（1）如图1，若∠BAC＝60°，则线段AE与BF的数量关系为 ； （2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：BF＝
AE：（写出证明过程）
（3）如图3．在（2）的条件下，连接FD并延长分别交CE、CA于点M，N，BC＝8，FD＝
DE，求△DCN的面积
2．观察猜想
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由 拓展延伸
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求
和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示） ＝ ，sin∠ADE＝ ，
3．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝ 度（直接填空）； （2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC； （3）当AB＝2
，且点E到AC的距离等于
﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．
4．已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3请直接写出CF的长．
，
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D是AB中点，一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF； （2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AC，CE，CF之间的数量关系，并说明理由； ②若CE＝9，CF＝4，求CN的长．
6．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．
（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为 ．
（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝
，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．
7．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE． （1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
8．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135°，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F． （1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；
（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （3）若BC＝2+
，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段CF的长度．
9．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB（或它们的延长线）于E，F． （1）当DE⊥AC于E时（如图1），可得S△DEF+S△CEF＝ S△ABC；
（2）当DE与AC不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系．
（3）当点E在AC延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出的关系S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系．
10．如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．
（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为 ；∠EFC的度数为 ； （2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．
11．【问题探究】
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系： ； ②若AC＝BC＝【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝
，CD＝
，
，DC＝CE＝
，则线段AD的长为 ；
，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD
为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
12．（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2． ①如图1，若∠AOB＝25°，请直接写出∠P1OP2＝ ；
②如图2连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD＝98°，求∠AOB的度数； ③在②的条件下若∠CPD＝α度（90＜a＜180），请直接写出∠AOB 度．（用含α的代数式表示）
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3在△ABC中，∠BAC＝30°，点P是△ABC内部一定点，AP＝8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使△PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出△PEF周长的最小值．
13．如图1，已知点A（﹣2，0）．点D在y轴上，连接AD并将它沿x轴向右平移至BC的位置，且点B坐标为（4，0），连接CD，OD＝AB． （1）线段CD的长为 ，点C的坐标为 ；
（2）如图2，若点M从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿着x轴向左运动，同时点N从原点O出发，以相同的速度沿折线OD→DC运动（当N到达点C时，两点均停止运动）．假设运动时间为t秒．
①t为何值时，MN∥y轴；②求t为何值时，S△BCM＝2S△ADN．
14．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
15．阅读情境：
在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题 如图1，△ABC≌△ADE，其中
∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合， 操作探究1
（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM． 操作探究2
（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．
如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形； ②当a＝ 时，AC∥FE．（直接回答即可） 操作探究3
（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为 ；
②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为 ．
