高三一轮复习专题1

高三一轮复习专题1——数列（1）

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即anf(n).

3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项

an1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1,an2)，

那么这个式子叫做数列an的递推公式. 如数列an中，a11,an2an1，其中

an2an1是数列an的递推公式.

4.数列的前n项和与通项的公式 ①SnS1(n1). a1a2an； ②anSS(n2)n1n5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何nN,均有an1an. ②递减数列:对于任何nN,均有an1an. ③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,„„.

⑤有界数列:存在正数M使anM,nN.

⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d为公差.

⑵前n项和公式Snn(a1an)2或Snna112n(n1)d.

3.等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列； ⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列.

5.等差数列的常用性质

⑴数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即

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2

an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.

⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，

a0)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq； ⑸若等差数列an的前n项和Sn，则⑹当项数为2n(nN)，则S偶Sn是等差数列； nS偶aS奇nd,n1；

S奇anS偶S奇n1n 当项数为2n1(nN)，则S奇S偶an,.

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0)，这个数列叫做等比数

列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式

n1⑴通项公式：ana1q，a1为首项，q为公比 .

⑵前n项和公式：①当q1时，Snna1

②当q1时，Sna1(1q)1qna1anq1q.

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列G2ab.

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

an1an2q（nN，q0是常数）an是等比数列；

⑵中项法：an1anan2(nN)且an0an是等比数列. 5.等比数列的常用性质

⑴数列an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即

an,ank,an2k,an3k,为等比数列，公比为q.

nm(n,mN) ⑶anamqk⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑸若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.

二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

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1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11 ； 2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

a5a359,则S9S5SnTn7n2n3，则

a5b5 .

（ ）

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4

4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若

SnTn2n3n1,则

anbn=（ ）

5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn .

6、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则a3a5_______。 7、已知数列an是等差数列，若

a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

8、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n .

9、在等差数列an中，若S41,S84，则a17a18a19a20的值为（ ）

10、在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100 .

11、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

12、等差数列an中，已知

S4S813,求S8S16.

B、求数列通项公式

1） 给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……1,3,6,10,15,21,,

3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n项和求通项公式

2n1、⑴Sn2n3n； ⑵Sn31.

2、设数列an满足a13a23a3…+32n-1ann3(nN)，求数列an的通项公式

*

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5

3）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1

例：已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式；

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.an例、已知数列an满足：

anan1n1n1anan1an1an2an2an3a3a2a2a1a1

(n2),a12，求求数列an的通项公式；

c、构造新数列

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

例、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.

n12°递推关系形如“，两边同除p或待定系数法求解 例、

a11,an12an3，求数列an的通项公式.

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3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解

例、已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.

4°递推关系形如\"anpan1qanan（p,q0),两边同除以anan1 1例1、已知数列an中，anan12anan（n2),a12，求数列an的通项公式. 1

例2、数列an中，a12,an1

d、给出关于Sn和am的关系

nn例1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3(nN)，设bnSn3，

2an4an(nN)，求数列an的通项公式.

求数列bn的通项公式．

例2、设Sn是数列an的前n项和，a11，Sn2anSn1(n2). 2⑴求an的通项； ⑵设bn

1——5

Sn2n1，求数列bn的前n项和Tn.