(完整版)中考数学几何综合题

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。

一、几何论证型综合题

例1、（盐城）如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，⊙O2在⊙O1

上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE。

(1)请你连结AD，证明：AD是⊙O1的直径； (2)若∠E=60°，求证：DE是⊙O1的切线。

分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。

证明：

（1）连接AD，∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC A∴∠ABD=90°,

∴AD是⊙O1的直径 O1O2（2）证法一：∵AD是⊙O1的直径，

∴O1为AD中点 CDB连接O1O2，

∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等， E∴O1O2=AO1=AO2

∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2=60°

由三角形中位线定理得：O1O2∥DC， ∴∠ADB=∠AO1O2=60° ∵AB⊥DC，∠E=60，

∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90° 又AD是直径， ∴DE是⊙O1的切线 证法二：连接O1O2，

∵点O2在⊙O1上，O1与O2的半径相等， ∴点O1在⊙O2

∴O1O2=AO1=AO2， ∴∠O1AO2=60° ∵AB是公共弦， ∴AB⊥O1O2， ∴∠O1AB=30° ∵∠E=60°

∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90° 由（1）知：AD是的⊙O1直径， ∴DE是⊙O1的切线.

说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。

练习一

1．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BC的延长线于点P，交AD的延长线于点E，若AD=5，AB=6，BC=9。 ⑴求DC的长；

⑵求证：四边形ABCE是平行四边形。

2．已知：如图，AB是⊙O的直径， 点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。

D 2求证：（1）BC平分∠PBD；（2）BCABBD

C

B P A O

图5－1－2

3．PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF＝AF，FA的延长线交⊙O于点G。 求证：（1）∠FGD＝2∠PBC；（2）

PCPO. AGAB4.已知：如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E。弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连结AD、AM， 求证：(1)△ACM≌△BCM； FA (2)AD·BE=DE·BC；

N(3)BM2=MN·MF。 DEMOC B

5.已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F． 求证：（1）AD＝BD；

A（2）DF是⊙O的切线．

D

E BFCO

二、几何计算型综合题

解这类几何综合题，应该注意以下几点：

（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；

（2）灵活运用数学思想与方法.

例2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF；

（2）若AD = 4cm，AB = 8cm，求CF的长． 解：

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AD∥BC，

∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB，∴∠OCB＝∠OBC， D ∴∠DAE＝∠CBF． （例2题）

F B C

O 11OA，BF＝OB，∴AE＝BF， 22∴△ADE≌△BCF．

（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF＝90º， ∵∠DCB＝90º，∴∠DGF＝∠DCB， 又∵∠FDG＝∠BDC，∴△DFG∽△DBC， FGDFDG∴． BCDBDCDF3，

由（1）可知DF＝3FB，得D

DB4FG3DG ∴，∴FG＝3，DG＝6， 448∴GC＝DC－DG＝8－6＝2．

又∵AE＝

在Rt△FGC中，CFFG2GC29413. F

（例2）

B

G C

说明：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。 练习二

1.已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB。

（1）求证：AC平分DAB；

（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径。

2．已知：如图，以Rt△ABC的斜边AB为直 径作⊙O，D是⊙O上的

E点，且有AC=CD。过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，

D连结CD。 C (1)试判断BE与CE是否互相垂直?请说明理由； (2)若CD=25，tan∠DCE=1，求⊙O的半径长。

2AOB

3．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。(1)求证：ΔADB

∽ΔOBC；(2)若AB=2，BC=2，求AD的长。(结果保留根号)

C

D

BA

O

4．如图,AD是ABC的角平分线, 延长AD交ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连结EF、DF．

(1)求证：AEF∽FED；

(2) 若AD6,DE3, 求EF的长；

(3) 若DF∥BE, 试判断ABE的形状，并说明理由．

ABE•OD•O1CF¼的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长5．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC»»AD，EM切⊙O于M。 线分别交于点F、E，且BF⑴△ADC∽△EBA；

