2018北京市清华附中高二(上)期末数学

数 学

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. 抛物线y24x的焦点坐标为

（A）（1,0）

（B）（1,0）

（C）（0,1）

（D）（0,1）

ex2. 已知f(x),则f'(x)

x（A）ex1

x（B）ex1

x（C）

exx1x2 （D）

exx1x2

3. 双曲线

x2y21的渐近线方程为 41（A）yx

2（B）y23x 2（C）y2x （D）y5x 24. 若过原点的直线l与圆x2y44切于第二象限,则直线l的方程是

（A）y3x （B）y3x （C）y2x （D）y2x

x2y25. 椭圆1的两个焦点为F1,F2,点P是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则!PF1F2的周长为

43（A）8 （B）6 （C）4 （D）3

6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体

最大的侧面的面积为 （A）1 （C）3 （B）2 （D）2

7. 如果函数yx33x2ax存在极值,则实数a的取值范围是

（A）（3,）

（B）[3,）

（C）（,3）

（D）（,3]

8. 如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E、F 是棱BC、CC1的中点,

P是底面ABCD上（含边界）一动点,满足A1PEF,则线段A1P长度的取值范围是

1 / 8

（A）[1,5] 2（B）[53,] 22

（C）[1,3] （D）[2,3] 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知f(x)x1,则f'(1)______. 2x3x2y210. 已知双曲线221的渐近线方程为yx,则它的离心率为______.

ab411. 已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则该圆锥的体积等于______. 12. 若函数f(x)x2aInx在x1处取极值,则a______.

13. 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,直线ykx2与函数f(x)的图

象相切,如图所示,则函数g(x)xf(x)的图象在点（3,g(3)）处 的切线方程为______.

14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出20种商品,第二天售出14种商品,第三天售出18种商

品;前两天都售出的商品有5种, 后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有______种. 三、解答题:

15. 已知｛an｝是等比数列, a13,a424.数列｛bn｝满足b11,b48,且｛anbn｝是等差数列. （Ⅰ）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式; （Ⅱ）求数列｛bn｝的前n项和. 16. 已知函数f(x)sin（x3）, xR

34（Ⅰ）如果点P（,）是角终边上一点,求f()的值;

55（Ⅱ）设g(x)f(x)sinx,求g(x)的单调增区间. 117. 已知函数f(x)x3ax2x为奇函数.

3 2 / 8

（Ⅰ）求a的值;

（Ⅱ）求函数f(x)在[2,2]的最小值; （III）若函数f(x)在区间[t,t1]上单调递减,求实数t的取值范围. 218. 如图,在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形, ADBD且ADBD,ACABCD.

BDO,PO平面

（Ⅰ）E为棱PC的中点,求证: OE//平面PAB; （Ⅱ）求证: 平面PAD平面PBD;

（III）若PDPB,AD2,求四棱锥PABCD的体积.

x2y2119. 已知椭圆C:221（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0）,离心率为.

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点, P是直线x4上任意一点.求证:直线PM,PF,PN的斜率成

等差数列.

20. 已知函数f(x)exsinxax,

（Ⅰ）若a1,求曲线yf(x)在（0,f(0)）处的切线方程; （Ⅱ）若f(x)在[0,4]上单调递增,求实数a的取值范围;

3],均有f(x)0. 4（III）当a1时,求证:对于任意的x[0,

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数学试题答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.1

10.

5 411.37 13.y3 三、解答题:

12.2 14.15;29

15. 解: （Ⅰ）因为｛an｝是等比数列, a13,a424, 所以公比q2,通项公式为an32n1（nN*）. 因为｛anbn｝是等差数列, a1b14,a4b416,