16．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D、E分别是AB、AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0°＜α≤180°），记直线BD1与CE1，的交点为P．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1； （3）设BC的中点为M，则线段PM的长为 （直接填写结果）．
17．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F， （1）直接写出线段AE与CD的数量关系．
（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？
（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°” 改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？
18．综合与实践
已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】
如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；
②猜想：S△DEF+S△CEF＝ S△ABC． （2）【类比探究】
如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△
DEF+S△CEF与
S△ABC的关系，并给予证明．
（3）【拓展延伸】
如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）
19．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．
（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；
（2）如图2，当α＝45°时，问线段BM、MN、AN之间有何数量关系，并证明； （3）如图3，当α＝45°时，旋转∠MON，问线段之间BM、MN、AN有何数量关系？并证明．
20．已知△ABC是等边三角形，点D在直线BC上，且DE＝EC，将△BEC绕点C的顺时针旋转至△ACF，连接EF．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求证：AB＝DB+AF；
（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如果点E在线段BA的延长线上，请在图3的基础上将图形补充完整，写出AB，DB，AF之间的数量关系，并证明．
参考答案
1．解：（1）连接CF，
当∠BAC＝60°时，由AB＝AC，可得△ABC是等边三角形， ∵∠CEF＝∠CAB＝60°，CE＝FE， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中
∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF；
（2）连接CF，
当∠BAC＝90°时，由AB＝AC，可得△ABC是等腰直角三角形， ∴
，
∵∠CEF＝∠CAB＝90°，CE＝FE， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∴
，且∠ACB＝∠ECF＝45°， ，∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF， ∴即BF＝
， AE；
（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE， 由（2）可得∠FBC＝∠EAC＝45°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴BG＝FG，且BF＝
BG，
又∵BF＝AE，
∴BG＝AE，
∵等腰直角三角形ABC中，AD＝BD＝BC＝4， ∴DG＝DE， ∵FD＝∴FD＝
DE， DG，
x， x）2，
设DG＝x，则GF＝GB＝4﹣x，DF＝∴Rt△DGF中，x2+（4﹣x）2＝（解得x1＝1，x2＝﹣（舍去）， ∴DG＝DE＝1，
∴AD＝BG＝FG＝4﹣1＝3， ∴BF＝
＝3
，
由∠FBC＝∠ACD＝45°，BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA）， ∴BF＝CN＝3
，
＝4
，
∵Rt△ACD中，AC＝∴AN＝
，
∴△DCN的面积＝×△ACD的面积＝×8＝6，
2．解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°． 又CE＝AE，
∴∠ACE＝∠A＝30°， ∴∠BCE＝60°，
∴△BEC是等边三角形， ∴BE＝CE． ∴AE＝CE＝BE． ∴AD＝
AB＝
CE．
又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°， ∴EF＝∴
＝
CE，
＝
．
∵∠ADE＝30°， ∴sin∠ADE＝． 故答案是：
；；
（2）不变，理由：
如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形． ∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x， ∴∠AED＝120°，AD＝
x，∠DEG＝∠DGE＝60°．
∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝． ∵∠EDF＝90°， ∴EF＝∴
＝
x． ＝
．
∵∠ADE＝30°， ∴sin∠ADE＝．
（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx． ∵∠CAB＝a，
∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x． ∴DG＝∴AD＝cosα•x+
∵∠EDF＝90°，DE＝DF，
＝•x．
•x．
∴EF＝∴
＝
DE＝nx．
＝
，sin∠ADE＝
＝
＝．
3．解：（1）如图1中，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°， ∴∠EDC＝90°， 故答案为90．
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．
∵∠DAE＝∠BAP＝90°，
∴∠BAD＝∠PAE， ∵∠B＝45°， ∴∠B＝∠APB＝45°， ∴AB＝AP， ∵AD＝AE，
∴△BAD≌△PAE（SAS）， ∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°， ∴∠EPD＝∠EPC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴EC＝2PE＝2BD．
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．
设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°， ∴EP＝
x，EH＝2PH＝2x，
﹣1，CF＝
FH＝2
x+3﹣
，
∴FH＝2x+
∵△BAD≌△PAE， ∴BD＝EP＝
x，AE＝AD，
，
在Rt△ABG中，∵AB＝2∴AG＝GB＝2，
在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4， ∵AE2＝AD2＝AF2+EF2， ∴22+（2﹣
x）2＝（
﹣1）2+（4﹣2
