《幂函数》教学设计

教材分析：

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对

数函数之后研究的又一类基本的初等函数。 幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数 ．组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．

教学目标

知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.

过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析

情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

重难点

重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律

教学方法与手段

借助多媒体，探究+反思+总结

教学基本流程

从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业

教学过程设计：

（一）实例观察，引入新课

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；(2) 数；

如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函

(3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V =a3，这里V是a的函数；

(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=，这里a是S的函数；(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t-1，这里v是t的函数.

【师生互动】：

以上问题中的函数有什么共同特征？

上述问题中涉及的函数，都是函数，其中底数是自变量，指数是常数．

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂

函数的一般特征.

（二）类比联想，探究新知

1、 幂函数的定义

幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。（注意：y＝xα系数为1，未知数x在底数位置，α在指数位置）

幂函数与指数函数的对比：(关键看自变量X的位置)【师生互动】：判断下列函数是否是幂函数

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

2、 组织探究：在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数的图像

y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1

3、 观察图像完成下表 定义域RR值域R[0,+∞)奇偶性奇偶

[0,+∞)增

单调性增

(-∞,0]减

公共点

RR奇增

[0,+∞)[0,+∞)非奇非偶增(1,1)

{x|x≠0}{y|y≠0}奇

(0,+∞)减(-∞,0)减

【师生互动】：

问题一：所有图像都过第几象限？所有图像都过哪个公共点？问题二:第一象限内函数图像的单调性是怎样的？对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过？

问题三: y=x2,y=x3和y=在第一象限的变化趋势有什么区别？

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

4、 幂函数的性质

(1) 幂函数在(0,＋∞)有定义，并且图象都通过点(1,1)；

(2) 如果α＞0，则幂函数图象过原点，且在[0,＋∞)上是增函数； 如果a＜0，则幂函数图象在 (0,＋∞)上是减函数；(3)在x=1右侧的图像，α逆时针增大

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

(三）运用新知，理论迁移

【例1】比较下列各组数的大小 （1）（2）

比较两个数的大小方法:

(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较；(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较 ；

(3) 当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较。练一练：（1）

（2）和

【例2】证明幂函数f(x)=在[0，+∞)上是增函数

证明：

【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力转型和对知识理解

（四）课堂小结，归纳提升

(1) 幂函数的定义；

(2) 幂函数的性质；

(3) 利用幂函数的单调性判别大小.

（五）课后作业，巩固训练P79习题2.3： 1，2，3.