题型七类型一几何综合探究题非动态类问题1.(2019长春)教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O、E为边BC的中点，AE、BD交于点F.(1)如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为________；1(2)如图③，连接DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为________．2第1题图-1-2.(2019安顺)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为________；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．图①第2题图图②-2-3.(2019绥化)如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N.(1)求证：MN＝MC；(2)若DM∶DB＝2∶5，求证：AN＝4BN；(3)如图②，连接NC交BD于点G.若BG∶MG＝3∶5，求NG·CG的值．图①第3题图图②-3-4.(2019云南黑白卷)【探索发现】(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰Rt△ABF和等腰Rt△ADE，连接BD.直接写出线段BD、DE、BF之间的数量关系：________________；【理解应用】(2)如图②，当四边形ABCD为矩形时，以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰Rt△ABF和等腰Rt△ADE，连接EF、BD.判断线段EF与BD之间的数量关系，并说明理由；【拓展迁移】(3)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等EF腰△ABF和等腰△ADE，且∠AED＝∠AFB，连接EF、BD，交点为点G，若AD＝2，＝3，求AE的长．BD第4题图-4-5.(2018省卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF＝AD＋FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l.(1)若△ABE的面积为30，直接写出S的值；(2)求证：AE平分∠DAF；(3)若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值．第5题图-5-6.(2019云南逆袭黑马卷)如图，在▱ABCD中，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH，由A、F、G三点确定的圆的面积为S.(1)若∠ACB＝30°，BC＝10，AB＝29，直接写出BF的值；(2)在(1)的条件下，求S的值；(3)若∠ACB＝45°，求证：△BEH是等腰三角形．第6题图-6-类型二与动点有关的问题1.(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．(1)求证：CE＝EF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求△BEF面积的最大值．第1题图2.如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE，点P，N分别是BE，BC上的动点．(1)求点D到线段BE的最短距离；(2)若当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；(3)点Q在BE上，若BQ＝1，求QN＋NP＋PD的长度最小值．第2题图-7-3.(2018广州)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC.(1)求∠A＋∠C的度数；(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2＋CE2，求点E运动路径的长度．第3题图4.(2019昆明盘龙区一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝20cm，AD＝30cm，∠ABC＝60°，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当点P停止运动，点Q也随之停止运动，过点P做PM⊥AD交AD于点M，连接PQ、QM，设运动的时间为ts(0≤t≤6)．(1)当PQ⊥PM时，求t的值；3(2)是否存在某一时刻t，使得△PQM的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出相应t的值；8若不存在，请说明理由；(3)过点M作MN∥AB交BC于点N，是否存在某一时刻t，使得P在线段MN的垂直平分线上？荐存在，求出相应t的值；荐不存在，请说明理由．第4题图-8-类型三与折叠有关的问题1.(2019云南黑白卷)【探索发现】如图①，将△ABC沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将△BED和△DHC分别沿EF，HG折叠，使点B、C均落在点D处，折痕形成一个四边形EFGH.小刚在探索这个问题时发现四边形EFGH是矩形．小刚是这样想的：(1)请参考小刚的思路写出证明过程；(2)连接AD，当AD＝BC时，写出线段EF、BF、CG的数量关系并证明；【理解运用】(3)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，DC＝10，AD