x﹣3+
）2，
整理得：9x2﹣12x＝0，
解得x＝（舍弃）或0 ∴PH＝0，此时E，P，H共点， ∴AF＝1+
，
＝
＝2﹣
．
．
∴tan∠EAF＝
根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝4．解：（1）结论：CF＝DF，CF⊥DF． 理由：如图1中，
∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，
∴CF＝AF＝FE＝AE，DF＝AF＝FE＝AE， ∴CF＝DF，
∴∠FAC＝∠FCA，∠FAD＝∠FDA， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°，
∵∠CFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∠EFD＝∠FAD+∠FDA＝2∠FAD， ∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠FAC+∠FAD）＝2∠CAD＝90°， ∴CF⊥DF．
故答案为：CF＝DF，CF⊥DF．
（2）成立．
理由：如图2中，延长DF交AC于H．
∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°， ∴AC∥DE， ∴∠FED＝∠FAH，
∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE， ∴△AFH≌△EFD（ASA）， ∴DF＝FH， ∵∠HCD＝90°，
∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．
（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．
∵∠ABD＝∠CDE＝90°， ∴DE∥AB， ∴∠FED＝∠FAH，
∵∠AFH＝∠EFD，FA＝FE， ∴△AFH≌△EFD（ASA）， ∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，
∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB， ∴△CAH≌△CBD（SAS）， ∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD， ∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD， ∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF． ∵AC＝CB＝3∴AB＝
，
AC＝6，
∵AH＝BD＝2， ∴BH＝6﹣2＝4，
在Rt△BDH中，DH＝∴CF＝DF＝FH＝
．
＝2，
5．解：（1）证明：如图1中，连接CD．
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠BCD＝∠ACD＝60°，∠BCE＝∠ACF＝60°． ∴∠DCE＝∠DCF＝120°． 又∵CE＝CF，CD＝CD， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF；
（2）①如图2中，连接CD．
∵∠DCF＝∠DCE＝120°，
∴∠CDF+∠F＝180°﹣120°＝60°． 又∵∠CDF+∠CDE＝60°，∴∠F＝∠CDE． ∴△CDF∽△CED， ∴
＝
，即CD2＝CE•CF．
∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD， ∴CD＝AC． ∴AC2＝4CE•CF．
②作DK∥AE交BC于K．
∵AC2＝4CE•CF＝144， ∴AC＝BC＝12， ∵AD＝BD．DK∥AC， ∴CK＝KB＝6， ∴DK＝AC＝6， ∵
＝
＝＝，
．
∴CN＝CK＝
6．解：（1）结论：BE2+BD2＝2CD2． 理由：如图1中，连接DE．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴DE2＝BD2＝BE2， ∵DE＝
CD，
∴BE2+BD2＝2CD2．
（2）结论：BE2+BD2＝2CD2． 理由：如图2中，连接DE．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD＝90°， ∴DE2＝BD2＝BE2， ∵DE＝
CD，
∴BE2+BD2＝2CD2．
（3）如图3中，连接DE．
∵AC＝BC＝∴AB＝
，∠ACB＝90°，
BC＝2，
∴AD＝BE＝1， ∴BD＝3，
由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2， ∴9+1＝2EC2， ∴EC＝
．
7．证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∴△ADE是等边三角形 ∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60° ∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD＝CE
（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，
∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60° ∴∠BDG＝30° ∵CG∥BP
∴∠G＝∠BDG＝30°， ∵△ADB≌△AEC
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30° ∴∠G＝∠GEC＝30° ∴GC＝CE，
∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC ∴△BFD≌△CFG（AAS） ∴BF＝FC ∴点F是BC中点 （3）如图，连接AF，
∵△ABC是等边三角形，BF＝FC ∴AF⊥BC ∴∠AFC＝90° ∴∠AFC＝∠AEC＝90°
∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上， ∴EF最大为直径， 即最大值为1
8．解：（1）结论：AE+CF＝AD． 理由：如图1中，作DH⊥BC于H．
∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∵∠A＝∠DHB＝90°，
∴∠ADH＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，
∵∠EDF＝135°， ∴∠ADH＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠HDF，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC， ∴DA＝DH，
∴△DAE≌△DHF（ASA）， ∴AE＝HF，
∵∠C＝∠HDC＝45°， ∴DH＝CH＝AD，
∴AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD．
（2）不成立应为 CF﹣AE＝AD．
理由如下：如图②中，作DG⊥BC于点G，
∵∠BAC＝90°， ∴DA⊥BA， ∵AC平分∠ABC， ∴DA＝DG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ADG＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°， ∵∠MDN＝135°，
∴∠ADE＝∠GDF＝135°﹣∠ADF， 又∵∠DAE＝∠DGF＝90°， ∴△DAE≌△DGF（ASA），
