【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)

秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦） x2y2双曲线221a0,b0与直线l：ykxm相交于AB两点，求AB的弦长。 ab设 设：Ax1,y1,Bx2,y2则AB1k222xx24x1x2 12将ykxm代入xy1得：b2k2a2x22a2kmxa2m2a2b2022ab222a2kmx1x2b2k2a2a2m2b2x1x2222bka 2abb2k2a2m2AB1kx1x24x1x21k b2k2a2y221交于A、B两点，求AB的弦长 例1：已知直线yx1与双曲线C:x42222解 解：设：Ax1,y1,Bx2,y2则ABx2x1y2y11kx1x24x1x2 2将yx1代入x2y24a2b2b2k2a2m2用来判断是否有两个交点问题。 面积问题：双曲线与直线l:ykxm相交与两点，Cx0,y0为AB外任意一点，求SABC。设C到l的双曲线与直线交点的判别式：41得： 2 3x2x501235AB1kxxxx21232x2x1282 3kx0y0mkx0y0mabb2k2a2m211距离为d，则SABCABdAB 222222bkak1例2：动点P到A(-1,0)及B(1,0)连线的斜率之积为m(m>0)且P的轨迹E的离心率为2m｡⑴求E的方程; ⑵设直线L:3xy2交曲线E于M、N,求ΔAMN的面积｡ y0y0mmx2y2mm0；故动点轨迹为双曲线，且离心率为x1x12yc21m22222m，即x12mm1；E的方程为xy1x1 2ma1212(2)SAMNMNd，设Mx1,y1,Nx2,y2则MN1kx1x24x1x2；将y3x2代解：(1)设点Px,y2x1x22322d入xy1得：31x243x505 ；x1x22SAMN32134164。 MNd2223xAyA21k23213； 1.两条渐近线为x2y0和x2y0且被直线xy30截得弦长为83的双曲线方程是 . 3x2y21截得的弦长为4，求直线的方程． 2.斜率为2的直线被双曲线

32223.已知倾斜角为的直线l被双曲线x4y60截得的弦长AB82，求直线l的方程．

44.已知两定点F12,0,F22,0，满足条件PF2PF12的点P的轨迹是曲线E，直线ykx1与

曲线E交于A,B两点，如果AB63，（1）求点P的轨迹；（2）求k的值。

x2y20)，F2(2，0)，点P(3，7)在双曲线C上．5.已知双曲线C：221(a0，b0)的两个焦点为F1(2，

ab⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，若S△OEF22，求l方程．

6.直线与双曲线相交一定有两个交点吗？直线与双曲线只有一个交点一定相切吗？ 7.直线l过点(2,0)且与双曲线xy2仅有一个公共点，这样的直线有 A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条 228.直线y= kx与双曲线4xy16不可能（ ）

A.相交 B.只有一个交点 C.相离 D.有两个公共点

9.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为 ．

2210.如果直线ykx1与双曲线xy4没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？

2211若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线xy1总有公共点，则b的取值范围是（ ） A 3,3 B[3,3] C 2,2 D2,2

22 秒杀秘籍：直线与双曲线交点问题： x2y2(1)直线ykxm与双曲线221(a0，b0)有两个交点时，4a2b2b2k2a2m20；ab4a2b2b2k2a2m20，有仅有一个交点；4a2b2b2k2a2m20，没有交点； (2)过点Px0,y0的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：当y0x0时，点P在渐近线上，当bax0a时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）； 当x0a时，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）； 例3：经过点P1,2且与双曲线4x2y21仅有一个公共点的直线有（ ） 2 (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 解： y0b当x点P不在渐近线上，当x0a时，有三条（两条渐近线的平行线，一条切线xa）；时，a0当x0a时，有四条（两条渐近线的平行线，两条切线xa）。 x2y2例4：过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有 ( ) 169A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解：如图所示，满足条件的直线共有3条． x02y02(3)当221(a0，b0)时（点P在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率kb时，有一aabb交点，当直线斜率ka时，有两个交点。 例5：过双曲线 x2y2491的右焦点F且斜率是3的直线与双曲线的交点个数是（ ） 2 A．0 B．1 C．2 D．3 b解：由于焦点位于双曲线内部，且ka，则直线与双曲线渐近线平行，故有仅有一个交点。 y21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（ ）12.过双曲线x 22 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2213.直线l过点(1,0)且与双曲线xy2仅有一个公共点，这样的直线有 条。

bax2y214.直线yx3且与双曲线221a0,b0的交点个数是 。

ab2xy241的交点个数是（ ） 15.直线y3xm且与双曲线

916A.0 B.1 C.2 D.视m情况而定

x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 16.过点P(7,5)与双曲线

72522例7：双曲线方程为3xy3.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；

若不存在，请说明理由． 解：设过点B(1,1)的直线与双曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)则3x12y1233x22y223两式相减得121y23(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0又x1x22,y1y22代入，y3即kPQ3 xx故所求直线方程为y3x2，将y3x2代入3xy3得，发现6x12x70,0，故以定点B(1,1)为中点的弦不存在。 17.过A(4,1)作直线PQ交曲线M于点P、Q，A恰为PQ的中点，求PQ的直线方程。 22y2xy2（1）M：1 1 （2）M：x32516x2y21交于点A,B,设直线l的斜率为k1(k10),弦AB的中点为18.过点P(3,0)的直线l与双曲线

169M,OM的斜率为k2(O为坐标原点),则k1k2

222x2y219.设直线l:y3x1与双曲线于221a0,b0相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标为

ab 秒杀秘籍：双曲线中点弦问题（弦中点坐标Cx0,y0与k值存在着一 一对应的关系） x2y2x0b2设双曲线221a0,b0的弦AB的中点为Cx0,y0，则k 2aby0a证：设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx0,y0，则 x12y122211a2b2x2y22212abx1x2x032y1y2y402y2y15kx2x1x0x0b2 (1)(2),得并将（3）（4）（5）代入得：k（口诀：以为底，原对应不变） 2y0y0a22例6：已知双曲线方程为3xy3，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解：设过点A(2,1)的直线与双曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)则3x12y1233x22y223两式相减得121y23(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0又x1x24,y1y22代入，y6即kPQ6 xx故所求直线方程为6xy110

a21． (1)求2的值；(2)求双曲线离心率．

b2y221，20.已知双曲线x经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB2的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。

2221.双曲线C：xy1(a0,b0)的两条准线间距离为3，右焦点到直线xy10的距离为2，（1）

a2b22求双曲线C的方程；（2）双曲线C中是否存在以P(1,1)为中点的弦？

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