哈尔滨市第六中学2018—2019学年度上学期期末考试
高一数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上。）
1.已知集合A.
B.
， C.
，则 D.
（ ）
【答案】A 【解析】 【分析】
分别求出和中的不等式的解集，然后取交集即可。 【详解】由题意，则故选A.
【点睛】本题考查了集合的简单运算，属于基础题。
2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
设圆的半径为，可知其内接正方形的边长，然后利用弧长公式可以求得圆心角的弧度数。 【详解】设圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为度数故选C.
【点睛】本题是一道关于求圆心角的弧度数的题目，弧长公式3.已知幂函数A.
的图象过点
，则
的值为（ ）
(是圆心角的弧度数)是解答本题的关键。
.
，即这段圆弧长为
，则该圆弧所对的圆心角的弧
，
，
B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
利用幂函数图象过点
可以求出函数解析式，然后求出
，则
，解得
，
即可。
【详解】设幂函数的表达式为
所以，则.
故答案为B.
【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。 4.若
，则所在象限是（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】
先由题中不等式得出在第二象限，然后求出的范围，即可判断其所在象限。 【详解】因为所以即故
，
，故在第二象限，
， ，
，
当为偶数时，在第一象限， 当为奇数时，在第三象限， 即所在象限是第一、三象限。 故选A.
【点睛】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题。 5.在A. C. 【答案】D
中，下列关系恒成立的是（ ）
B. D.
【解析】 【分析】
利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案。 【详解】由题意知，在三角形ABC中，对A选项，对B选项，对C选项，对D选项，
，
，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确。故选D.
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题。 6.已知
表示不超过实数的最大整数，是方程
的根，则
（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数
【详解】由题意可知是易知函数而即所以结合
， 的性质，可知
.
是（0，
的零点的范围，进而判断的范围，即可求出
的零点，
.
）上的单调递增函数，
，
，
故选B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。 7.函数
的图象的相邻两支截直线
所得的线段长为，则
的值是（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由正切函数的性质，可以得到函数
的周期，进而可以求出
解析式，然后求出
即可。
【详解】由题意知函数故选D.
的周期为，则，所以，则.
【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题。 8.已知函数A. C.
，若
B. D.
，
，
，则，，的大小关系为
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数解析式先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据指数和对数的运算法则进行化简即可．
3
【详解】∵f（x）=x，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，
a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310）， 则2＜log39.1＜log310，2＜2，
0.9
即2＜log39.1＜log310，
0.9
则f（2）＜f（log39.1）＜f（log310），
0.9
即c＜b＜a， 故选：C．
【点睛】本题主要考查函数值的大小的比较，根据函数解析式判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键． 9.已知函数A.
的定义域为
，若
是奇函数，则
（ ）
B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】 由
为奇函数，可得
，求得是奇函数，
，且，可得则可得
，
，
，代入计算可得所求值．
【详解】可得
时，
，
则故选：D．
，
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于基础题． 10.若
在
是减函数，则的最大值是
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为所以由因此点睛：函数(1)
. (2)周期
得，
，从而的最大值为，选A.
的性质： (3)由
求对称轴， (4)由
求增区间;
由
11.已知函数
求减区间. 的图象关于直线
对称，且
，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由辅助角公式可得
，可取
从而可得结果. 【详解】
，
，
函数
关于直线
对称，
．从而可得
，由此结合
，由函数，可得
关于直线
对称，可得
一个最大值一个最小值，
，
即故即可得：
，
故可令
，，，
故选D．
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题. 由函数称中心横坐标. 12.已知
是奇函数，且满足
，当
时，
，则
在
内是（ ）
可求得函数的周期为；由
可得对称轴方程；由
可得对
，
，即
，
，其中，
，
，，
，故可取，
．
A. 单调增函数，且C. 单调增函数，且【答案】A 【解析】 【分析】
B. 单调减函数，且 D. 单调减函数，且
先根据f（x+1）=f（x﹣1）求出函数的周期，然后根据函数在x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x∈（﹣1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求． 【详解】∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数 ∵当x∈（0，1）时，
＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，
∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增 根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0 故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。请把答案填在答题卡上指定位置处。）
13.在【答案】 【解析】 【分析】
中，，则_____________
先由正弦定理得到【详解】由故设
，
，(
，再由余弦定理求得，结合正弦定理可得)，由余弦定理可得
的值。
，
，
故.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。 14.【答案】 【解析】 【分析】
利用指数与对数的运算性质，进行计算即可。 【详解】
【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意15.将函数
的图象，则函数【答案】【解析】 【分析】 利用函数【详解】函数
的图象变换规律，即可得到
的解析式。
，再将
.
，属于基础题。
_____________
的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的解析式为____________
的图象向右平移个单位，可得到
.
图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到故
.
