直线和圆知识点总结

直线和圆知识点总结(共10页)

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练习一（直线和圆部分）

知识梳理

1．直线的倾斜角的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k

(2)；

②斜率公式：ky2y1(x1x2)．答案0,180 x2x12．直线方程的几种形式：

①点斜式 ，适用范围：不含直线xx0；

特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x轴的直线； ②两点式 ，适用范围：不含直线xx1(x1x2)和直线

yy1(y1y2)；

特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；

③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用． 3．求过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程时：

（1）若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1； （2）若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1； （3）若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0； （4）若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0。 4．已知直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2，则 ①l1与l2相交 ； ②l1与l2平行 ； ③l1与l2重合 ； ④l1与l2垂直 ． 5．已知直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则 ①l1与l2相交 ； ②l1与l2平行 ； ③l1与l2重合 ； ④l1与l2垂直 ． 6．两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之间的距离PP12= ； 点P(x,y)到直线l：AxByC0的距离d ；

2

两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离

d ．

7．圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 为圆心， 为半径 ； 圆的一般方程为x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是

D2E24F0，

其中圆心为 ，半径为 ． 8．点与圆的位置关系

圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，点M(x0,y0)， （1）点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2； （2）点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； （3）点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2。

9．直线与圆的位置关系

判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：

（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，

计算判别式①b24ac0 ；

②b24ac0 ； ③b24ac0 。

（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径的大小关系

①dr ；②dr ；dr 。 10．圆的切线方程

①若圆的方程为x2y2r2，点P(x0,y0)在圆上，则过P点，且与圆

x2y2r2相切的切线方程为xx0yy0r2；

②经过圆(xa)2(yb)2r2上的P(x0,y0)的切线方程为：

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2。yy0k(xx0)

点P(x0,y0)在圆外，则可设切线方程为yy0k(xx0),利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k。

3

11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：

（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。 （2）代数法：利用韦达定理及弦长公式

2AB1k2xAxB(1k2)(xx)4xAxBAB 12．设圆C1：(xx1)2(yy1)2r12，圆C2：(xx2)2(yy2)2r22，则有两圆

①相离C1C2 ；②外切C1C2 ；③内切C1C2 ； ④相交 C1C2 ；⑤内含C1C2 ．

13．对称问题

①点关于点的对称：利用中点坐标公式。

②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。 ③点关于直线对称：利用垂直和平分。

④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。

常用的对称关系：点(a,b)

点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(a,b)关于点(a0,b0)的对称点的坐标为(2a0a,2b0a)

点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)， 点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x的对称点(-b,-a)，

点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m的对称点(m-b,m-a).

练习题（第一部分）

31．直线的倾斜角为,若sin，则此直线的斜率是（ ）

53434A． B． C．  D． 

434322.直线过点（-1，2）且与直线yx垂直，则的方程是

3

A．3x2y10 B.3x2y70 C. 2x3y50

D.2x3y80

3．已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于（ ） A．2 B．1 C．0 D．1

4

解析：两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a(a2)1，∴ a=－1，选D.

点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况

4．已知A(2,3)、B(3,2)，直线l过P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围（ ）

13333A．k或k4 B．3k C． k或k D．k4

44444解析：过点B(3,2)、P(1,1)的直线斜为k1P(1,1)的直线斜率为k21(2)3，过点A(2,3)、

1(3)41(3)4，画图可看出过点P(1,1)的直线与线12段AB有公共点可看作直线绕点P(1,1)从PB旋转至PA的全过程。 5．直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S（ ） A．3 B．4 C．5 D．8

21xy解析：设直线方程为1，则有1，当a,b0时，

abab212， 12abab得ab8，即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显

然与两坐标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l。

6．已知直线l：xy10，l1：2xy20，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为（ ）

A．x2y10 B．x2y10 C．xy10 D．x2y10

解析：在l1上取两点(0,2),(1,0)，则它关于直线l的对称点为(1,1),(1,0)，所

以l2的方程为x2y10。

7．已知点M(0,1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线

x2y30，

5

则点N的坐标是（ ） A．(2,1) 二、填空题

B．(2,3)

C． (2,1)

D．(2,1)

8．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_ . 9．已知两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，则a ____. 解：两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，a2，则a2． 3310．若过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是

.a(2,1)

11．如果ab0,直线axbyc0的倾斜角为,且

sin2_. 1sin1sin,则直线的斜率为__________21sin1sinsin解析：由sin2cos2sin2cos2，

因为ab0,直线axbyc0的倾斜角为,所以tana0，又b0,，

所以(,)，(,)，所以0cossin，

224222所以sin2(sincos)(sincos)2cos，

22222所以tan22，ktan24。

31tan222tan三、解答题

12.已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.

3x4y20,x2,解：（Ⅰ）由 解得

2xy20.y2.6

由于点P的坐标是（2，2）. 则所求直线l与直线x2y10垂直， 可设直线l的方程为 2xyC0.

把点P的坐标代入得 222C0 ，即C2. 所求直线l的方程为 2xy20.

（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2，

1所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S121.

