圆锥曲线秒杀法

作

吴磊

研讨高考作文之余，本人也研讨高考数学的

秒杀方法，次要包含隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线

一、圆锥曲线部分小题用到的方法

1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________

注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法 法一、隐函数求导

直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得 x/4+yy'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)；

法二、缩放坐标

将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴紧缩为本来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只暗示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C':x'²+ y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1) 2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______

法一、直接用柯西不等式

椭圆和直线订交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，

l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）≥(x-2y)²;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为所以0≤d≤ 法二、缩放坐标系

椭圆和直线订交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离.

l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0, C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤ 3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y²=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:______ 法一、直接用柯西不等式

l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+ m²）≥(x-my)²

可得，m²≥12,留意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为

-√3/6≤k≤√3/6 法二、缩放坐标

l:my=x-4， x=2x' C': x' ²+ y' ² =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m²)≤1；可解的m²≥12,留意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6

二、柯西不等式

柯西不等式在高中数学提升中非常次要，是高中数

学研讨内容之一，是求某些函数最值中和证实某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主. 柯西不等

柯西不等式---[方和积不小于积和方]

柯西不等式的次要变形公式

变形公式

1

a1b1a2b2anbna1b1a2b22anbna12a222an•b12b22bn 取等条件同

变形公式2

a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1a2anb1b2变形公式3

2a12a222anb12b22bna1b12a2b22anbn2柯西不等式三角公式

变形公式4

aab1b22122aaa12bnb1b22nanbn2 取等条件同

变形公式5

a1a2b1b2a1a2ananbna1b1a2b2anbn2 取等条件同

三、仿射 四、参数方程

椭圆参数方程吴磊

一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑

x=acosθ；y=bsinθ是一组我们熟悉而又陌生的方程，

可成绩是你真懂他们的含义吗? θ究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中θ是一个意思吗?

1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题睁开

例1、P是椭圆C上一点: x=4cosθ; y=2√3sinθ且

在第一象限 O（ O为原点）P的倾斜角为π/3，则P点的坐标为_________

经典错法:

因为倾斜角为π/3，x=4cosθ; y=2√3sinθ，所以

x=4cosπ/3=2; y=2√3sinπ/3 =3 求得P坐标

（2、3）

正解:

椭圆参数方程θ是扭转而成的圆心角而不是倾斜角

因为OP的倾斜角为π/3，故OP的斜率

K=tanπ/3=√3；

√3=y/x 2√3sinθ/4cosθ=√3 (1)

sinθ²+cosaθ²=1(2)联立二式，P在第一

象限，可解cosθ=√5/5 sinθ=2√5/5 P点坐标为(4√5/5 、4√15/5 )

2、椭圆参数方程的推导和含义解释 3、椭圆参数方程的设法

可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acosθ；y=bsinθ

焦点在Y轴:x=bcosθ；y=asinθ去记忆，老师告诉你

别这么理解，你只需记住cosθ对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原次要看cosθ前的系数，它必定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个上面. 二、椭圆参数方程妙用 1、椭圆内内接面积成绩 例1:

解:

可设A( 10cosθ； 8sinθ )，利用对称性可知 B( 10cosθ；- 8sinθ )

C( -10cosθ；- 8sinθ )；D( -10cosθ；8sinθ )

AB长度为16sinθ ；AD长度为20cosθ，矩形面积S=160sin2θ，由三角函数常识可知，面积最大为160 例2：

解:要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时SBPA最大，从而SOAPB最大，用椭圆参数方程设P为 x=acosθ；y=bsinθ

直线AB的方程为:x/a+y/b=1 用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab(√2-1)2,SOAPB=ab√2/2 2、椭圆相干距离成绩 例1:

解:用椭圆参数方程设P为 x=2cosθ；y=sinθ；A(0,3/2) 由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3 例2:椭圆束缚下二次型最值成绩 解:

