福建省宁德市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

数 学 试 题

(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1. 命题p:xR,x230，则p为（ ）.

A. xR,x230 B. xR,x230 C. xR,x230 D. xR,x230

2. 函数f(x)2xlnx的定义域是（ ）.

A．(0,) B．(0,2) C．(0,2] D．(,2) 3. 要得到函数fxsin2x的图象，可将函数gxsinx的图像（ ）.. A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

B．纵坐标缩短到原来的

12，横坐标不变 数学试卷 第1页，共6页

C．横坐标缩短到原来的

1，纵坐标不变 2D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4. 已知a2,b0.6，clog0.62则（ ）.

A．abc B．acb C．cba D．cab 5. 已知不等式mxmx10恒成立，则m的取值范围为（ ）.

20.62 A．(0,4) B．[0,4） C．[0,4] D．(,0](4,)

14xy1,6. 设x,yR,求的最小值为（ ）.

xy A．2 B．4 C．8 D．9 7．已知定义域为R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x)0的x 的取值范围是（ ）.

A．(,2][2,) B．[2,2] C．[2,0)(0,2] D．[2,0][2,)

8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72的等腰三角形（另一种是两底角为36的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，

BC51. AC2数学试卷 第2页，共6页

根据这些信息，可得sin54（ ）.

A．451251535 B． C． D．

8844二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．如果a,b,cR,ab，那么下列不等式正确的是（ ）.

A．ab B．331a122 C．2a2b D．acbc b10. 已知函数f(x)x图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）. A. f(x)为偶函数 B. f(x)为增函数

xx2C. 若x1，则f(x)1 D. 若x1x20，则f12

fx1fx22

11．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(,)，

将角的终边逆时针旋转90得到角，则下列结论正确的是（ ）.

03545A．tan34B．cos

53

D．sinC．sin1

2 41012．已知定义在R上的函数fx的图象连续不断，若存在常数(R)，使得

则称fx是回旋函数.给出下列四个命题中，f(x)f(x)0对任意的实数x恒成立，

数学试卷 第3页，共6页

正确的命题是（ ）.

A．函数f(x)a(其中a为常数)为回旋函数的充要条件是1. B．若函数f(x)a(a1)为回旋函数，则1. C．函数fxcosπx不是回旋函数.

D．若fx是2的回旋函数，则fx在[0,2020]上至少有1010个零点. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

x13．计算lg25lg4log28的值为 .

1314．已知半径为3的扇形面积为

3，则这个扇形的圆心角为 . 215．函数f(x)cos(x)的部分图像如右图所示， 则 ；

单调递减区间为 . 16．已知x1满足3xe3，x2满足3xe 则x1x2 .

（第15题图）

x2x3,

数学试卷 第4页，共6页

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题10分）

已知集合Axx3x20,Bxmxm2．

2 （1）若m1时，求AB； 2 （2）若AB，求实数m的取值范围．

18．（本小题12分）

5ax2b 设函数f(x)，且f(1)2,f(2) ．

2x（1）求f(x)解析式；

（2）判断f(x)在区间[1,)上的单调性，并利用定义证明．

19.（本小题12分）

已知函数f(x)2sinx2sinxcosx1．

2 （1）求f(x)的最小正周期；

数学试卷 第5页，共6页

（2）若(0,2),f(224)42，求cos的值． 520．（本小题12分）

2020年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不足，而且水质质量也明显下降。为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序，过滤前水含有杂质a%（其中a为常数），每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少

2，设水过滤前的量为1，过滤次数为x（xN*）时，水的杂质含量为y． 3 （1）写出y与x的函数关系式；

（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%，问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求？（参考数据：lg20.301，lg30.477）

