋1＝an＋2, ∴当n≥2时,{an}是公差d＝2的等差数列．∵a2,a5,a14构成等比数列,

22

∴a5＝a2·a14,＝a2·,解得a2＝3.

2

由<1>可知,4a1＝a2－5＝4,∴a1＝1.∵a2－a1＝3－1＝2,∴{an}是首项a1＝1,公差d＝2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. <3>＝

11a1a2a2a31111＝

anan11335571

2n12n11111111233557111＝1. 22n1211 2n12n1总结：〔3〕问左边可用裂项相消法求和,先求和再放缩,表面是证数列不等式,实质是数列求和.

〔2〕先放缩再求和 例如：求证：1111*2(nN). 22223n分析：左边不能求和,应先将通项放缩为裂项相消模型后求和,保留第一项,从第二项开始放缩.

1111(n2) 2n(n1)n1nn111111∴左边1(1)()()112(n2)

223n1nn当n1时,不等式显然也成立.

4x11例如：函数f(x),求证：f(1)f(2)f(n)n(nN*). xn11422解析：∵

分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对

左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式,如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可.

例2.设数列{an}的前n项和为Sn,满足

〔1〕求a1的值；

〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有

．

,且a1,a2+5,a3成等差数列．

解：〔1〕在2Sn=an+1﹣2n+1+1中,令n=1得：2S1=a2﹣22+1,令n=2得：2S2=a3﹣23+1,

解得：a2=2a1+3,a3=6a1+13,又2〔a2+5〕=a1+a3,解得a1=1 〔2〕由2Sn=an+1﹣2n+1+1,

得an+2=3an+1+2n+1,又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,

所以an+1=3an+2n对n∈N*成立,∴an+1+2n+1=3〔an+2n〕,又a1=1,a1+21=3,∴an+2n=3n,∴an=3n﹣2n； 〔3〕分析：〔3〕左边不能直接求和,考虑将通项放缩后求和.利用指数函数的单调性放缩为等比模型. 〔法二〕∴an=3n﹣2n=〔3﹣2〕〔3n1+3n2×2+3n3×22+…+2n1〕≥3n1,∴

﹣

﹣

﹣

﹣

﹣

≤,

∴+++…+≤1+++…+=＜；

〔法三〕∴an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an,∴

＜•6 / 9

,,

.

当n≥2时,＜•,＜•,,…＜•,

累乘得：＜•,∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．

nnn总结：一般地,形如anab或anab〔这里ab1〕的数列,在证明

111k〔ka1a2an为常数〕时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.

练习：

1.设数列{an}满足an0,a11,an(12n)anan1an1(n2),数列{an}的前n项和为Sn.

〔1〕求数列{an}的通项公式；

nSn2； n16n5Sn？说明理由. 〔3〕试探究：当n2时,是否有

(n1)(2n1)3〔2〕求证：当n2时,〔3〕形如

ai1nif(n)

例如：设Sn1223n(n1),求证：

n(n1)n(n2)Sn(nN*). 22aba2b2根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系： ab1122abab注：①应注意把握放缩的\"度〞：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab,若放缩成

2n(n1)(n3)(n1)2,就放过\"度〞了. n(n1)n1,则得Snki122i12总结：形如

ai1nif(n)的数列不等式证明：

*设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和,若anbn(nN),利用不等式的\"同向可加性〞这一基

本性质,则有SnTn.要证明不等式

ai1nif(n),如果记Tnf(n)看作是数列{bn}的前n项和,则

bnTnTn1(n2),b1T1,那么只要证其通项满足anbn即可.

〔二〕放缩目标模型—可求积

放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的bn是可求积的模型,能求积

nCn1Cn1的常见的数列模型是bn〔分式型〕,累乘后约简为bi.

CnCi11bbmbbm姐妹不等式：(ba0，m0)和(ab0，m0)

aamaam记忆口诀：\"小者小,大者大〞,〔解释：看b,若b小,则不等号是小于号,反之〕.

1352n11(nN*). 例如：求证：2462n2n1111例如：求证：(11)(1)(1)(1)2n1.

352n1总结：形如

ai1nif(n)的数列不等式证明：设An和Bn分别为数列{an}和{bn}的前n项积,若

7 / 9

.

0anbn,利用不等式的\"正数同向可乘性〞这一基本性质,则有AnBn.要证明不等式aif(n),

i1n如果记Bnf(n)看作是数列{bn}的前n项积,则bnBn(n2),b1B1,那么只要证其通项满足Bn10anbn即可.

例3.已知数列{an}满足a1〔1〕求证：{a22(nN*). ,an1n2an331}是等差数列,并求出{an}的通项an； an11〔2〕证明：对于nN*,a1•a2•a3••an.

n1〔二〕添加或舍去一些正项〔或负项〕

若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小.由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的.

n*例如：已知an21(nN),求证：

an1a1a2n(nN*). 23a2a3an1本题在放缩时舍去了22,从而使和式得到了化简. 例4.已知数列{an}的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn(kan12). 2〔I〕求an与an1(n2)之间的关系式,并求{an}的通项公式； 〔II〕求证例5.已知数列

1112. S1S2Sn：满足：

,

,记

.

求证：数列若

是等比数列； 对任意

恒成立,求t的取值X围；证明:

.

解：〔Ⅰ〕证明：由an1an113an23a2a2得an12n① 2nan2an2an23an24(an1)② 1an2an2∴

an121an2a211即bn1bn,且b11

an114an1a1144∴数列bn是首项为

11,公比为的等比数列． 44124n11n11an2 〔Ⅱ〕由<Ⅰ>可知bn()n∴ann

44an14141121244n是关于n的减函数 4n,易得由ant4n得tn4n1(41)4n4n1n2112n43,∴t3 ∴n4441414224n133〔Ⅲ〕ann2n2n

414148 / 9

.

333333∴a1a2an(2)(22)(2n)2n(2n)

44444411()n342n1(1)n2n3得证 ＝2n411444〔三〕固定一部分项,放缩另外的项 例6.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,

〔1〕求a2的值；

〔2〕求数列{an}的通项公式； 〔3〕证明：对一切正整数n,有解：<1>依题意,2S1＝a2－

2Sn12an1n2n,n∈N*. n3317. an411a1a212－1－,又S1＝a1＝1,所以a2＝4. 3313221232

<2>当n≥2时,2Sn＝nan＋1－n－n－n,2Sn－1＝an－－－,

3333122

两式相减得2an＝nan＋1－an－<3n－3n＋1>－<2n－1>－,整理得an＝nan＋1－n,

33aaaaaa即n1n1.又211,故数列n是首项为11,公差为1的等差数列, n1n211na2

所以n＝1＋×1＝n.所以an＝n.

n17111571； <3>当n＝1时,1<；当n＝2时,a1a2444a14111112, 当n≥3时,

annn1nn1n111111111111＝1+222<1434n42334a1a2an111717＝1+.

42n4n41117. 综上,对一切正整数n,有a1a2an4此时

11 n1n此题采用了保留前2项,从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,需根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰到好处. 练习：2.设s112131100,则s的整数部分是〔 〕

A.17 B.18 C.19 D.20 分析：不能直接求和式s,须将通项

1n思路：为了确定s的整数部分,必须将s的值放缩在相邻的两个整数之间.

11). 3.已知{an}是各项都为正数的数列,Sn为其前n项和,且a11,Sn(an2an〔I〕求数列{an}的通项an；

11112(1). 〔II〕求证：

2S13S2(n1)SnSn1放缩为裂项相消模型后求和.

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