所以公差d4,通项公式为anbn4n（nN*）. 故bn4nan4n32n1（nN*）. （Ⅱ）设数列｛bn｝的前n项和为Sn,则 Snb1b2bn

4132114232214124n32n1

n3（2112212n1）

4nn123（2n1）

2n22n332n（nN*）

3416. 解:（Ⅰ）因为点P（,）是角终边上一点,

55 4 / 8

所以sin43,cos,则 55f()sin（3）

sincos3cossin3

4133 5252433 10（Ⅱ）g(x)f(x)sinx

sinxcos3cosxsin3sinx

33sinxcosx 223sin（x

6

）

令x6[22k,22k]（kZ）,

得x[22k,2k]（kZ）. 3322k,2k]（kZ）. 33 故g(x)的单调增区间为[17. 解:（Ⅰ）因为函数f(x)为奇函数,

11 所以f(x)x3ax2xf(x)x3ax2x

33 解得a0

1（Ⅱ）因为f(x)x3x,所以f'(x)x21.

3 令f'(x)0,得x1.

则在[2,2]上,随着x的变化，f'(x)的变化情况如下表：

x （2,1） ＞0 1 =0 （1,1） ＜0 1 =0 （1,2） ＞0 f'(x) 5 / 8

f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 22 因为f(2),f(1).

332 所以函数f(x)在[2,2]的最小值为.

3（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,f(x)在[1,1]上单调递减, 故[t,t11][1,1],解得t[1,]. 2218. 解:（Ⅰ）证明:因为点E为棱PC的中点,点O为AC的中点, 所以OE//PA,又因为PA平面PAB, 所以OE//平面PAB.

（Ⅱ）证明:因为PO平面ABCD,又AD平面ABCD

所以POAD,又因为ADBD,

所以AD平面PBD,又因为AD平面PAD. 所以平面PAD平面PBD.

（Ⅲ）因为ADBD2,又ADBD, 所以四边形ABCD的面积为4 因为PDPB,点O为BD的中点, 所以PO1BD1. 214所以四棱锥PABCD的体积为:41.

3319. 解:（Ⅰ）因为c1,ec1,所以a2,则b3. a2x2y21. 故椭圆C的方程为:43（Ⅱ）证明:因为直线MN方程为:yx1,联立椭圆C的方程解得

M（462623462362,,）,N（）. 7777 6 / 8

设P（4,y0）,则kPM6237y62370,

462246247y0kPN6237y623y70,kPF0

4622462347y0有kPMkPN7y062324627y062324622y02kPF 3所以直线PM,PF,PN的斜率成等差数列.

20. 解:（Ⅰ）因为函数f(x)exsinxx,则f'(x)exsinxexcosx1.

又因为f(0)0,f'(0)0.

所以曲线yf(x)在（0,f(0)）处的切线方程为:y0.

（Ⅱ）因为f(x)exsinxax,所以f'(x)2exsin（x4）a.

函数f(x)在[0,4]上单调递增f'(x)在[0,4]上恒有f'(x)0.

即2exsin（x4）a恒成立.令g(x)2exsin（x4）,则

g(x)mina.又因为g(x)在[0,所以a1.

4]上单调递增,所以g(x)ming(0)1,

（Ⅲ）证明: 因为f(x)exsinxax,所以f'(x)2exsin（x令g(x)2exsin（x4）a.

4）,则g'(x)2excosx.

①当x[0,2]时,g'(x)0,g(x)递增,有g(x)g(x)ming(0)1,

因为a1,此时,f'(x)g(x)a0,f(x)递增,

有f(x)f(x)minf(0)0成立. ②当x（

324,]时,g'(x)0,g(x)递减,有g(x)g(x)ming( 7 / 8

3)0, 4若a0,此时f'(x)g(x)a0,f(x)递增, f(x)0显然成立. 若a（0,1],此时记f'(x0)0,则f(x)在（

2,x0]上递增,

在（x0,3]上递减.此时有f()f(0)0,

24323432343f()eae, 42424构造t(x)2x2xex,则t'(x)e1, 22令t'(x)0,求得xIn2.故t(x)在（,In2]上递减,

23432In在（In2,）上递增,所以ee2422In21In2＞0

所以f(3)＞0,此时满足f(x)0 43],均有f(x)0. 4综上所述,当a1时,对于任意的x[0,

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