1

⑵AC2＝ BC·CE；

2

⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。

能力提高

1、如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。 （1） 求证：∠CEF＝∠BAH

（2） 若BC＝2CE＝6，求BF的长。

2．如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2， (1)若△APB为直角三角形，求PB的长；

P(2)若△APB为等腰三角形，求△APB的面积。

O

BA

3.如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．

(1)求证：OE=OF；

(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

AOFBM图1ECDAOMBDC图2E

4．如图11，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，BC＝8。以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED

F

并延长交BA的延长线于点F。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求DB的长；

（3）求S△FAD∶S△FDB的值 5． 已知：□ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD, A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．

⑴求证：四边形ABCD是矩形； D F AB⑵在四边形ABCD中，求的值．

BCO C · A

B

E

6．

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，

∠ABD=30°．

⑴求证：CD是⊙O的切线；

⑵若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求

r的值． R

D

· C A ·O B P

7、知直线L与◎○相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交⊙○于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D.

(1)若AP=4，求线段PC的长;（4分）

(2)若ΔPAO与ΔBAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积.（答案要求保留根号） »的8、如图7，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为BFE

中点，BF交AD于点E，且BEgEF=32，AD=6.

(1) 求证：AE=BE；(2) 求DE的长；(3) 求BD的长 .

9、如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。 （1）求∠COA和∠FDM的度数； （2）求证：△FDM∽△COM；

（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。



10、已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都

在直线l上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。

（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？ （2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？ （3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

P

AD

②①

I

M NCB图12

11、如图，ABC是等边三角形，⊙O过点B,C，且与BA,CA的延长线分别交于点D,E．弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G． （1）求证：BEF是等边三角形； （2）若BA4，CG2，求BF的长．

AOEDFG

（图5－11）

12、已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连结AB、AC。

A BCP

B O D

（1） 求证：AB=AC；

（2） 若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长。

C

13、如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G. （1）求证：AE·BE＝EF·EG；

（2）连结BD，若BD⊥BC，且EF＝MF＝2，求AE和MG的长.

答案： 练习一

1．⑴解：∵AD∥BC

∴AB»»DC ∴DC=AB=6

⑵证明：∵AD∥BC，

∴∠EDC=∠BCD

又∵PC与⊙O相切， ∴∠ECD=∠DBC

∴△CDE∽△BCD

∴

DCBCDEDC ∴DEDC2BC6294 ∴AE=AD+DE=5+4=9

∴AE BC

∴四边形ABCE是平行四边形。 2. 证明：（1）连结OC。

∵PD切⊙O于点C， 又∵BD⊥PD， ∴OC∥BD。 ∴∠1＝∠3。 又∵OC＝OB， ∴∠2＝∠3。

∴∠1＝∠2，即BC平分∠PBD。 （2）连结AC。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。 又∵BD⊥PD，∴∠ACB＝∠CDB＝90° 又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△CBD

∴

ABBCCBBD，∴BC2＝ABgBD 3.( 1）连结OC。

∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC。

∵BE⊥PE，∴OC∥BE。∴∠POC＝∠PBE。又∵∠PBE＝∠FGD，∴∠POC＝∠FGD。 ∵∠POC＝2∠PBC，∴∠FGD＝2∠PBC。 （1） 连结BG

∵AB是的直径，∴∠AGB＝90°。 又∵OC⊥PC，∴∠PCO＝90°， ∴∠AGB＝∠PCO。 ∵FP＝FA，

∴∠FPA＝∠PAF＝∠BAG。

∴△PCO∽△AGB。∴

PCPOAGAB E C D F P A O B G 5-1-3图

4.

5. （1）证法一：连结CD，

∵BC为⊙O的直径,∴CD⊥AB ∵AC＝BC,∴AD＝BD．

证法二：连结CD， ∵BC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝∠BDC＝90° ∵AC＝BC，CD＝CD

