北京市高二数学下学期期中试题 理-人教版高二全册数学试题

试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟

卷（I）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数

2= 1i22+i 22C. 1-i

D. 1+i

A. 2+2i B. 2. 下列求导正确的是

A. （3x-2）'=3x

2

B. （log2x） '=

1

xln2C. （cosx） '=sinx

x

D. （

1）'=x lnx3. 曲线y=x·e在x=1处切线的斜率等于 A. 2e 4.

B. e

C. 2

D. 1

421dx等于 xA. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为 A. （0，

111） B. （e，+∞） C. （，+∞） D. （，e] eee2i（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 1iC. 第二象限 D. 第一象限

6. 在复平面内，复数

A. 第四象限 B. 第三象限 7. 函数f（x）=A. 3

6x在区间[0，3]的最大值为 21x

B. 4

2

3

C. 2

n

D. 5

8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）+（1+x）+…+（1+x），则f '0）= A. n

3

2

B. n-1 C.

n(n1)1 D. n（n+1） 229. 函数f（x）=x+ax+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值X围是 A. （-1，2）

B. （-3，6）

C. （-∞，-3）∪（6，+∞） 10. 方程x=xsinx+cosx的实数解个数是

2

D. （-∞，-1）∪（2，+∞）

1 / 8

word

A. 3

B. 0 C. 2 D. 1

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i）·i的模为__________.

12. 由曲线y=x,y=x围成的封闭图形的面积为__________.

13. 若曲线y=x+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f（x）=x-x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.

2

32

3

15. 已知Sn=

11113++…+，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式Sn>的过程中，从n=kn1n22n24到n=k+l（k∈N*）时，不等式的左边Sk+1=Sk+__________.

16. 对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得

3

2

f(x1)(x2)=M，则称

函数f（x）在D上的几何平均数为M. 那么函数f（x）=x-x+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x-x

三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f（x）=lnx-x+x. （I）求f（x）的单调区间； （II）求f（x）在区间[

2

2

1，e]上的最大值. 22axa2118. 已知函数f（x）=，其中a∈R. 2x1（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程； （II）求f（x）的极值.

卷（II）

一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

2 / 8

word 1. 若f（x）=-

12

x+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b的取值X围是 2A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（

1132

）'=-2，（x）'=3x，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义xx域上满足f（-x）=-f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=

A. -f（x） B. f（x）

C. g（x） D. -g（x）

3. 若i为虚数单位，设复数z满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

4. 曲线y=x在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.

5. 设函数y=-x+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为__________. 6. 对于函数①f（x）=4x+断如下两个命题的真假：

命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；

命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.

三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f（x）=x+ax+bx+a.

（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；

（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值X围 8. 已知函数f（x）=x-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.

（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，某某数a的值； （II）设函数F（x）=-x[g（x）+值点，求m的值；

（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，某某数a的取值X围.

参考答案 卷（I）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

3 / 8

33

2

2

2n

B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2

11x

-5，②f（x）=|log2 x|-（），③f（x）=cos（x+2）-cosx，判x21x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极2word 题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 D

5 C

6 D

7 A

8 D

9 C

10 C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 14

5

1

12 15

1 1211 2k12k213 16

（1，0）或（-1，-4）

5

三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）

解：（I）因为f（x）=lnx-x+x其中x>0 所以f '（x）=

2

1(x1)(2x1)-2x+1= xx所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II）由（I）f（x）在[

1，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， 2∴f（x）max=f（1）=0 f（x）max=f（1）=a-1 18. （本小题满分12分） （I）解：当a=1时，f（x）=

(x1)(x1)2x，f '（x）=-2…………2分 222(x1)x1由f '（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分 （II）解：f '（x）=-2

