空间向量与空间距离

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为( ) A.

B.6 C.

D.3

2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )

A.a B.a C.a D.a

3.(2013·开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为( ) A.1 B. C. D.

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为( ) A.

B.

C.

D.1

5.(2013·石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为( )

A.1 B. C. D.二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3, ∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为 . 7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD

且∠ADC=90°,AD=1,CD=离是 .

,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是 .

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点,如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE所成的角的正切值为,求点M到直线EF的距离. 10.(2013·济南高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求|

|.

(2)求点C到平面AEC1F的距离.

11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1, A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD. (2)求证:平面EGF∥平面ABD. (3)求平面EGF与平面ABD的距离.

答案解析

1.【解析】选A.易知D(0,1,3),∴

=(1,1,2),∴|

|=

.

2.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),M(a,0,), B(a,a,0),D(0,0,0) ∴

=(0,0,),

=(a,0,),

=(a,a,0),设平面

MBD的法向量为n=(x,y,z),则

令x=1,得n=(1,-1,-2)

∴点A1到平面MBD的距离为=a.

【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的距离相等. 又VA-MBD=VB-AMD,即××

a×a×h=×××a×a,解得h=a.

3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2), E(1,0,1),F(0,1,1), ∴∴

=(-1,0,1),在

=(-1,1,0).

==,

=.

上的投影为

∴点P到直线EF的距离为

4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式求解. 【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系, 则A(3,0,0),D1(0,0,3), E(0,,0),C1(0,3,3),

=(-3,,0), =(-3,3,3),

=(0,3,0),

设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则

令x=1,得y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1). ∴D1到平面AEC1的距离为

=

=

.

5.【解析】选B.易知A1C1∥平面ACD1,则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,易知

=(0,0,1)

平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1), 故所求的距离为6.【解析】∴|=|

|2=(|2+|

+|2+||·||·cos<=

++

+)2 |2+2

·

+2,

·>+2|

+2

·

|·cos<

,

>+

=. ,

=1+22+32+2|2|

|·|

|·cos<,

|·|

>=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×

3cos 60°=23, ∴|答案:

|=

,即AC1=

.

7.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,2∴

=(0,2

,0),

,0),E(0,=(-1,-,1),A1(1,0,2),

,1),

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则

解得

,

取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1∥平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又

=(0,0,2),

==

.

∴点A1到平面ABE的距离为答案:

8. 【解析】由AD1∥BC1,A1B∥D1C可证得平面A1BC1∥平面ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0), C1(0,4,2),A(3,0,0). ∴

=(0,4,-2),,n⊥

,

=(-3,0,2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥

解得,

取z=6,则n=(4,3,6),又=(0,4,0),

则平面A1BC1与平面ACD1的距离为

=

答案:

=.

9.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作MN⊥EF,垂足为N,则MN⊥平面B'C'FE,连接B'N,则∠MB'N即为MB'与平面B'C'FE所成的角, ∴tan∠MB'N=,

设M(0,y,z),0=(-1,0,0),

=(0,2,0),==

, =

,tan∠MB'N=

=

=.

=(-1,y,z),

=(-1,y,0),

=(0,0,-z),

∴cos∠MB'E=cos∠MB'C'=

∵∠MB'E=∠MB'C',∴y=1,z=. 因此点M到直线EF的距离为.

10.【解析】以D为原点,DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3). (1)设F(0,0,a), 由

=

,得(-2,0,a)=(-2,0,2),

∴a=2. ∴F(0,0,2),∴|

|=2

.

=(-2,-4,2).

(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量, 由

得

=(0,0,3),

=

.

取z=1,则n=(1,-,1),又∴C到平面AEC1F的距离d=

11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解. 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设 A1(a,0,0),则B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1), A(a,0,4),B(0,0,4), D(0,2,2),G(,1,0). (1)∴

=(0,2,2),·

=(-a,0,0),

·

=(0,2,-2).

=0+0+0=0,=0+4-4=0.

∴B1D⊥AB,B1D⊥BD.

又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)∵

=(-a,0,0),

=(0,2,-2).

=(-,0,0),∴

=

,

=

=(0,1,-1),

.∴GF∥AB,EF∥BD.

又GF∩EF=F,AB∩BD=B, ∴平面EGF∥平面ABD.

(3)方法一:由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段. 设

=λ

=(0,2λ,2λ),则

=(0,2λ,2λ-1),

=(0,1,-1).

∵∴∴|

与共线,∴=,即λ=, =(0,,),

=(0,,),∴|=

.

∴平面EGF与平面ABD的距离为.

方法二:由(2)知平面EGF∥平面ABD, 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥解得

=(0,2,1),

,n⊥

,∴

取z=1,则n=(0,1,1),∵∴d=

=

=

,

即平面EGF与平面ABD的距离为.