二次函数及面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化

情况，促进培养学生解决问题的能力．

2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点

1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：

BCB

D1O

1图12-2

AA

h 水平宽a 图12-1

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB；

面积的新方法：SABC1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2(3)是否存在一点P，使S△PAB=

请说明理由.

度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形

“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长

9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，8y

垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的

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铅垂高Cx

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例1解：(1)设抛物线的解析式为：y1a(x1)4∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分

2把A(3,0)，B(0,3)代入y2kxb中解得：k1,b3所以y2x3∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分

所以CD＝4-2＝2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分

SCAB(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

1323(平方单位)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分2 总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数

yax2bxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，

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得：

193(x23x)3282化简得：4x12x90解得，x将x

32代入y1x2x3中，2

315解得P点坐标为(,)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分

24由S△PAB=

9S△CAB832

则hy1y2(x2x3)(x3)x3x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分

2 (2)因为C点坐标为(１,4)

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2

2 由y1x2x3求得B点的坐标为(0,3) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分

2设直线AB的解析式为：y2kxb 所以y1(x1)4x2x3∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分

22 把A（3,0）代入解析式求得a1 .WORD完美格式.

A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝（1）求这个二次函数的表达式．

1．3在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的

y_in最大面积.

E_A__OB_x_eir be y_A__OC_D_求该圆半径的长度．

G_ B_以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存

C_ D_1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

将A、B、C三点的坐标代入得

ll things in图10 thabc09a3bc0c3

解得：

nda1b2c3

a2yx2x3 所以这个二次函数的表达式为：

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 设该表达式为：ya(x1)(x3) 将C点的坐标代入得：a1

2yx2x3 所以这个二次函数的表达式为：

A

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x_（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使

图11 .WORD完美格式.

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3∴E点的坐标为（－3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，y，R）R代入抛物线的表达式，解得

1172 ∴存在点F，坐标为（2，－3）

1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

AMO1rrN BxD则N（r+1，－r），

117r2代入抛物线的表达式，解得

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为yx1．

设P（x，x2x3），则Q（x，－x－1），PQxx2．

22 1171172或2∴圆的半径为．

SAPGSAPQSGPQx

当

1

2时，△APG的面积最大

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1(x2x2)32

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11527,SAPG的最大值为4，8．此时P点的坐标为2随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

DCEx=4 theirAOBx beingy 2【答案】解：（1）点C的坐标(2,23)．设抛物线的函数关系式为ya(x4)m，

gs16am0383a,m.4am2363则，解得

inll thiny36(x4)2833…………①

∴所求抛物线的函数关系式为

A4kb0343k,b2kb2333．设直线AC的函数关系式为ykxb,则，解得ndy33x433，∴点E的坐标为

(4,∴直线AC的函数关系式为

ay把x=4代入①式，得

38383(44)2633，∴此抛物线过E点．

（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=

12(8x)Ay12(y23)(x2)12(82)23 .专业知识编辑整理.

83)3线一定过点E；

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3y3x833(36x2433x)3x8332x53x832=

32(x5)2=

2,93y轴交于点B；二次函数y＝

B(2,0)两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、、、CD形，请直接写出D点的坐标；

ll thin1A(,0)2yxaxb23．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与x轴交于,

gs in第24题图

their

e and（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、、、CB若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

A.专业知识编辑整理.

b两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；

(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

P四点为顶点的四边形是直角梯形？

B四点为顶点的四边形是等腰梯

1x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝1x＋1的图象交于B、C22 课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝

1x＋1的图象与x轴交于点A，与

2∴当x=5时，S△CMN有最大值2 93 .WORD完美格式.

第26题图当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

22OBOC在△BOC中，BC==5.

e a1522.AB=OA+OB=21252AB24因为AC2+BC2=4.

所以△ABC是直角三角形。

nd A522OAOC所以在△AOC中，AC==2.

ll thin3所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.

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gs3a,2b1.解这个方程，得 全品中考网

in th11ab0,4242ab0.得eir be1【答案】解：根据题意，将A（2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

ing are good for som .WORD完美格式.

3,1（2）点D的坐标是2.

（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设

g11将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=4,所11yx24.以直线AP的解析式为

解得

53当x=2时，y=2.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为

y2x1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设

直线BP的解析式为y2xb，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直

图2 .专业知识编辑整理.

53所以点P的坐标为（2，2）.

x151x222（不合题意，舍去）.

11x24.

3因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=

ar图11yxb2直线AP的解析式为，

e goo1yx12.

d for s .WORD完美格式.

线BP的解析式为y=2x-4.

3因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-45x1,x222解得（不合题意，舍去）.5当x=-2时，y=-9.

5所以点P的坐标为（-2，-9）.

．解：（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分

（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为ykxb，

分

①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴E1（0，4）． 115②当ED=EC时，可得E2（2，4）．……………5分

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b4,则8kb0.

1k,21yx42解得b4. ∴． ……………………………………3

交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

123xx4422(本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴

535综上所述，满足题目的点P的坐标为（2，2）或（-2，-9）

分

………………………4

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③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，EGCGCE则△CEG ∽△CAO，∴OAOCAC．

分

①当0m8时，

1311m2m4m4m22m2PQ=（4）(2)=4，SAAPCSACPQSAAPQ故S16时，相应的点P有且只有两个．…………………………

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分

118(m22m)(m4)21624，

∴0S20．………………………………………………………………………………9SAAPCSACPQSAAPQ11312m4m2m4m2m2PQ=（2）(4)=4，

∴0S16； ……………………………………………………………………………8分

②当2m0时，

118(m22m)(m4)21624，…………………………7分

re g131m2m4m42设P（m，4），则Q（m，2）．

o（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．

115综上，符合条件的点E有三个：E1（0，4），E2（2，4），E3（825，5）．

即EG5，CG25，∴E3（825，5）．……………………………………6