213.求经过直线l1：3x4y50与直线l2：2x3y80的交点M，且满足下列条件①经过原点；②与直线l3：2xy50平行；③与直线l4：

2xy50垂直的直线方程。答案：x2y50

14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在

x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，若折痕所在的直线的斜率为k，试写出折痕所在直程。

解：（1）当k0时，A、D重合，折痕所在直线方程为

1y

2 （2）当k0时，设折叠后A落在线段上的点为G(a,1)，

所以A与G关于折痕所在直线对称。

kAGk1，可得 ak,

y线的方DCO(A)BXk1从而 G(k,1)，线段OG之中点为M(,)，

22k211k折痕所在直线方程为yk(x)，化简得ykx。

2222练习题（第二部分）

3x与圆(x1)2y21的位置关系是（ ） 1．直线y3A．相交但直线不过圆心 B. 相切 C.相离 D.相交且直线过圆心

7

2．与圆C:x2y22x350同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（ ）

A. (x1)2y218 C. (x1)2y26

B. (x1)2y29 D. (x1)2y23

13．圆心为C,3的圆与直线l:x2y30交于P、Q两点，O为坐标原

2点，且满

足OPOQ0，则圆C的方程为（ ）

1515A．(x)2(y3)2 B．(x)2(y3)2

2222125125C．(x)2(y3)2 D．(x)2(y3)2

2424x1cos,4．P(x,y)是曲线上任意一点，则(x2)2(y4)2的最大值为

ysin.（ ）

A．36 B．26 C．25 D．6

5．两个圆C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

解析：因为r1r20,r1r24,OO1213，所以r1r2OO12r1r2，所以两

圆相交，故两圆公切线有2条。

6．从圆x22xy22y10外一点P3,2向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A．

313 B． C． D．0

522解析：圆x22xy22y10的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM

8

141的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为tan2，

132143该角的余弦值等于。

527．若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby0的距离为22,则直线l的斜率的取值范围是( ) A．[23,32,3] D．[0,] ] B．[23,23] C．[32解析：圆x2y24x4y100整理为(x2)2(y2)2(32)2，

∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为22， 则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴ |2a2b|aa2，∴ ()24()10，

bba2b2aa∴ 23()23，k()，∴ 23k23，选B.

bb8．若直线2xyc0按向量a=1,-1平移后与圆x2y25相切，则c的值为（ ）

A．8或2 B．6或4 C．4或6 D．2或8

解：将直线2xyc0按向量a=1,-1平移得2(x1)(y1)c0， 即2xy3c0，因为2xy3c0与圆x2y25相切，所以，

c355，

c35c8或c2。

二、填空题

9. 圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程是x2y210，

则实

数a的值是 2 ．

9

10．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y圆的方程为 ．

3x(x≥0)相切，则这个3解析：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y3x(x0)相切， 3则圆心在直线y3x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3， 这个圆的方程为(x1)2(y3)21。

11．已知圆M：(xcos)2(ysin)21，直线l：ykx，下面四个命题：

①对任意实数k与，直线l和圆M相切； ②对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；

③对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切 ④对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切． 其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号） 解：②④，圆心坐标为(cos,sin)，

d|－kcos－sin|1＋k21＋k2|sin（＋）|=|sin（＋）|1。 ＝21＋k12．函数f(x)x24x13x212x37的最小值为 ．42 13．从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ．

解析：利用数形结合解此题有优势。

因为x2y212y270，所以x2(y6)29，圆心在(0,6)，半径为3， 设圆心为M，切点为N，则在RtOMN中，OM6,MN3，所以

MON6,

所以两切线的夹角为

l2l2。 33三、解答题

2，劣弧所对的圆心角为，故劣弧的弧长为

3310

14．求过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点，且满足下列条件

之一的圆的方程．（1）过原点；（2）有最小面积． 15．如果实数x,y满足x2y24x10，求①值；

③x2y2的最值．

分析：x2y24x10表示以(2,0)点为圆心，半径为3的圆，

x为圆上的yx的最大值；②yx的最小y点M与原点连线的斜率；设yxb，则yxb，可知b是斜率为1的直线在y轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值与最小值。 16. 已知点P(2,0)及圆C：x2y26x4y40.

（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线l1与圆C交于M、N两点，当MN4时，求以线段

MN为直径的圆Q的方程；

（Ⅲ）设直线axy10与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0k(x2).

又圆C的圆心为(3,2)，半径r3， 由 3k22kk2131， 解得k.

43所以直线方程为y(x2)， 即 3x4y60.

4当l的斜率不存在时，l的方程为x2，经验证x2也满足条件.

（Ⅱ）由于CP5，而弦心距dr2(MN2)5， 211

所以dCP5，所以P为MN的中点.

故以MN为直径的圆Q的方程为(x2)2y24. （Ⅲ）把直线axy10即yax1．代入圆C的方程，

消去y，整理得(a21)x26(a1)x90． 由于直线axy10交圆C于A,B两点，

故36(a1)236(a21)0，即2a0，解得a0． 则实数a的取值范围是(,0)． 设符合条件的实数a存在，

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, 2)必在l2上． 所以l2的斜率kPC2，而kABa11，所以a． kPC212