高等数学---求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 11x3x21x【解】lim3 limx3x1x313x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；

0nn1axan1xa0 (2) limnmm1xbxbxbmm10anbn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x23x21)

xmnmn mn【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)limx22(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x0

例4：求极限limx01tanx1sinx

x3【解】limx01tanx1sinxtanxsinx limx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim 33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

11sinx两个重要极限是lim第一个重要极限1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，

xnx0x0xnx1过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑2xxx1，最后凑指数部分。 Xx1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxxa5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,

xxx12bx,1ax1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

1cosx~(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．

xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】 limlim2.

x01cosxx012x2例7：求极限lim例8：求极限limsinxx

x0tan3x21sinxxcosx11sinxx2xlimlimlim【解】lim

x0x0x0x0tan3x6x33x23x26．用罗必塔法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim

x0x20或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 02sin2xsin2xlncos2xln(1sin2x)cos2x1sin2x 【解】limlimx0x0x22x【说明】

limsin2x21x02xcos2x1sin23 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0.

xf(xt)dt【解】 由于

x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0(xt)f(t)dtx0x0xf(xt)dtxlimxf(t)dttf(t)dtxf(u)du0xx0

=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0f(t)dt0f(u)duxf(x)xx0

f(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=

x0f(u)duf(0)1.

f(0)f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

2x例11：极限lim[1ln(1x)]

x0【解】 lim[1ln(1x)]=limex0x02x2ln[1ln(1x)]x=e2ln[1ln(1x)]x0xlime2ln(1x)x0xlime2.

【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

1例12：求极限lim3x0x2cosxx1.

32cosxxln3【解1】 原式limx0ex32cosxln13 limx0x21（sinx）ln（2cosx）ln3 lim lim2cosx2x0x0x2x11sinx1 lim

2x02cosxx6【解2】 原式limx0e2cosxxln3x32cosxln13 limx0x2ln（1 limx0cosx1）cosx113 lim22x03x6x8．利用Taylor公式求极限

axax2, ( a0 ). 例13 求极限 limx0x2x221xlnalna( x2),

2【解】 aexxlna axx221xlnalna( x2);

2 axax2x2ln2a( x2).

axax2x2ln2a( x2)2limlna.  lim22x0x0xx11lim例14 求极限x0(cotx).

xx【解】 limx0111sinxxcosx(cotx)lim x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim 3x0x113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.

(9．数列极限转化成函数极限求解

1例15：极限limnsin

nn【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1【解】考虑辅助极限limxsinxxx2n2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

1610．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.

111例16：极限lim22nn222n2n2n1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。

lim1112nffff(x)dx 0nnnnn1111【解】原式＝lim222nn12n111nnn10 121 dxln22211x 1111例17：极限lim2nn22n2nn1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim用两边夹法则求解；

112nfff的形式，因而nnnnn (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

111【解】lim2nn22n2nn1因为

 1nn2nnn2n1n121n2nn122nn12

又 limnnn2limn1

所以 lim1112nn22n2nn1＝１ 12．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（Ⅱ）计算lim. nxn 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【详解】 （Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11. 可推得 0xn1sinxn1,n1,2,于是

，则数列xn有界.

xn1sinxn1，sinxx）（因当x0时，， 则有xn1xn，可见数列xn单调减少，故由xnxnn单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.

设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得 lsinl，解得l0，即limxn0.

nn11x（Ⅱ） 因 limn1nxn122xnsinxnxn2，由（Ⅰ）知该极限为1型， limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxlimex0xx01limex0x3e (使用了罗必塔法则)

16x故 limn1nxn

2xn1sinxnxn2lime6. nxn1

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C

其中(x)可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：ln(x1)lnxdx

x(x1)111 x1xx(x1)【解】(ln(x1)lnx)'ln(x1)lnx12dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)C例x(x1)21lnx(xlnx)2dx

2：

【解】(xlnx)'1lnx

1lnxdxlnx1dxx(x1)2(xlnx)2xlnxC

3.第二类换元法：

设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dxf[(t)]'(t)dt

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

(1)a2x2：xasint；xacost(2)x2a2：xatant；xacott；xasht (3)x2a2：xasect；xacsct；xachtn(4)naxb：axbt(5)naxbnaxb：tcxdcxd

1(6)当被积函数含有xmax2bxc，有时倒代换x也奏效。t4.分部积分法.

公式：dd

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：x3arccosx1x2dx

【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则

x3arccosx1x2cos3tdxt(sint)dttcos3tdt

sint132t(sint1)dsinttd(3sintsint)11tsin3tsint(sin3tsint)dt3311 tsin3tsint(sin2t1)dcost33121tsin3tsintcostcos3tC339121x3x(x22)1x2arccosxC933例4：arcsin2xdx 【解】

22arcsinxdxxsinxx2arcsinx11x2dx

xarcsinx2arcsinxd1x2xarcsinx21x2arcsinx1x2xarcsinx21x2arcsinx2xC21x2dx

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在dd中，、的选取有下面简单的规律：

(1)Pm(x)，eax,sinax,cosax(2)lnx,arctanx,arcsinx，Pm(x)(3)e，cosx,sinx将以上规律化成一个图就是： （lnarcsinx） Pm(x（a^x sinxax

(3)会出现循环，注意，选取的函数不能改变。μ 但是，当lnx，arcsinx时，是无法求解的。

ν 对于（3）情况，有两个通用公式：

eaxI1esinbxdx2(asinbxbcosbx)C2ab eaxaxI2ecosbxdx2(acosbxbsinbx)Cab2ax（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数

P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之Q(x)Q(x)Q(x)和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现InInx2n3In1）

2a2(n1)(x2a2)n12a2(n1)dx时，记得用递推公式：

(a2x2)nx6x44x22例5：dx

x3(x21)2x6x44x22x6x44x22x4x2232【解】 x3(x21)2x(x1)2x3(x21)2x21x3(x21)2

x12dxx212ln(x1)C

4x224x222x2122dxxdxdxxx3(x21)2x4(x21)2x4(x21)221(1)222(1)2d2(1)2d

11111()dCC2(1)21x2(x21)故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

x2tan2sinxx1tan22 万能公式：x1tan22cosx2x1tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换ttan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。 Q(sinx,cosx)2对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成

sinxcosx。再用待定系数 或cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

acosxbsinx

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x时，可令xtan2t；同时出现

x和1x时，可令xsin2t；同时出现1x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现

1x2和arccosx时，可令x=cost等等。