一、能力突破训练
1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( ) A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差 C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数
2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
3.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 4.已知x与y之间的一组数据:
x y 0 m 1 3 2 5.5 3 7 已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为( ) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5
5.(2018全国Ⅲ,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
6.某样本数据的茎叶图如图,若该组数据的中位数为85,则该组数据的平均数为 .
7.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质
量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.
8.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 最高气温 2 16 36 25 7 4 天 数 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
9.(2018全国Ⅰ,文19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 日用水量 1 3 2 4 9 26 5 频 数 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 日用水量 1 5 13 10 16 5 频 数 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
二、思维提升训练
10.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸: 1 2 3 4 5 6 7 8 抽取次序 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 零件尺寸 9 10 11 12 13 14 15 16 抽取次序 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 零件尺寸 3
经计算得xi=9.97,s=≈0.212,≈18.439,(xi-)(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=≈0.09.
11.(2018全国Ⅲ,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表: 第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=
,
P(K2≥k) k
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
专题能力训练18 统计与统计案例
一、能力突破训练
1.B 解析 标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B.
2.D 解析 由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数为200×0.7=140.故选D. 3.D 解析 ,s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2],
月工资增加100元后:
'=s'2=
[(x1+100-')2+(x2+100-+100=
')2+…+(x10+100-+100, ')2]=s2.故选D.
4.D 解析 由题意,得=1.5,(m+3+5.5+7)=,将()代入线性回归方程为=2.1x+0.85,得m=0.5.
5.分层抽样 解析 因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.
6.85.3 解析 依题意得,将样本数据由小到大排列,中间的两个数之和等于85×2=170,因此x=6,样本数据的平均数等于(70×2+80×6+90×2+53)=85.3.
7.18 解析 抽取比例为,故应从丙种型号的产品中抽取300×=18(件),答案为18.
8.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25, 则Y=6×450-4×450=900; 若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300; 若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
=0.8,
因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 9.解 (1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
二、思维提升训练
10.解 (1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=
≈-0.18.
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)(ⅰ)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.591.134,
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
(16×9.97-9.22)=10.02,
=16×0.2122+16×9.972≈1
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09. 11.解 (1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知m=列联表如下:
第一种生产方式 第二种生产方式 (3)由于K2=
=80.
超过m 15 5 不超过m 5 15 =10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
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