∴AE＝FG，
∵∠DCG＝45°，∠DGC＝90°， ∴∠DCG＝∠GDC＝45°， ∴GC＝DG＝AD， ∵FC﹣FG＝GC， ∴FC﹣AE＝AD．
（3）①如图③﹣1中，作DH⊥BC于H．
由（1）可知：DA＝DH＝CH，设DA＝DH＝HC＝a，则CD＝∴2a+
a＝2+
，
a，AB＝AC＝BH＝a+
a，
∴a＝1， ∴AD＝1， ∵∠CDF＝15°，
∴∠ADE＝180°﹣135°﹣15°＝30°， ∴AE＝
，
∵AE+CF＝AD， ∴CF＝1﹣
②如图③﹣2中，当∠CDF＝15°时，作DH⊥BC于H，
∵AD＝DH＝CH＝1，∠CFD＝30°， ∴FH＝
DH＝
， ﹣1
或
．
∴CF＝FH﹣CH＝
综上所述，满足条件的CF的值为
9．解：（1）如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2 即S△DEF+S△CEF＝S△ABC； 故答案为．
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD， ∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD， 如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S五边形DBFEC， ＝S△CFE+S△DBC， ＝S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 10．解：（1）如图1中，
∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°，
∵∠BCD＝90°，BF＝DF， ∴FE＝FB＝FD＝CF，
∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，
故答案为：EF＝CF，120°．
（2）结论成立．
理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．
∵BM＝MA，BF＝FD， ∴MF∥AD，MF＝AD， ∵AN＝ND，
∴MF＝AN，MF∥AN， ∴四边形MFNA是平行四边形， ∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，
在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°， ∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB， 在△AEN和△ACM中，
∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC， ∵∠MAC＝∠EAN， ∴∠AMC＝∠ANE， 又∵∠FMA＝∠ANF， ∴∠ENF＝∠FMC， 在△MFC和△NEF中，
，
∴△MFC≌△NEF（SAS）， ∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF， ∵NF∥AB， ∴∠NFD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°
∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．
（3）如图3中，作EH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3， ∴AB＝2BC＝6，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2， ∴DE＝AD＝1，
在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1， ∴EH＝ED•sin60°＝DH＝ED•cos60°＝， 在Rt△EHG中，EG＝11．解：【问题探究】
（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
＝
．
，
∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠ADC＝∠BEC＝45° ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90° ∴AD⊥BD 故答案为：AD⊥BD
②如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝∴DF＝CF＝1 ∴AF＝
∴AD＝AF+DF＝4 故答案为：4 【拓展延伸】
（2）若点D在BC右侧， 如图，过点C作CF⊥AD于点F，
＝3
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE
，BC＝
，CD＝
，CE＝1．
∴∠ADC＝∠BEC， ∵CD＝∴DE＝
，CE＝1
＝2
∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90° ∴△DCE∽△CFD， ∴即
＝
∴CF＝，DF＝∴AF＝
∴AD＝DF+AF＝3
若点D在BC左侧，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE ∴∠ADC＝∠BEC， ∴∠CED＝∠CDF ∵CD＝∴DE＝
，CE＝1
＝2
，BC＝
，CD＝
，CE＝1．
∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90° ∴△DCE∽△CFD，
∴即
＝
∴CF＝，DF＝∴AF＝
∴AD＝AF﹣DF＝2
12．解：（1）①如图1，连接OP，由轴对称的性质可知∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝50°；
故答案为：50°； ②如图2，
∵∠CPD＝98°， ∴∠1+∠2＝82°，
由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4， ∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4， ∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝41°，
∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝98°+41°＝139°，
由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝41°； ③∠AOB＝90°﹣∵∠CPD＝α°，
∴∠1+∠2＝180°﹣α°，
由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4， ∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4， ∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝90°﹣α°， ∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝90°﹣α°+α＝90°+由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝90°﹣
（2）△PEF周长最小值为8．
°；
°，
°．理由如下：
如图3，过点P分别作关于AB、AC的对称点G、H．连接GE，FH，则 PE＝GE，PF＝HF，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝GE+HF+EF，
