初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题

分式知识点

一、分式的定义

A如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子B叫做分式，A为分子，B为分母。

二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（B0）

②分式无意义：分母为0（B0）

A0③分式值为0：分子为0且分母不为0（B0）

A0A0B0④分式值为正或大于0：分子分母同号（或B0）

A0A0B0⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或B0）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

AA•CAAC字母表示：BB•C，BBC，其中A、B、C是整式，C0。

四、分式的约分

定义：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

五、分式的通分

定义：把几个异分母的分式化成同分母分式，叫做分式的通分。

步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

六、分式的四则运算与乘方

① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

aca•c•bdb•d

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

acada•d•bdbcb•c

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

ananb bn③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

ababccc

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

acadbcbdbd

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂

mnmn（1）同底数的幂的乘法：a•aa；

mnmn(a)a（2）幂的乘方：;

nnn(ab)ab； （3）积的乘方：

mnmn（4）同底数的幂的除法：aaa( a≠0)；

anan()nb；(b≠0) （5）分式（商）的乘方：b

（6）

an1an ；a0）

0（7）a1 ；（a0） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）

八、科学记数法

把一个数表示成a10的形式（其中1a10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。

n用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1。

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

九、分式方程

含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：(分式方程必须检验)

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

分式练习

一、选择题

1. 若关于x的方程+=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）

A． m＜6 B． m＞6 C． m＜6且m≠0 D． m＞6且m≠8

2. 若> > ，则的值为（ ）

A.正数 B.负数 C.零 D.无法确定

1532x11x的根是（ ） 3.方程1x3A.x=1 B.x=-1 C.x=8 D.x=2

4.

144220,xx那么x的值是（ ）

A.2 B.1 C.-2 D.-1

5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）

1x21A.x1x1 去分母得，x1(x1)(x2)1；

x51B.2x552x，去分母得，x52x5；

x2x2x2C.x2x4x2，去分母得，

(x2)2x2x(x2)

；

21,x3x1D. 去分母得，2(x1)x3；

6. 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是( )

140140xx21=14 A.

280280xx21 =14 B.

140140xx21=14 C.

1010D.xx21 =1

m1x07.若关于x的方程x1x1，有增根，则m的值是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.-1

8.若方程

Ax3Bx42x1(x3)(x4),

那么A、B的值为（ ）

A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1

aa9.如果

xb1,b0,b那么ab（ ）

1x1A.1-x B.x1 C.

x11x D.xx1 43210.使分式x24与x2x6x25x6的值相等的x等于（ A.-4 B.-3 C.1 D.10

二、填空题

11. 满足方程：

1x12x2的x的值是________.

1x112. 当x=________时，分式5x的值等于2.

）

x2x013.分式方程x2的增根是 . 214. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米，t小时可到达，如果每小时多行驶v2千米，那么可提前到达________小时.

15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为 .

x2y2x4,2216.已知y5则xy . x12a3ax17. 时，关于的方程x2a5的解为零.

18.飞机从A到B的速度是

v1,，返回的速度是v2，往返一次的平均速度是 .

m21219.当m 时，关于x的方程x9x3x3有增根.

20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程 .

21、一种病菌的直径为0.0000036m，用科学记数法表示为

三、解答题

22. .解下列方程

14xx14x3x1213x (2) x24x2x2 （3）x2x24． (1)x3a22abb211()ba，其中a51，b51. 23．先化简，再求值：2a2b24. 先化简，再求值：

(11x2)2x1x1x1，其中x满足2x60

25. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？

26.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果

3用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多5倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

27、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年1月份的水费是36元，已知小明家今年1月份的用水量比去年12月份的用水量多6m3.求该市今年居民用水的价格.

28. 宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.

（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？

（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，

应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？