空间向量,夹角与距离

２４　数学通讯　２００６年第６期　空间向量，夹角与距离　黄利娜　（宁波市四明中学．浙江　３１５０４０）　１　本单元重、难点分析　本单元的重点：空间向量的运算和运算律．空间　向量基本定理及其推论。两个向量的数量积，空间向　量的坐标运算。央角公式，距离公式．斜线与平面所　成角的概念。二面角的概念，两个平面垂直的判定和　性质．四种距离的计算等．　图１　图２　本单元的难点：空间向量运算体系的建立．运用　分析１：求直线与平面所成的角．应先找出直线　向量这个代数工具灵活地解决空间图形中平行、垂　在此平面内的射影｛要证Ｄ　Ｈ上ＡＰ．用三垂线逆定　直、夹角与距离的度量问题．　理，只需证以Ｄ　Ｈ为射影的斜线Ｄ　０上ＡＰ即可．　由于空间向量是平面向量的推广，学习时应该　为此。只需证Ｄ　０＿ｌｒ面ＡＡｌＣ　Ｃ．　多采用“类比法”．把空间向景的内容与平面向量的　解法１　１）如图２，连结ＢＰ，　．‘ＡＢ上面　内容对照掌握，找出空间向量与平面向量的联系和　ＢＣＣ　Ｂ　，　．ＡＰ与平面ＢＣＣ　Ｂ　所成角是　ＡＰＢ．　区别，提高学习效率．另外，还应注意运用“转化”的　‘ＣＣ１—４ＣＰ，　１—４。　．ＣＰ一１．又在　思想方法．运用向量这个代数工具将空间问题代数　Ｒｔ△ＰＢｃ中，Ｂｃ一４．故ＰＢ一　在Ｒｔ△ＡＰＢ　化。把几何中平行转化为向量的数乘，把夹角和距离　转化为向量的数量积与模长的运算．在解题时．应灵　中．　ＡＢＰ为直角．ｔａｎ／ＡＰＢ一０　．故　ＡＰＢ一　１　活运用向量法和几何法，以达到简化解题过程的　目的．　ａｒｃｔａｎ＿４　，即直线ＡＰ与平面ＢＣＣ　Ｂ　所成角为　ｉ，　角和距离这两个概念是空间图形中最基本的数　４ａｒｃｔａｎ—Ｊ　ｆ－量关系，解决与角、距离有关的问题，转化的思想非　，　常重要．异面直线所成的角、直线和平面所成的角和　２）连结Ａ１Ｃ１．Ｂ１Ｄ１．‘．．正方形Ａ１ＢｌＣ１Ｄ１的中　二面角，一般都转化为平面角来计算Ｉ线面距离、面　心为Ｏ．＾Ｄ１０上Ａ１Ｃ１．又ＡＡｌ上面Ａ１　Ｃ１．－＇．ＡＡ１　面距离、异面直线的距离常转化为点面距离．另外。　上Ｄ１　Ｏ．　‘ＡＡ１　ｎＡｌＣ１＝Ａ１，－．．Ｄｌ０上面Ａ　ＡＰＣ１．　要掌握利用向量求空间角和距离的有关方法和　－－－ＡＰ　ｃ面ＡｌＡＰＣ１．．。．Ｄｌ０上ＡＰ．　斜线　公式．　Ｄ　０在平面Ｄ　ＡＰ内的　２　典型例题选讲　射影是Ｄ１　Ｈ．＾Ｄ１　Ｈ　例题　如图１，在棱长为４的正方体　Ｌ　ＡＰ．　ＡＢＣＤ－Ａ１ＢｌＣ１Ｄｌ中，０是正方形Ａ１ＢｌＣｌＤｌ的中　分析２：本题与正方　心。点Ｐ在棱ＣＣＩ上。且　１—４ＣＰ．　体有关，可建立空间直角　１）求直线ＡＰ与平面＂ＢＣＣ　Ｂ　所成角的大小（结　坐标系解题．　果用反三角函数值表示）｝　解法２　１）如图３，　２）设０点在平面Ｄ　ＡＰ上的射髟是Ｈ．