∴当G，E，F，H在同一直线上时，△PEF的周长最小值等于GH的长． 此时，∵AB垂直平分GP， ∴AG＝AP，
∴△AGE≌△APE（SSS）， ∴∠GAE＝∠PAE， 同理可得∠HAF＝∠PAF，
∴∠GAH＝2∠BAC＝60°， 又∵AG＝AP＝AH， ∴△AGH是等边三角形， ∴GH＝AG＝AP＝8，
即△PEF的周长最小值等于8．
13．解：（1）∵点A（﹣2，0），点B坐标为（4，0）， ∴AB＝6
∵将AD沿x轴向右平移至BC的位置， ∴AD∥BC，AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴CD＝AB＝6，CD∥AB ∵OD＝AB． ∴OD＝3，且CD∥AB ∴点C（6，3） 故答案为：6，（6，3）； （2）∵MN∥y轴， ∴点N在CD上， ∴4﹣t＝t﹣3 ∴t＝
∴当t＝s时，MN∥y轴； （3）当点N在OD上时， ∵S△BCM＝2S△ADN．
∴×3×t＝2××2×（3﹣t） 解得：t＝
当点N在CD上时， ∵S△BCM＝2S△ADN．
∴×3×t＝2××3×（t﹣3） 解得：t＝6
综上所述：t＝6或时，S△BCM＝2S△ADN．
14．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC． 理由：如图1中，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC， ∴∠NAB＝∠MAC， ∵AB＝AC，AN＝AM， ∴△NAB≌△MAC（SAS）， ∴BN＝CM．
故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM． （2）如图2中，①中结论仍然成立．
理由：∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC， ∴∠NAB＝∠MAC， ∵AB＝AC，AN＝AM， ∴△NAB≌△MAC（SAS）， ∴BN＝CM．
（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥
B1C1于M．
∵∠C1A1B1＝∠PA1Q， ∴∠QA1B1＝∠PA1N， ∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN， ∴△QA1B1≌△PA1N（SAS）， ∴B1Q＝PN，
∴当PN的值最小时，QB1的值最小，
在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8， ∴A1M＝A1B1•sin60°＝4
，
∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°， ∴A1C1＝4
，
﹣8，
∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4
在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°， ∴NH＝4
﹣4
，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小， ∴QB1的最小值为4
﹣4
．
15．（1）证明：如图2中，
∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD， ∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL）， ∴BM＝DM．
（2）①证明：如图3中，
∵CA＝AE，∠CAE＝30°， ∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90° ∴∠ACB＝∠AED＝45°， ∴∠BCE＝∠CDE＝120°， ∴∠FCE＝∠FEC＝60°， ∴△EFC是等边三角形． ②解：∵AC∥EF， ∴∠CAE＝∠AED＝45°， ∴当α＝45°时，AC∥EF． 故答案为45°．
（3）①解：如图4中，连接EC．
∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC， ∴△AEC是等边三角形， ∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°， ∴AE＝∴EC＝AE＝2故答案为2
．
＝．
＝2
，
②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．
∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD， ∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）， ∴BF＝DF， ∵DF＝EF＝1， ∴BF＝DF＝1， ∵BC＝2， ∴BF＝CF＝1，
∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE， ∴△BFD≌△CFE（SAS）， ∴EC＝BD．
∵AB＝AD，FB＝FD， ∴AF垂直平分线段BD， ∴OB＝OD，
在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1， ∴AF＝
＝
＝
，
∵S△ABF＝•AB•BF＝•OB•AF， ∴OB＝∴BD＝2OB＝∴EC＝BD＝故答案为
． ＝
， ．
，
16．解：（1）∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE＝AD＝2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α＝90°时，AE1＝2，∠E1AE＝90°， ∴BD1＝E1C＝故答案为：2
，2
＝＝；
＝2＝2
， ；
（2）证明：当α＝135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到， ∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，
在△D1AB和△E1AC中，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS）， ∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA， 记直线BD1与AC交于点F， ∴∠BFA＝∠CFP， ∴∠CPF＝∠FAB＝90°， ∴BD1⊥CE1； （3）解：如图2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝4， ∴BC＝
AB＝4
，
∵∠CPB＝∠CAB＝90°，BC的中点为M， ∴PM＝BC＝
故答案为：2
4
＝2
17．解：（1）结论：AE＝CD． 理由：如图1中，
在△AEB和△CDB中，
，
∴△AEB≌△CDB（SAS） ∴AE＝CD．
（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD， 理由：如图2中，设AB交CD于O．
∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△AEB和△CDB中，
，
∴△AEB≌△CDB（SAS）， ∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，
∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB， ∴∠FOA+∠FAO＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∴AE⊥CD．
（3）线段AE、CD所在直线的夹角大小不变，∠AFC＝α． 理由：如图3中，设AB交CD于O．
