一、选择题：每小题3分，共24分
1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ） A．2.5 B．3 C．5 D．10
2．已知反比例函数y=的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
3．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知的值为（ ）
，则
A．
B．
C．
D．
4．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=A．
B．
C．
D．
图象上的概率是（ ）
5．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一
象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
1
A．50° B．80° C．100° D．130°
7．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，且△ABC的周长为27，则△DEF的周长为（ ） A．9 B．18 C．27 D．81
8．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4
二、填空题：每小题3分，共21分
9．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．
C．﹣2 D．2
11．如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），则k= ．
2
12．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则
= ．
13．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在
上的点D处，折痕交OA于点C，则
的长为 ．
14．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是 ．
15．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③一定正确的结论选项是 ．
=
；④AE为⊙O的切线，
3
三、解答题：本大题共8个小题，共75分
16．如图，反比例函数y=的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下
列问题：
（1）图象的另一支在第 象限；在每个象限内，y随x的增大而 ； （2）常数m的取值范围是 ； （3）若此反比例函数的图象经过点（﹣2，3），求m的值．点A（﹣5，2）是否在这个函数图象上？点B（﹣3，4）呢？
17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，
4
求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
20．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
21．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
5
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
22．如图，直线MN交⊙O于点A、B，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于点E． （1）DE与⊙O有何位置关系？说明理由； （2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．
23．如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
6
河南省周口市扶沟县2016届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共24分
1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ） A．2.5 B．3 C．5 D．10 【考点】切线的性质．
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5． 【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相切， ∴点O到直线l的距离等于圆的半径， 即点O到直线l的距离为5． 故选C．
【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．
2．已知反比例函数y=的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】探究型．
【分析】先根据反比例函数y=中k=1可知此函数的图象在一、三象限，再根据0＜1＜2可知AB两点均在第一象限，故可判断出n、m的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y=中k=1＞0， ∴此函数的图象在一、三象限， ∵0＜1＜2，
∴A、B两点均在第一象限，
∵在第一象限内y随x的增大而减小， ∴m＞n． 故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．
3．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知的值为（ ）
，则
7
A． B． C． D． 【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
，
=
，根据已知即可求出答案．
∴===， 故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
4．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
图象上的概率是（ ）
∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=
图象上的有（3，4），（4，3）；
∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．
故选D． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
8
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130° 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可． 【解答】解：∵∠BOD=100°， ∴∠BAD=100°÷2=50°， ∴∠BCD=180°﹣∠BAD =180°﹣50° =130° 故选：D． 【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
7．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，且△ABC的周长为27，则△DEF的周长为（ ） A．9 B．18 C．27 D．81 【考点】相似三角形的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据相似三角形的性质得到=，然后利用比例性质计算．
9
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，
∴=，
∴△DEF的周长=×27=9． 故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
8．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可． 【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， ∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴==， ∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
10
∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4． 故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
二、填空题：每小题3分，共21分
9．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 y=（x＞0），答案不唯一 ． 【考点】反比例函数的性质． 【专题】开放型．
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大． 【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一． 故答案为：y=（x＞0），答案不唯一．
【点评】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小； ②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= 125 °．
【考点】切线的性质．
【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°； ∵OA=OD，
11
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°， 故答案为：125．
【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
11．如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），则k= 2 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可．
【解答】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a）， ∴a=2，k=2， 故答案为：2．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，利用图象上点的坐标性质得出是解题关键．
12．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则
= 2 ．
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解． 【解答】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O， ∴点O是△ABC的重心， ∴
=2．
12
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
13．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在
上的点D处，折痕交OA于点C，则
的长为 5π ．
【考点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°﹣∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式l=【解答】解：如图，连接OD． 根据折叠的性质知，OB=DB． 又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°． ∵∠AOB=110°，
∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°， ∴的长为