用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值成绩.因为b²和4大小未知，明显须要分类讨论 0﹤b﹤2，时 P(x=2cosθ；y=bsinθ),转化成求4cos²θ+2bsinθ最大值可求得最大值为(b²/4)+4

b≥2 P(x=bcosθ；y=2sinθ),转化

成求b²cos²θ+4sinθ最大值可求得最大值为2b 3、椭圆与向量求范围、求值成绩 例1

已知椭圆E：满足

,A在E上（1,1/2），若点P在E上

（1）求t的范围

（2）过原点O的直线交E于BC，求S△BCA的最大值 解:

Smax=√2

五、极点极线

圆锥曲线的极点与极线理论在高考中利用较多，缘由有二：其一，有高等数学布景，结论非常完满；其二，应用高中常识解决成绩，能够考查先生思维、计算多方面能力.把握有关极点与极线的基赋性质，才干“识破”试题中包含的有关极点与极线的常识布景，做题事半功倍.

A F N 两条割线顺次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引E G P H B 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. M PP若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.

图1

由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所

MNPMN交圆锥曲线

于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

定理1 (1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线

在P点处的切线；

(2)当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)； (3)当P在内时，过点P任作一割线交于A,B，设在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.

定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于A,B，交l于Q，则PAPB①；反之，若有

AQBQ①成立，则称点P,Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于P A 调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线

Q l 的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调 B 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.图 2

推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭 点为点Q，则有

211②；反之，若有②成立， PQPAPB则点P与Q关于调和共轭.

可以证实①与②是等价的.事实上，由①有

211. PQPAPB特别地，我们还有

推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线(设其中间为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中间，则有OR2OPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.

证实：设直线PQ与的另一交点为R，则

PRPROPOROPORRQRQOROQOROQ，化简

Q O RR

P R 即可得OR2OPOQ.反之由此式可推出

PRPR，即点P与Q关于调和共轭.

RQRQ图3

推论3如图4，A,B圆锥曲线的一条 对称轴l上的两点(不在上)，若A,B关于调

和共轭，过B任作的一条割线，交于P,Q 两点，则PABQAB.

Q证实：因关于直线l对称，故在上存在R A B P,Q的对称点P,Q.若P与Q重合，则Q与P Q P R也重合，此时P,Q关于l对称，有PABQAB； 图4

P l 若P与Q不重合，则Q与P也不重合，因为A,B 关于调和共轭，故A,B为上完整四点形PQQP 的对边交点，即Q在PA上，故AP,AQ关于直线l 对称，也有PABQAB.

定理3 (配极准绳)点P关于圆锥曲线

的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关

于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.

由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证实的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.

定义2 已知圆锥曲线:Ax2Cy22Dx2EyF0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圆锥曲线的一对极点和极线.

事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以x0x替换

2x，以y0y替换y2，以

y0y替换y即可得到点P(x0,y0)的极线方2程.

特别地：

x2y2(1)对于椭圆221，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

abx0xy0y21； a2bx2y2(2)对于双曲线221，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

abx0xy0y21； a2b(3)对于抛物线y22px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0yp(x0x).

x2y2(4)如果圆锥曲线是椭圆221，当P(x0,y0)为其焦点

abF(c,0)时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线

x2y221，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为双曲线的准2ab线；如果圆锥曲线是抛物线y22px，当P(x0,y0)为其焦点

pF(,0)时，极线恰为抛物线的准线. 2【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOyx2y2中，如图，已知椭圆1的摆布顶点为A,B，右焦点为

95．设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点

M(x1,y1),N(x2,y2)，其中m0，y10，y20．

F

(1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹； (2)设x12，x21，求点T的坐标；

3(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的必定点（其坐标与m有关）． 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当t9时，T点坐标为(9,m)， 连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据A y T(t,m) M O K N 图5

B x 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K， 又点T对应的极线方程为9xmy1，即

95xmy1，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)， 5从而直线MN也恒过定点K(1,0). 【例2】 (2008安徽卷理

x2y222)设椭圆C:221(ab0)过点

abM(2,1)，且左焦点为F1(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个分歧的点A,By 时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证实点Q总在某定直线上.