∵∠DBE＝∠ABC＝α， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△AEB和△CDB中，
，
∴△AEB≌△CDB（SAS）， ∴∠EAB＝∠DCB， ∵∠AOF＝∠COB， ∴∠AFO＝∠ABC＝α． 18．解：（1）①∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠A+∠ADE＝90°， ∴∠A＝∠BDF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）；
②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2 即S△DEF+S△CEF＝S△ABC； 故答案为．
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD， ∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF， 在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
，
∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD， 如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S五边形DBFEC， ＝S△CFE+S△DBC， ＝S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
19．证明：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，
∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°， ∴∠MON＝∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°， ∴△AOM≌△CON（ASA） ∴AM＝CN；
（2）BM＝AN+MN，
理由如下：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，
∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°， ∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO， ∴△BGO≌△AON（SAS） ∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON， ∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON， ∴∠AOM+∠BOG＝45°，且∠AOB＝90°， ∴∠MOG＝∠MON＝45°，且MO＝MO，GO＝NO， ∴△GMO≌△NMO（SAS） ∴GM＝MN，
∴BM＝BG+GM＝AN+MN； （3）MN＝AN+BM，
理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，
∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°， ∴∠GBO＝∠NAO＝135°， ∵MO⊥GO，
∴∠NOG＝90°＝∠AOB，
∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO， ∴△NAO≌△GBO（ASA） ∴AN＝GB，GO＝ON，
∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO， ∴△MON≌△MOG（SAS） ∴MN＝MG， ∵MG＝MB+BG， ∴MN＝AN+BM． 20．（1）证明：如图1中，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝60°，∠BCA＝60°，BE＝AF，EC＝CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝EC，∠CEF＝60°， 又∵ED＝EC， ∴ED＝EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠BCA＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠CAF＝∠CBA＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°，∠DBE＝120°，∠EAF＝∠DBE， ∵∠CAF＝∠CEF＝60°， ∴A、E、C、F四点共圆， ∴∠AEF＝∠ACF， 又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE，∠BCE＝∠ACF， ∴∠D＝∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴DB＝AE，BE＝AF， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝DB+AF．
（2）解：结论：AB＝BD﹣AF； 理由：延长EF、CA交于点G，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝EC， 又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，
∵∠EFC＝∠FGC+∠FCG，∠BAC＝∠FGC+∠FEA， ∴∠FCG＝∠FEA，
又∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD， ∴∠D＝∠FEA， 由旋转的性质，可得 ∠CBE＝∠CAF＝120°， ∴∠DBE＝∠FAE＝60°， 在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴BD＝AE，EB＝AF， ∴BD＝FA+AB， 即AB＝BD﹣AF． （3）如图3中，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，BC＝AC， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝EC， 又∵ED＝EC， ∴ED＝EF，
∵AB＝AC，BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 又∵∠CBE＝∠CAF， ∴∠CAF＝60°，
∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC ＝180°﹣60°﹣60° ＝60°
∴∠DBE＝∠EAF； ∵ED＝EC， ∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC， 又∵∠EDC＝∠EBC+∠BED，
∴∠BDE＝∠EBC+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC， ∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC， ∴∠BDE＝∠AEF， 在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴BD＝AE，EB＝AF， ∵BE＝AB+AE， ∴AF＝AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是： AF＝AB+BD
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容