故答案是：5π．
=5π．
来求
的长．
【点评】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．
14．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是 ．
13
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得得==1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值． 【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴
，
，
，
，从而可
∴==1． ∵AB=1，CD=3， ∴
=1，
∴EF=． 故答案为：．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现=1是解决本题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③一定正确的结论选项是 ①②④ ．
=
；④AE为⊙O的切线，
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则
14
可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与
相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质
得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断． 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正确； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确； ∵△ABC不能确定为直角三角形， ∴∠1不能确定等于45°， ∴
和
不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，
∴点E在以AC为直径的圆上， ∴∠AEC=90°， ∴CE⊥AE， 而CF∥AB， ∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确． 故答案为①②④．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．
三、解答题：本大题共8个小题，共75分
15
16．如图，反比例函数y=的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下
列问题：
（1）图象的另一支在第 四 象限；在每个象限内，y随x的增大而 增大 ； （2）常数m的取值范围是 m＜2 ；
（3）若此反比例函数的图象经过点（﹣2，3），求m的值．点A（﹣5，2）是否在这个函数图象上？点B（﹣3，4）呢？
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）根据双曲线的对称性和增减性填空；
（2）根据双曲线所在象限得到m﹣2＜0，由此求得m的取值范围；
（3）利用待定系数法求得m的值；然后把点A、B的坐标代入函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）如图所示：该函数图象位于第二象限，根据反比例函数图象关于原点对称得到：图象的另一支在第 四象限；在每个象限内，y随x的增大而 增大； 故答案是：四；增大；
（2）由反比例函数图象位于第二、四象限得到：m﹣2＜0， 解得m＜2．
故答案是：m＜2．
（3）把（﹣2，3）代入y=则m=﹣4．
则该函数解析式为：y=﹣． ∵﹣5×2=﹣10≠﹣6，
∴点A不在该函数图象上． ∵﹣3×4=﹣12≠﹣6，
∴点B不在该函数图象上．
得到：m﹣2=xy=﹣2×3=﹣6，
16
【点评】本题主要考查的是反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
17．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据PQ∥BC可得【解答】解：∵PQ∥BC， ∴，∴MN∥BC， ∴∴
=，
，
，进而得出
，再解答即可．
=，
∴， ∵AP=AQ， ∴PQ=3．
【点评】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，首先得出A点坐标，再利用反比例函数图象上点的
17
坐标性质得出即可；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D′点处，得出点D′的纵坐标为3，求出其横坐标，进而得出菱形ABCD平移的距离． 【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OF=4，DF=3， ∴OD=5， ∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8）， ∴k=xy=4×8=32， ∴k=32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数过点D′做x轴的垂线，垂足为F′． ∵DF=3， ∴D′F′=3，
∴点D′的纵坐标为3， ∵点D′在∴3=
，
， ， ﹣4=
，
．
的图象上
（x＞0）的图象D′点处，
解得：x=即OF′=∴FF′=
∴菱形ABCD平移的距离为
【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质，得出A点坐标是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4），将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
18
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC1的面积，求出即可． 【解答】解：图象如右图． 在RT△ABC中，∵AB=2，AC=3， ∴BC=
=
，
=
．
∴线段BC旋转过程中所扫过的面积=
【点评】此题考查了作图﹣旋转变换、以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．
20．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
19
【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把y=480代入y=
中，进一步求解可得答案．
【解答】解：（1）停止加热时，设y=（k≠0）， 由题意得600=，解得k=4800，
当y=800时，=800 解得x=6，
∴点B的坐标为（6，800）， 材料加热时，设y=ax+32（a≠0）， 由题意得800=6a+32， 解得a=128，
∴材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤6）； ∴停止加热进行锻造时y与x的函数关系式为y=
（x≥6）；
（2）把y=480代入y=，得x=10，
10﹣6=4分钟．
故锻造的操作时间有4分钟．
【点评】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
21．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
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【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴AC•AD=AB•AE； （2）解：连接OD， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD， ∴OB=2OD， ∴∠OBD=30°， 同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
22．如图，直线MN交⊙O于点A、B，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于点E． （1）DE与⊙O有何位置关系？说明理由； （2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．
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【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，证出∠1=∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例=，求出直径AC，即可得出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OA=OD， ∴∠1=∠2，
∵AD平分∠CAM， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴MN∥OD， ∵DE⊥MN， ∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图2所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD=
=
=2
（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED=90°， ∴∠ADC=∠AED， 又∵∠2=∠3， ∴△ADC∽△AED， ∴=即=∴AC=10（cm），
，
∴OA=AC=10cm， 即⊙O的半径为5cm．
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【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
23．如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
【考点】反比例函数综合题． 【专题】数形结合．
【分析】（1）把A点坐标代入y=可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，则=，再根据反比例函数解
析式可得=n，则=m﹣1，而=，可得=，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．
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【解答】解：（1）∵y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4）， ∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n）， ∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，
∴==﹣1，
∵B（m，n）在y=上， ∴=n，
∴=m﹣1，而=，
∴=，
∵∠ACB=∠NOM=90°， ∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2， ∴m﹣1=2， m=3，
∴B（3，），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴解析式为y=﹣x+．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．
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