高等数学(下)试卷及答案

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)

1、曲面zxy22是

（A）zox平面上曲线zx绕z轴旋转而成的旋转曲面 （B）zoy平面上曲线zy绕z轴旋转而成的旋转曲面 （C）zox平面上曲线zx绕x轴旋转而成的旋转曲面 （D）zoy平面上曲线zy绕y轴旋转而成的旋转曲面 11ysinxcos2、函数f(x,y)yx0xy0xy0，则极限limf(x,y)= 。

x0y0(A)不存在

(C)等于零 x(B)等于1 (D)等于2

则

2



3、设uarcsinuxxyxxyyxy22222(A) (B)

yxy22

(C) (D)

xxy22

4、用格林公式计算得

，其中C为圆周x2+y2=R2,其方向为逆时针方向。则

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、已知级数un的前n项部分和snn13nn1n1 ,2

则此级数的通项un 。

1

2、设幂级数anxn的收敛半径是4，则

n0幂级数anx2n1的收敛半径是 。

n03、已知向量a与c4,7,4方向相反，且a27，则a= ______ 。

3222,,)处的切平面6462

2

4、曲面sin(x2y)cos(y3z)sin(z2x)方程是______。

在点(5、柱面∑以xoy平面上的线段L为准线，母线平行于oz轴，则∑介于平面z=0及曲面z=1+x+y

之间的部分的面积可用曲线积分表示为_________. 三、解答下列各题

(本大题共5小题，总计31分) 1、(本小题2分)

设zarccos(xy)，求zx。

2、(本小题6分)

设nxcosLnxL,n0,1,2,, 其中L为正常数。求积分

xxdx,0mnm,n0,1,2,。

3、(本小题7分)

设c={－asinx,acosy,bz},u=|c|2,计算div(c×gradu). 4、(本小题7分)

求微分方程满足初始条件的解：

y2y6y0 y(0)1,y(0)1

2

5、(本小题9分)

求微分方程y

四、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

设空间闭区域Ω由曲面z=a2－x2－y2平面z=0所围成，∑为Ω的表面外侧，V是Ω 的体积，a为正数。试证明：

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计11分) 1、(本小题4分)

利用二重积分计算由直线y=x,y=5x及x=1所围成区域的面积。

2、(本小题7分)

利用二重积分求不等式r≤a(1+cosθ),r≤a所表达的区域的面积。

六、解答下列各题 ( 本 大 题16分 ) 计算

xdv,其中Ω是第一卦限中由曲面y=z;z=0;y=sinx所围介于0≤x≤π部分的区域。

2y2(x2y4xy3)y0的通解。

3

2004级高等数学（下）试卷解答（B卷2005.7）

试卷号：B020001(答案)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)

1、B 2、C

3、C

4、C

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)

1、 u3nnn1

2、

2

3、34,7,4

4、x(22)y32z(2234)

5、答

三、解答下列各题

(本大题共5小题，总计31分) 1、(本小题2分)

zxy （2分）

1(xy)22、(本小题6分)

作变量替换

xLt, 则 Lnx00xnxdxL0cosLdx

Ln0 0cosntdtL,0,n0 当m0,n0且mn时,

Lmxnxmxnxdx0LcosLcosLdx00 当mn0时,

LmxnxdxLcos2mx00Ldx

4

(2分)

(4分)

 LL2

0cosmtdt (6分)

23、(本小题7分)

u=c·c=a2sin2x+a2cos2y+b2z2. 2分 gradu={a2sin2x,－a2sin2y,2b2z} 4分

={2ab2zcosy+a2bzsin2y,a2bzsin2x+

+2ab2zsinx,a3sinxsin2y－a3

sin2xcosy} div(c×gradu)=0. 4、(本小题7分)

特征方程为

2260

特征根为

115i,215i

通解为：

yex(C1cos5xC2sin5x) 由初始条件得

C11,C22 5原问题的解为：

yex(cos5x2 5sin5x)5、(本小题9分)

原方程化为

(y2y2)dx(x2y4xy3)dy02

y(yy2)4xx(x2yy3)14y3故为全微分方程 令

u(x,y)(x,y)(0,1)(y2y2)dx(x2y4xy3)dy

5

2分）

4分）

5分）

7分）

（4分）

6分 7分 （（（（ xyy22xy21 （8分）

故通解为

xyy22xy2C （9分）

四、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 由高斯公式

第一行2分 第二行2分 第三行2分 五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计11分) 1、(本小题4分)

第一行2分 第二行1分 第三行1分 2、(本小题7分)

第一行4分 第二行2分 第三行1分 六、解答下列各题 ( 本 大 题16分 )

6

4分 8分

14分

16分