【随堂练习】下列语句中是命题的有________。 ①一个数不是正数就是负数; ②0是自然数吗
③22013是一个很大的数; ④4是集合{2,3,4}的元素; ⑤作△ABC≌△A′B′C′。
例题1 (命题真假的判断)给出下列几个命题: ①若x,y互为相反数,则x+y=0; ②若a>b,则a2>b2;
③若x>-3,则x2+x-6≤0;
④若a,b是无理数,则a+b是无理数。 其中的真命题有________个。
设有两个命题:p:函数y=lg(x2-2x+m)的值域为R;q:
函数f(x)=-(7-3m)x是减函数。若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围。
例题2 (四种命题的概念)写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题。 (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面; (2)如果x>10,那么x>0; (3)当x=2时,x2+x-6=0。
下列命题中正确的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题。 A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①
【易错警示】
改写命题时,写错大前提致误
【例析】已知c>0,当a>b时,ac>bc. 把该命题改写成“若p则q”的形式。
不能正确否定命题的条件或结论致误
【例析】 写出命题“若x2+y2=0,则x、y全为0”的否命题。
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同步练习
1. 下列语句是命题的是( ) ①三角形的内角和等于180°; ②2>3;
③偶数是自然数; ④x>2;
⑤这座山真险啊!
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 2. 下列说法正确的是( )
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B. 语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”不是命题 C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D. 语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题 3. “若x,y全为零,则xy=0”的否命题为 。
4. 判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由。 ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π; ②若x=4,则2x+1<0 ;
③一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列; ④求证:当x∈R时,方程x2-x+2=0无实根。 5. 命题“ax2-2ax-3≤0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围为________。
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选修2-1第1章 充分条件与必要条件
【规律总结】
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法:借助“?”号,可记为:箭头所指为必要,箭尾跟着充分。 用定义法判断直观、简捷,且一般情况下,错误率低,在解题中应用极为广泛。
(2)集合法
从集合角度看,设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}。
①若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的充分不必要条件。 ②若BA,则p是q的必要条件;若BA,则p是q的必要不充分条件。 ③若A=B,则p是q的充要条件。
④若AB,且BA,则p是q的既不充分也不必要条件。
【随堂练习】已知下列各组命题,其中p是q的充分必要条件的是( )
A. p:m≤-2或m≥6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
fxB. p:=1;q:y=f(x)是偶函数
fxC. p:cos α=cos β;q:tan α=tan β D. p:A∩B=A;q:A?U,B?U,?UB??UA
例题1 (充分条件、必要条件、充要条件的判断) (1)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是( )
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件; ②Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件; ③Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件; ④Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件。
A. ③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ (2)若p:(x-1)(x+2)≤0,q:x<2,则p是q的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
例题2 (充分条件、必要条件、充要条件的应用)
(大连高二期末)设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集为B(其中a<0)。
(1)求集合B;
(2)设p:x∈A,q:x∈B,且p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围。
例题3 (充要条件的证明)求证:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不等
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1的实根的充要条件是:0<m<。
31m【练习】一次函数y=-x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分
nn条件是( )
A. m>0,n>0 B. mn<0 C. m<0,n<0 D. mn>0
1. (成都高二检测)“x=3”是“x2=9”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 设p:x2+3x-4>0,q:x=2,则p是q的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (武汉高二检测)“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件。 4. 若A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围。
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