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题。
16.函数【答案】 【解析】 【分析】 利用二倍角公式将求最值即可。 【详解】因为所以当
时，
化为
的最大值为____________
，利用三角函数诱导公式将化为，然后利用二次函数的性质
，
取到最大值.
【点睛】本题考查了三角函数化简与求最值问题，属于中档题。
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.在
中，角
所对的边分别为
，满足
.
（1）求角的大小； （2）若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理可以得到出
，即可求出角的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求
，且
（2）
，求
的面积．
，代入三角形面积公式即可。
，结合正弦定理可得，即
. ，且，则
，代入余弦定理的面积
.
，
，
，
【详解】（1）由于由于因为（2）由即
，可得，故，，解得
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题。 18.某同学用“五点法”画函数数据，如下表：
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分
（1）请将上表数据补充完整；函数（2）根据表格中的数据作出（3）求函数
在区间
的解析式为 （直接写出结果即可）；
一个周期的图象；
上的最大值和最小值．
【答案】（1）见解析；（2）详见解析；（3）当【解析】 【分析】
时，；当时，
（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出正弦函数单调性，可以求出函数
的最值。
， ，
，数据补全如下表：
的解析式，利用函数
一个周期的图象；（3）结合
【详解】（1）根据表中已知数据，解得
函数表达式为.
一个周期的图象见下图：
（2）根据表格中的数据作出
（3）令则
因为正弦函数所以故由于故当
，，在区间
，则，可转化为
，
，
，
上单调递增， 上单调递增， ，
上单调递减，在区间（上单调递减，在区间（
，最大值为时，
， 时，
.
，在区间的最小值为时，时，
；
；当
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。 19.已知函数（1）求函数（2）求函数（3）若
的最小正周期； 的对称轴和对称中心； ，
，求
，
的值．
；（3）
．
【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】
（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数
展开求值即可。
的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出
和
，然后将
【详解】（1）所以函数（2）由于令故函数令故函数
，的对称轴为，
，得，得
的最小正周期
，
， . ，
.
,
.
.
的对称中心为
，所以
（3）因为即因为则所以
，
，所以
， ，
. ，
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题。 20.已知函数（1）求函数（2）当（3）将函数小值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由余弦函数的单调性，解不等式结合
在
，
，即可求出；（2）利用函数
的解析式，然后利用
的性质，图象关于
；（2）
；（3）
，
的单调递增区间； 时，方程
恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； 的图象向右平移
个单位后所得函数
的图象关于原点中心对称，求的最
．
时的单调性与最值，可得实数的取值范围；（3）先求出是奇函数，可求出的最小值。
原点中心对称，
【详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式得（2）函数所以函数则所以当即当（3）函数得到则即则因为
，所以当
，
时，
.
在，
，
时，函数时,方程
，所以函数
的单调递增区间为
，， ；
的单调递增区间为上单调递增，在
， 与函数
的图象有两个公共点，
上单调递减，
，单调递减区间为，
恰有两个不同的实数根时。 的图象向右平移,则， ，
是奇函数，
个单位,
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题。 21.已知函数
（1）求的值并求函数（2）若关于的方程（3）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）函数图象过
，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数
上的值域，即可求出的取值范围；（3）利用偶函数的性质图象过点
，所以
，解得
.
的值域；（2）构造函数
，即可求出。
的图象过点
的值域；
有实根，求实数的取值范围；
为偶函数，求实数的值．
（2）
（3）
．
，求出它在
【详解】（1）因为函数则因为
， ，所以
，
所以函数（2）方程构造函数
的值域为. 有实根，即
，
，
有实根，
则因为函数所以复合函数所以所以当（3）则满足即则则即故所以
. ，则
恒成立， 恒成立， 恒成立，
，
恒成立，
在
上，最小值为
时，方程在R上单调递减，而
， 在（0，
）上单调递增，
是R上单调递减函数。
，最大值为有实根。
，是R上的偶函数，
，即
，
恒成立，
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题。 22.已知函数（1）当（2）求不等式（3）若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出的取值范围。
．
时，求该函数的值域；
的解集； 对于（2）
恒成立，求的取值范围． 或
（3）
【详解】（1）令函数
转化为
，
，，在
，则
，
，
则二次函数所以当故当（2）由题得则解得当当
或时，即时，即
， ，即
上单调递减，在，当
上单调递增，
时，取到最小值为时，函数
时，取到最大值为5， . ，令
，
的值域为
,
，解得
，解得
的解集为
，
， 或对于
.
上恒成立，
故不等式（3）由于令即所以因为函数所以函数故
时，，
，则在在在
上恒成立， 上恒成立，
上单调递增，在
也在上单调递增，
上单调递增，它的最大值为， 对于
恒成立。
【点睛】解决不等式恒成立问题，若不等式中的参数能够从其它变量中完全分离出来，且分离后不等式另一边的表达式的最值能够求出来，常用分离参数法。
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