分析与解：(1)易求得答案xy1.

42(2)由条件可有

PAAQPBBQ22P O Q A . B x

，说明点P,Q关于

图6

圆锥曲线C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点

P对应的极线，即

4x1y1，化简得2xy20. 42故点Q总在定直线2xy20上.

【例3】(1995全国卷理

l:x2y226)已知椭圆C:1，直线

2416xy1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在1282，当点P在l上挪动时，求点Q的轨

迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.

OP上且满足OQOPOR分析与解：由条件知OR2OPOQ可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.

设P(12t,88t)，则与P对应的极线方程为

12tx(88t)y1，化简得 2416tx(1t)y2③

y Q R O . P x

又直线OP的方程为y88tx，化简得 12ty22tx④ 3t图7

解由③④联立方程组得

6tx5t24t2，消去t得2x23y24x6y，可化为x44t5t24t2(x1)2(y1)21(x,y分歧时为0)，故点Q的轨迹是觉得(1,1)中5523y B 1015间，是非轴分别为和，且长轴平行于x轴的椭圆，但23F 需去掉坐标原点.

【例4】(2006年全国卷II理

O 221)已知抛物线x4y P A x FB的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF 图8

(0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点

为P.

(1)证实FPAB为定值；

(2)设ABP的面积为S，写出Sf()的表达式，

并求S的最小值.

分析与解：(1)明显，点P的极线为AB，故可设点

P(x0,1)，再设A(x1,y1),B(x2,y2)，F,A,B三点对应的极线方程分别

为y1，x1x2(y1y)，x2x2(y2y)，因为A,B,F三点共线，故响应的三极线共点于P(x0,1)，将y1代入后面两个极线方

x1x02(y11)程得，两式相减得(x1x2)x02(y1y2).

xx2(y1)220又FP(x0,2),AB(x2x1,y2y1)，故FPABx0(x2x1)2(y2y1)0.

(2)设AB的方程为ykx1，与抛物线的极线方程x0x2(y0y)对比可知直线AB对应的极点为P(2k,1)，把ykx1代入x24y并由弦长公式得AB4(1k2)，所以

SABP1ABFP2(1k2)4(1k2). 2A F O P y B l x 明显，当k0时，S取最小值4.

【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C:yx2 的焦点为F，动点P在直线l:xy20上活动， 9 图过P作抛物线的两条切线PA,PB，且与抛物线分别 相切于A,B两点.

(1)求APB的重心G的轨迹方程； (2)证实PFAPFB.

分析与解：(1)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，

与y0yx0x对比可知直线l:xy20对应的极点为(1,2)，P2

为直线l上的动点，则点P对应的极线AB必恒过点(1,2).

2

2设AB:y2k(x1)，可化为

222yk2k2x，故直线AB对应的22极点为P(k,k2)，将直线AB的方程代入抛物线方程得

x2kxk20，由此得x1x2k,y1y2k(x1x21)4k2k4，2APB的重心G的轨迹方程为

kkxxk1222kx332，消去k即得 kkky1y22k2k42k22y2223331y(4x2x2).

3(2)设A(x1,x12),B(x2,x22)，由(1)知x1x2k,x1x2k2，又

2xx1kkF(0,)，由(1)知P(,2)，即P(12,x1x2)，所以4222xx111FA(x1,x12)，FP(12,x1x2)，FB(x2,x22).

4244x1x211111x1(x1x2)(x12)(x1x2)(x12)x1x2FPFA44444cosPFA21212FPFAFP22FP(x)FPx1(x1)1441x1x24. 同理cosPFBFPFBFPFBFP.

所以有PFAPFB.