求证：　建立空间直角坐标系　图３　Ｄ１　Ｈ　Ｉ　ＡＰ．　Ｄ－ｘｙｚ。连结ＰＢ，Ａ（４．０．Ｏ）．Ｐ（０．４．１）．Ｂ（４，４，Ｏ），　．．．Ｐ－７一（４，一４．一１）．商一（４，０．一１），南　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第６期　数学通讯　２５　商一ｌ６＋０＋１—１７，　过程．　＾∞ｓ　Ｂ　－Ｐ－７．菇　一　１７　。　在过一点有三条直线两两垂直的题目中，求线　段长或两直线的夹角以及证明平行与垂直等问题时　丽　一百’　常用。坐标法”．先建立恰当的空间直角坐标系，再运　用向量的坐标运算来解决有关同题．　＾直线ＡＰ与平面ＢＣＣ。Ｂ。所成角为　３　害易产生的错误　呲咖孕　１）受代数运算体系的影响，常忽视向量运算和　２）连结Ｄｌ０，则Ｄ１（ｏ／ｂ．４）．０（２．２，４）．　．　实数运算的异同导致出现错误．例如，常出现如下　错误：　（２，２，ｏ）．荫．１ｃｉ　一８～８＋０—０　．商ｊ．　ＦＪ＠４￣Ｄ。０在此平　①若ａ·ｂ—ａ·ｃ，则ｂ—ｃ｝②若ａ·ｂ一０，则　ＰＡｊ．Ｄ　０．’．．面Ｄ　ＡＰＩａ＝０或ｂ一０；⑦（口·６）·ｃ—ａ·（６·ｃ）．　面内的射影是Ｄ　Ｈ，　．ＤｔＨｊ．ＡＰ．　２）混淆两个向量的夹角、直线与平面所成角、　分析３：可以利用平面的法向量来解决问题．　斜线与平面所成角、二面角的平面角、异面直线所成　解法３　１）如图４，　建立空间直角坐标系　角的变化范围导致出现错误．　Ｄ　ｇ，葡一（ｏ，４，ｏ），　３）利用法向量求二面角时，忽视两个面的法向　量的夹角的大小不一定是二面角的大小导致出现　（一４，４．１）．　．‘ＡＢ　ｊ．面ＢＣＣ　Ｂ。．．．．蕊为　错误．　４）不能正确地找（或作）出点在平面内的射影．　面ＢＣＣ　Ｂ　的一个法向　量．且（７５，　）为ＡＪＰ与　导致出现错误．　４　自测越　平面ＢＣＣｌＢ　所成角的　图４　选择艇　余角，ｃｏｓ｛　，　）一　１６　１．若非零向量口，ｂ，ｃ不共线，则下列命题中真　命题的个数是　（　）　—’西一　①（口·６）·Ｃ一（ｃ·口）·ｂ　０．　　直线ＡＰ与平面ＢＣＣ　Ｂ　所成角为　②Ｉ　ａ　Ｉ～Ｉ　ｂ　Ｉ＜Ｉ　ａ—ｂ　Ｉ．４＾　ｉ　③（６·ｃ）－ａ一（ｃ·口）·ｂ不与Ｃ垂直．　ａｒｃｓ｜ｎ’育。　④（３ａ＋２ｂ）·（３ａ一２ｂ）一９　Ｉ　ａ　Ｉ。一４　Ｉ　ｂ　Ｉ　．　２）设Ｈ（ｘ，　，　），－ｏｇ　（　一２．ｙ一２，ｚ一４）是　（Ａ）１．　（Ｂ）２．　（Ｃ）３．　（Ｄ）４．　面Ｄ。ＡＰ．的一个法向量，由荫ｊ．　，ｏ－－－ｇ　ｊ．　２．已知向最口．ｂ，ｃ两两之间夹角都为６Ｏ。－，其摸　瓦　得　为１，则Ｊ　ａ—ｂ＋２ｃ　Ｉ一　（　）　，　膏．　一（ｚ一２．　一２．　