21．（本小题12分）

已知函数f(x)ax23x1．

（1）若f(x)0的解集为(1,b)，求f(x)的零点；

数学试卷 第6页，共6页

(2 ) 若f(x)在(1,1)内恰有1个零点，求a的取值范围．

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22.（本小题12分）

 已知函数fxAsinxA0,0，2只能同时满足下列三个条件中的两个：

①函数fx的图像的一个最高点为(6,4)；

②函数fx的图象可由函数y2sinxπ6的图象平移得到； ③函数fx图象相邻的两个对称中心之间的距离为

π2． （1）请写出这两个条件的序号，并求出fx的解析式；

（2）已知函数g(x)的图象关于点(1,0)对称，当x[0,1]时，g(x)x2mxm1．若

对x1[0,2]，x2[6,3]，使得g(x1)f(x2)成立，求实数m的取值范围．

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宁德市2020—2021学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题参考答案

一、选择题：

1-4：D C C A 5-8： B D B A

二、多选题：

9. AC ；10. BCD； 11. AC ； 12. AD

三、填空题：

132k,2k 13. 3 14. 15. , kZ 443 16. 2

备注：第15题前空2分后空3分，后空的区间写开或闭皆可，kZ未写不扣分.

四:解答题： 17.解：

数学试卷 第9页，共6页

(1)因为x3x20，所以x-3x+20，………………………………………1分 所以A={1x2}.………………………………………………………………………3分

22 因为m113，所以B{-x}…………………………………………………4分 2223}……………………………………………………………6分 2所以AB{x/1x (2)因为AB，m1，…………………………………………………………8分

m22m1

所以，所以0m1.……………………………………………………10分

m0

18.解：

f(1)2ab2 （1）由题意得5，即4ab5………………………………………2分

f(2)222ab2a1 所以，解得………………………………………………………4分

4ab5b1x21 所以f(x)………………………………………………………………………5分

x（2）由（1）知f(x)x分 证明如下：

1，函数f(x)在[1,)单调递增，…………………………6x数学试卷 第10页，共6页

任取x1,x2[1,)，且x1x2，有

f(x1)f(x2)(x1+11)(x2+)………………………………………………………7分 x1x2111)=(x1x2)(1) x1x2x1x2 =(x1x2)+((x1x2)(x1x21) = ………………………………………………………9分

x1x2因为1x1x2，所以x1x20，x1x20，x1x210，

所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，……………………………………………11分 所以f(x)在[1,)单调递增，命题得证.………………………………………………12分

19.解：(1)f(x)2sinx2sinxcosx1

2 sin2xcos2x………………………………………………………………………2分

2(

22sin2xcos2x) 22 2sin(2x) ………………………………………………………………4分

4 所以 f(x)的最小正周期为………………………………………………………6分

（2）f(224)2sin()2sin() 1246数学试卷 第11页，共6页

 因为(0,2),6(,) ， 63 所以2sin(6)424， 即 sin()……………………………………8分 565 所以cos(3)………………………………………………………………………9分 65因为coscos(6)6

cos()cossin()sin6666 3341334=, 525210334.…………………………………………………………………12分 102， 3所以cos20.解：（1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少

所以每次过滤后所含的杂质是前一次的

1………………………………………………2分 3所以得到ya%(),xN

13x即ya1()x,xN…………………………………………………………………5分 1003 (没有写xN扣1分)

数学试卷 第12页，共6页

（2）设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求，则

1a%()x0.002a%………………………………………………………………………7分

3132 10002…………………………………………………………………………8分 1000所以()x所以lg()lg13x即xlg12lg……………………………………………………………………………9分 310003lg230.3015.7…………………………………………………………10分 lg30.477所以x又xN,所以x6………………………………………………………………………11分 即至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.………………………………………………12分

21.解法一：

（1）依题意得方程ax3x1=0的两根为-1，b，……………………………………1分 将x1代入方程得a4，……………………………………………………………2分

2于是方程ax3x1=0可化为4x3x1=0,解得x1或x221.………………3分 4所以函数f(x)的零点为-1，.……………………………………………………………4分

14数学试卷 第13页，共6页

（2）因为函数f(x)ax3x1在(1,1)内恰有1个零点， 所以该函数图象在(1,1)内与x轴只有一个公共点.