∴△ACD≌△BCD,∴AD＝BD （2）证法一：连结OD， ∵AD＝BD，OB＝OC

∴OD∥AC ∵DE⊥AC ∴DF⊥OD ∴DF是⊙O的切线． 证法二：连结OD， BO ∵OB=OD,∴∠BDO＝∠B ∵∠B＝∠A,∴∠BDO=∠A

∵∠A+∠ADE＝90°,∴∠BDO＋∠ADE＝90° ∴∠ODF=90°,∴DF是⊙O的切线．

练习二 1．（1）证法一：连结BC

∵AB为⊙O的直径∴ACB＝90º 又∵DC切⊙O于C点 ∴DCA＝B ∵DCPE

ADECF∴Rt△ADC∽Rt△ACB ∴DAC＝CAB

（2）解法一：在Rt△ADC中，AD＝2，DC＝4

∴AC＝AD＋DC ＝25 由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB

ABACAC20

∴ ＝ 即AB＝ ＝ ＝10 ACADAD2∴⊙O的直径为10

（1）证法二：连结OC

∵OA＝OC ∵ACO＝CAO 又∵CD切⊙O于C点 ∴OCDC ∵CDPA ∴OC∥PA ∴ACO＝DAC ∴DAC＝CAO

（2）解法二：过点O作OMAE于点M，连结OC

∵DC切⊙O于C点 ∴OCDC 又∵DCPA ∴四边形OCDM为矩形 ∴OM＝DC＝4 又DC2＝DA·DE ∴DE＝8，∴AE＝6， ∴AM＝3

在Rt△AMO中,OA＝OM2＋AM2 ＝5 即⊙O的直径为10。 2.

2

2

2

3. (1)略；（2）由（1），得△ADB∽△OBC，

4.

(1）证明：连结两圆的相交弦CE

在圆O1中，EFDDCE，

在圆O中，BAEDCE， ∴EFDBAE，

又因为AE是BAC角平分线，得∠BAE=∠CAE， ∴CAEEFD， ∵AEFFED，

∴AEF∽FED． （2）∵AEF∽FED，

∴

DEEF ， EFAE2∴EFAE•DE(ADDE)•DE27， ∴EF33．

（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，

得到：ABCAEC，CBECAE， ∴ABEAECCAE，

∵AECCAEACE=180°， ∴ABEACE=180°， 又FCEACE=180， ∴FCEABE ．

∵DF∥BE，FDEAEB，

又∵FCEEDF，∴∠AEB =∠ABE ， ∴ABE为等腰三角形．

5．⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，

»»AD，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB ∵BF¼中点，∴HC＝HB＝1 BC， ⑵过A作AH⊥BC于H(如图)∵A是BDC2

1

∵∠CAE＝900，∴AC2＝CH·CE＝ BC·CE

2¼中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ⑶∵A是BDC∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2 ①

1

∵AC2＝ BC·CE，BC·CE＝8 ②

2

①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17

∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC，

AE13

∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝＝

AC2

提高练习 1.

2.

3. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴BOE=AOF＝90．OB＝OA

又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE ∴MEA＝AFO

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE=OF

(2)OE＝OF成立

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BOE=AOF＝90．OB＝OA 又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE

又∵MBF＝OBE ∴F＝E ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE=OF 4. （1）证明：略

（2）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8 ∴AC＝10 ∵BC＝CD•AC∴CD＝

2

1832，AD＝

552

又∵△ADB∽△BDC ∴BD＝AD•CD＝

243218• ∴BD＝ 555（3）∵∠FDA＝∠FBD ∠F＝∠F ∴△FDA∽△FBD ∴S△FAD∶S△FDB＝(AD29) BD165、（1）证明：连结OE

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=OB， ∵四边形DEBF是菱形， ∴DE=BE， ∴EO⊥BD ∴∠DOE= 90°

即∠DAE= 90° 又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形

D F （2）解：∵四边形DEBF是菱形

∴∠FDB=∠EDB O C 又由题意知∠EDB=∠EDA

由（1）知四边形ABCD是矩形

A E ∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90° 则∠ADB= 60° ∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶3 即6、

（1）证明：连结OD、DA，

∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°

B

AB3 BC1AB=OA 又AC=AO，∴∠ODC=90°∴CD切⊙O于点D 2（2）方法一：连结PE，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC ∴∠C=30°