一４）·（４，０．一４）一０　（Ａ）√　（Ｂ）５．　（ｃ）６．　（Ｄ）　１　存．面　一（　一２，　一２，　一４）·（ｏ．４，一３）一０　３．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１　ｃ１Ｄ　的棱长为４．则棱　，　—　＋２＝０。　Ａ　Ｂ　所在直线与平面ＡＢＣ　Ｄｔ问的距离是（　）　Ｊ　Ｉ　４　一３ｇ＋４—０　（Ａ）２厄（Ｂ）４．（ｃ）４　（Ｄ）２．　而　·　一（－４。４。１）·（　．Ｙ，　一４）一一４ｘ　４．如图５，ＡＢ　ｊ．面口于Ｂ，　十４　＋　一４…４（ｚ　２）＋４　＋　一４—４ｙ一３ｚ＋　为ＡＣ在口内的射影．ＣＤ（＝＝　４—０．　口．若／ＡＣＤ一６０。．／Ｂ（、Ｄ一　故Ｄ１Ｈ上ＡＰ．　４５。，则ＡＣ与平面ａ所成的角为　说明　本题分别给出了用几何法和向量法解　（　）　图５　决立体几何问题的求解思路．在解题时要充分考虑　（Ａ）９０。．（Ｂ）６０。．　问题的特点．灵活运用这两种方法．以简化解题　（Ｃ）４５。．　（Ｄ）３０　．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２６　数学通讯　２００６年第６期　５．在梭长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ　Ｂ　ｃ１Ｄ　中，　点Ｄ　到平面ＡＢｌＣ的距离为　（　）　（Ａ）孕．（Ｂ）学．（ｃ）　（Ｄ）厄　６．如图６，正方形ＡＢＣＤ外　有一点ｙ．连ＶＡ．ＶＢ，ＶＣ，ＶＤ，　侧面ＶＡＤ是正三角形，平面　ＷＡＤ上底面ＡＢＣＤ．面ＶＡＤ与　Ａ　占　面ＶＤＢ所成的二面角的正切值　图６　等于　（　）　（Ａ）筝　（Ｂ）孕．　（ｃ）　（Ｄ）宰．ｏ　　填空题　７．已知　一（一ｌ，２，３），茁　（２．　。２　），若　上蕊。则　一　．　８．在平行六面体加ｃ　Ａ　Ｂ　ｃ１Ｄ　中．　；　＋　茸＋　苈，则　＋　＋　一９．如图７．在空间四边形　ＡＢＣＤ中，ＢＡ．ＢＣ。ＢＤ两两互　相垂直．ＡＢ—ＢＣ＝２。Ｅ是ＡＣ　的中点，异面直线ＡＤ与ＢＥ所　成的角为ａｒｃｃｏｓ　，则ＢＤ　图７　解答题　ｌ０．巳知３口一２ｂ一（－－２．０．４），ｃ一（一２．１．２）．　口·ｃ一２，Ｉ　６　Ｉ一４．　１）求（６．ｃ＞‘　２）记ｄ一（－２．０，４）．确定实数　．使（ｄ＋ｋｃ）与　（ｄ一２ｃ）互相垂直．　１１．在前文例题的条件下，求点０到平面Ｄｌ　的距离．　１２．如图８．棱长为４的正　方体ＡＢＣＤ－ＡｌＢ１　ｃ１Ｄ１中．Ｅ　∈ＡＢ．Ｆ∈Ｂｃ．　一ＢＦ．　Ｉ）求Ａ　Ｂ与平面　ＡｌＢｌＣＤ所成的角Ｉ　２）求证ｌＡｌＦ上ｃ１Ｅ；　３）当Ｓ△艇　最大时．求＝　图８　面角Ｂｔ—ＥＦ－Ｂ的大小．　自测题参考答案与提示　选择艇　ＢＡＡＣＢ　Ａ　１．