(xa)(ax1). ……………6分 2x12x. 2x1①当a=0时，f '（x）=

所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分

1(xa)(x)a. 当a≠0，f '（x）=-2a

x21②当a>0时，令f '（x）=0，得x1=-a，x2=x f '（x） f（x）

（-∞，x1） - ↘

x1 0 f（x1）

1，f（x）与f '（x）的情况如下: ax2 0 f（x2）

（x2,+∞） - ↘

（x1,x2） + ↗

4 / 8

word 故f（x）的单调减区间是（-∞，-a）,（

11,+∞）；单调增区间是（-a，）. aa12

）=a ………10分 ax1 0 f（x1）

（x1,+∞） + ↗

f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（

③当a<0时，f（x）与f '（x）的情况如下： x f '（x） f（x）

（-∞，x2） + ↗

x2 0 f（x2）

（x2,x1） - ↘

所以f（x）的单调增区间是（-∞，

11）；单调减区间是（-，-a），（-a,+ ∞）. aa12

）=a ………………12分 af（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（

综上，a>0时，f（x）在（-∞，-a），（

11，+∞）单调递减；在（-a,）单调递增.a=0时，faa（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（

1112

）=a；a<0时，f（x）在（-∞,），（-a,+∞）单调递增；在（，-a）单调递减，f（x）有aaa12

）=a. a卷（II）

极小值f（-a）=-1，有极大值f（

一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 答案

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 答案

4 3

5

6 ①②

1 C

2 C

3 C

43 9

三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）

解：（I）f '（x）=3x+2ax+b，由题设有f '（1）=0，f（1）=10

2

32ab0a3a4即解得或 2b3b111aba105 / 8

word 经验证，若a322

则f '（x）=3x-6x+3=3（x-1）

b3当x>1或x<1时，均有f '（x）>0，可知

a3此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去

b3a4a4符合题意，故. b11b11（II）当a=-1时，f（x）=x-x+bx+l 若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即 x-x+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立

3

2

3

2

x3x21即b<在x∈[1，2]恒成立

xx3x21令g（x）=，则

x(3x22x)x(x3x21)2x3x21g '（x）==

x2x2（法一：由g '（x）=0解得x=1…）

（法二）由-2x+x+1=1-x+x（1-x） 可知x∈[1，2]时g '（x）<0

3

2

3

2

x3x21即g（x）=在x∈[1，2]单调递减

x（g（x））max=g（2）=-

5 2∴b<-

5时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立 22

8. （本小题满分12分）

解：（I）易得，f '（x）=3x-3a，所以f '（1）=3-3a， 依题意，（3-3a）（-

11）=-1，解得a=; ………3分 231112

x-2]=-x[（1-lnx）+x-2]=xlnx-x+x, 222（II）因为F（x）=-x[g（x）+

则F'（x）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t（x）=lnx-x+2， 则t '（x）=

11x-1=. xx令t '（x）=0，得x=1.

则由t '（x）>0，得06 / 8

word 由t '（x）<0，得x>1，F '（x）为减函数； 而F '（

111）=-2-+2=-<0，F '（1）=1>0. e2e2e2则F '（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1， 且在（0，x1）上F '（x）<0，F（x）为减函数； 在（x1，1）上F '（x）>0，F（x）为增函数. 所以x1为极值点，此时m=0.

又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2， 且在（3，x2）上F '（x）>0，F（x）为增函数； 在（x2，4）上F '（x）<0，F（x）为减函数. 所以x2为极值点，此时m=3.

综上m=0或m=3. …………………9分

（III）（1）当x∈（0，e）时，g（x）>0，依题意，h（x）≥g（x）>0，不满足条件； （2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e-3ae+e，

3

e21①若f（e）=e-3ae+e≤0，即a≥，则e是h（x）的一个零点；

33

e21②若f（e）=e-3ae+e>0，即a<，则e不是h（x）的零点；

33

（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）<0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e,+∞）上零点的情况.

因为f '（x）=3x-3a>3e-3a，所以

①当a≤e时，f '（x）>0，f（x）在（e，+∞）上单调递增. 又f（e）=e-3ae+e，所以

32

2

2

e21（i）当a≤时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；

3e212

（ii）当3又f（2e）=8e-6ae+e≥8e-6e+e>0，

所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；

2

②当a>e时，令f '（x）=0，得x=±a.

3

3

3

由f '（x）<0，得e0，得x>a；

所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增.

7 / 8

word 因为f（e）=e-3ae+e8a-6a+e=2a+e>0， 所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；

3

2

2

2

2

333

e21综上，a>. …………12分

3

8 / 8