1又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE ∴PE=CP

2r1又PE=BP=R，CA=AO=OB= r ∴3r=R，即

R3方法二：连结PE，

又∵DE切⊙P于E，∴PE⊥CE

ODCOr2rr1∴OD∥PE ∴= 即 ，∴

EPCPR3rRR3又∠ABD=30°，∴AD=

7、解：（1）l与◎○相切于点A， 490

0OP2OA2AP2

1AB3,AP4 2OP23242OPOCOP5 PC532

（2）PAO∽ΔBAD,且∠1>∠2，∠4=∠4=90 ，2APO

OBOC 23123 1222APO

49001APO900 3APO900APO300

在RtΔBAD中，2APO30

0AD6tan3006323 3 方法一：过点O作OE⊥BC于点E，

2300,BO3

333 0OE,BE3con3022 BC2BE33

S四边形OADCSBADSBOC

11AB•ADBC•OE22113 62333

22296334 =

153 40

方法二：在RtΔOAP中，AP=6tan60=33,OP=2OA=6,

DP=AP－AD=33233,PCOPOC633,

13PC 221113 S四边形OADC=SΔOAP－SΔCDP =AP·OA－DP·CF =(3333)

2222 过点C作CF⊥AP于F，∠CPF=30, CF=

0

=

153 4»中点，∴∠ABE=∠AFB，又∠AFB=∠ACB，∴ ∠ABE=∠ACB . 8. (1) 连AF，因A为的BF∵ BC为直径，∴∠BAC=90°，AH⊥BC，∴∠BAE=∠ACB，∴∠ABE=∠BAE， ∴ AE=BE . (2) 设DE=x(x>0)，由AD=6，BEgEF=32，AEgEH=BEgEF， 有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的长为2 .

(3) 由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4， 在RtΔBDE中，BD=4222=23 9、解（1）∵AB为直径，CE⊥AB ∴AC＝AE，CG＝EG 在Rt△COG中，

∵OG＝

1OC 20

0

∴∠OCG＝30，∠COA＝60 又∵∠CDE的度数

＝

1弧CAE的度数 2＝AC的度数

＝∠COA的度数＝60

00

∴∠FDM＝180－∠CDE＝120

（2）证明：

00

∵∠COM＝180－∠COA＝120 ∴∠COM＝∠FDM

在Rt△CGM和Rt△EGM中

∵0

GMGM ∴Rt△CGM≌Rt△EGM ∴∠GMC＝∠GME

CGEG 又∠DMF＝∠GME ∴∠OMC＝∠DMF ∴△FDM∽△COM （3）解：结论仍成立。

0

∵∠FDM＝180－∠CDE

1 ∴∠CDE的度数＝弧CAE的度数＝AC的度数＝∠COA的度数

2 ∴∠FDM＝180－∠COA＝∠COM

∵AB为直径，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中

∵0

GMGM

CGEG ∴Rt△CGM≌Rt△EGM

∴∠GMC＝∠GME ∴△FDM∽△COM

10.（1）重叠部分的面积等于3cm（2）等边三角形的边长a至少为10cm（3）等边三角形

的边长为(212)cm

11（1）证明：（1）∵ABC是等边三角形， ∴ BCABAC60， ∵ DF∥AC，∴DBAC60，BEFD60 又 ∵ BFEBCA60， ∴BEF是等边三角形．

（2） BF26

12.（1）连结AD,由切割线定理可知，

2PA2=PBPD 即1025(52OB) 15OB 而△PDA∽△PAB

2ADPA10∴2 ABPB5A 1 2 B O C P

D 222在Rt△BDA中，BDABAD 即15AB(2AB)

222∴AB35 即AC=35

13、证明：（1）∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB

0

∴∠ACB＝∠BEG＝∠AEF＝90

0

∴∠G＋∠B＝∠A＋∠B＝90 即∠G＝∠A

∴Rt△AEF∽Rt△GEB ∴

AEEG，即AEBEEFEG EFBE （2）∵DE⊥AB

∴DE＝EM＝4

连结AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC

00

∴∠ACB＝∠ADB＝∠DBC＝90 ∴∠DAF＝90

2由Rt△AEF∽Rt△ADE可得AEDEEF ∴AE22

由相交弦定理可得DEEMAEBE ∴EFEGDEEM ∴EGDEEM448 ∴MG＝EG－EM＝8－4＝4.

EF2