①③错误．因（口·６）·ｃ是与ｃ共线的向量．（ｃ　·口）·６是与６共线的向量。而６与ｃ不共线。即（口·６）　·ｃ≠（ｃ·口）·６．即数量积不满足结合律Ｉ因［（６·ｃ）　·口一（ｃ·口）·６］·ｃ　（６·ｃ）·（口·ｃ）一（ｃ·４）·（扫　·ｃ）一０，所以（６·ｃ）·口一（ｃ·口）·矗与ｃ垂直．　２．　Ｉ　口一６＋２ｃ　Ｉ＝　～　二　＝　Ｂ　Ｅ一　１）．　蔚：（ｏ，１，１）．由　图１ｏ　１ｃｉ　上　．】ｃｉ　上　，得／　＋　一　一０　９　ｌ　＋　—ｌ；０　一　．又Ａ．Ｂ　，Ｃ。Ｈ四点共面．．．．瓦　；　育＋　萌（其中Ａ，ｐ∈Ｒ且唯一）．　．．．百　一（　一１，　一１．　～１）．　育一（　—ｉ，　）．荫：（　．ｙ－－１，　）．　（　—ｌ·Ｙ一１，　一１）一　（　—１．ｙ，　）＋　（　，　Ｙ一１。　）．　ｒ　—ｌ—　（　—１）＋　，　Ｉ　．．　Ｙ　ｌ—　＋Ｐ（Ｙ—１），将　＝Ｙ代入　ｌ　１一ｋ＋　．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第６期　数学通讯　Ｄ　０为面Ｄ　ＡＰ的斜线．　２７　＾点。到平面Ｄ　ＡＰ的距离为　得　一　ＩＩ　．．．Ｈ‘了２了２，了１）瓦茵一（号．号．一了２）．　ｄ一　一志一　２—３　．－．点Ｄ１到平面ＡＢ　Ｃ的距离为　Ｉ碲Ｉ　学．　６．如图１１．取ＶＤ的中点Ｅ．　连ＡＦ．．正三角形ＶＡＤ中．肛上　ＶＤ。　面ＶＡＤ＿Ｌ－面ＡＣ　１　Ａ　Ｂ　ＡＢ上ＡＤ　图１１　面ＶＡＤ　ｎ面ＡＣ＝ＡＤ　Ｉ　ＡＢ上面ＶＡＤ．　连ＢＥ，则ＢＥ上ＶＤ，即／ＡＥＢ是一Ｉ面角　Ａ．ｖＩ）Ｉ．Ｂ的平面角．在ＲｔＡＡＥＢ中．设ＡＢ　４。ＡＥ　一　．ｔａｎ　棚一旁一学．　Ｔ０　填空题　７．２．　８．１．５．　９．４．　解答题　．．．（３４—２　）·ｃ一１２．即３ａ·ｃ一２ｂ·ｃ　１２．又４·　ｃ一２。　·ｃ＝－－３．ｃｏ　－ｃ）一　÷　．（　，　；　－－ａｒｃｃｏｓ　１．　．　２）ＷＩＩｄ＋幻　（一２，０．４）＋ｋ（－－２．１．２）一（一２　２量，＾．２ｋ＋４）．ｄ一２ｃ＝（一２．０．４）一２（一２．１，２）一　（２．一２．Ｏ）．　‘（ｄ＋　）上（ｄ－－２ｃ）　．（一２—２ｋ·　·２　＋４）　（２，一２．Ｏ）一０．一４—４ｋ＋　×（一２）一０，得志＝　一了’　１１．由例题的解法３，设ｎ　（口．６，ｃ）是平面　Ｄ　ＡＰ的法向量，则由ｎ．　一ｏ．ｎ·芦　一ｏ．得　４ａ＋４ｃ＝０’　｛：　；　，取ｃ＝４ｔ　一一　·．．西　：（２。２．ｏ），西　·ｎ一８＋６＋０—１４，　√　．船　一４，　．．．ｔａｎ／ＢｌＮＢ　４　图１４　２√　，　ＢｌＮＢ；ａｒｃｔａｎ２√　当Ｓ△腿Ｆ最大时．＝面角Ｂ　一ＥＦ—Ｂ的大小　为ａｒｃｔａｎ２４Ｌ　（收稿日期：２００６—０１一Ｏ６）