2013年全国卷新课标卷(理科数学卷)

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2< 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（ ）

（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3} （2）设复数z满足(1i)z2i，则z=（ ）

（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i （3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3a210a1，

a59，则a1 =（ ）

（A）1 （B）1 （C）1 （D）13399

（4） 已知m，n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面。直线l满足l⊥m，l⊥n，l,l，则（ ）

（A）∥且l∥ （B）⊥且l⊥ （C）与相交，且交线垂直于l （D）与相交，且交线平行于l

（5）已知（1+ax）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =（ ）

（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（ ） （A） 11112310 （B）112!13!110!

（C）11213111 （D）112!13!111!

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

(A) (B) (C) (D)

（8）设a=log36,b=log510,c=log714, 则（ ）

（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c

a（9）已知＞0，x，y满足约束条件x1xy3 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）

ya(x3)(A) 14 (B)12 (C)1 (D)2

（10）已知函数f(x)x2ax2bxc，下列结论中错误的是（ ） （A）x0R，f(x0)0

（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x0）单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f(x0)=0

（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的圆过点（0，3），则C的方程为（ ）

（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x （C）y2=4x或

y2=16x

（D）y2=2x或

y2=16x

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ） （A）（0，1） (B)（122，12） ( C)（122，13] (D)[ 13, 12）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD=_______.

（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

114 ，则n=________. （15）设θ为第二象限角，若tan（θ+4）=12，则sinθ+cosθ=_________.

（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15=25，则nSn 的最小值为________. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

18）（本小题满分12分）

如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA21=AC=CB=2AB。BC1//平面A1CD （Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值

（（Ⅰ）证明：

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ) 将T表示为X的函数；

(Ⅱ) 根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(Ⅲ)根据直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间

的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X[100,110)则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110）的概率)，求T的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:x2a2y2b21(a>b>0)右焦点的直线xy30交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12。

( Ι ) 求M的方程

(Ⅱ) C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值

（1） 证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（2） 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值。

（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

( Ι ) 设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； (Ⅱ) 当m≤2时，证明f(x)>0

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF, B、E、F、C四点共圆。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

已知动点p，Q都在曲线C：x2cosy2sin（β为参数）上，

对应参数分别为β=α与α=2πM为（①＜α＜2π）M为PQ的中点。 （Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a+b+c=Ⅱ，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac小于等于1/3 （Ⅱ）a2/a-b2/b-c/c2≥1