2（-1，1）（i）当a0时，由f(x)3x1=0，得x=，故a0满足题意；………5分

（ii）当a0时，

①当函数f(x)的图象在x轴两侧时，则由f(1)f(1)(a4)(a2)0,

解得-2a4，……………………………………………………………………………6分 此时-2a4且a0，满足题意…………………………………………………………7分

13当a-2时，x1（-1，1），满足题意；…………………………………………………8分 21（-1，1），满足题意.……………………………………………………9分 42当a4时，x②当函数f(x)的图象在x轴同侧时，则由3-4a(1)0,

解得a9…………………………………………………………………………………10分 4.

922x3x1=0即9x2-12x+4=0解得x（-1，1） 43由f(x)-故a9，满足题意.………………………………………………………………………11分 4数学试卷 第14页，共6页

综上所述，a的取值范围是[2,4].………………………………………………12分

94解法二：

（1）同解法一;………………………………………………………………………………4分 （2）依题意知方程ax3x1=0在(1,1)内恰有1个实根，……………………………5分

2显然x=0时不满足方程ax3x1=0，

2所以a13x121()3()…………………6分 2xxx令t1（-1，0）（0，1）因为x，

x,

所以t(,1)(1,),

于是at3t，t(,1)(1,)，………7分

2分别画出函数yt3t，t(,1)(1,) 和函数ya的图象,如图所示.

22因为函数yt3t，在(,1)(1,)上单调递减,

32在[,)上单调递增.……8分

32 当t1时y4；

数学试卷 第15页，共6页

当t1时y-2；

当t39时y-.………………………………………………………………………10分 2494结合图象可知，要使两函数图象恰有一个公共点，必须a[2,4].………12分

22.解：

（1）①③……………………………………………………………………………1分 由条件①知A=4，由条件③知T，从而2.………………………………………2分 因为为函数f(x)图象最高点， （，4）6所以26+=2+2k,kZ，=6+2k.

因为2，所以= 6所以 f(x)4sin(2x).…………………………………………………………………3分

65（2）由（1），当x,时，2x,.…………………………………4分

66663当2x66时，f(x)取最小值2，

当2x62时，f(x)取最大值4，

所以f(x)在x,时的值域为2,4.………………………………………………5分

63数学试卷 第16页，共6页

记函数yg(x),x0,2的值域为A.

若对任意的x1[0,2]，存在x2[,]， 63使得g(x1)f(x2)成立，则A2,4.…………………………………………………6分 因为x0,1时，g(x)x2mxm1，

所以g(1)0，即函数g(x)的图象过对称中心(1,0). (i)当

m0，即m0时，函数g(x)在0,1上单调递增，由对称性知，g(x)在1,2上单2调递增，从而g(x)在0,2上单调递增.

g(0)m1，由对称性得g(2)g(0)1m，则Am1,1m.

m12要使A2,4，只需，

1m4解得m1，所以1m0…………………………………………………………………8分

(ii)当0mmm1，即0m2时，函数g(x)在0,上单调递减，在,1上单调递222mm增，由对称性知，g(x)在1,2上单调递增，在2,2上单调递减.

22mmmm0,,22,2上单调递减，函数在上单调递减，在上单调递增，在 g(x)所以2222mmg(x)minming(),g(2),g(x)maxmaxg(0),g(2)，

22数学试卷 第17页，共6页

mm22mmm22其中g()(),g(2)g()()，

222221m2m2()222要使A2,4，只需， m14m22)4(2解得2m3，0m2.………………………………………………………………10分 (iii) 当

m1，即m2时，函数g(x)在0,1上单调递减，由对称性知，g(x)在1,2上单2调递减，从而g(x)在0,2上单调递减.此时 A1m,m1.

1m2要使A2,4，只需，解得m3，2m3.

m14综上可知，实数m的取值范围是1,3.…………………………………………………12分

宁德市2020—2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题勘误

选择题第12题，选项A．函数

f(x)a(其中a为常数)为回旋函数的充要条件是1.

中“ (其中a为常数)”改为“(其中a为非零常数)”

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