流体力学第七章习题

7－1 20℃的空气在直径为600 mm的光滑风管中以8 m/s的速度运动，现用直径为60 mm的光滑水管进行模拟试验，为了保证动力相似，水管中的流速应为多大？若在水管中测得压力降为450 mmH2O，那么在原型风管中将产生多大的压力降？

－已已知知：：da＝600mm，ua＝8m/s，ρa＝1.2kg/m3，νa＝15.0×106m2/s，dw＝60mm，ρw＝998.2kg/m3，

νw＝1.0×106m2/s；Δpw＝450mmH2O。

－

解解析析：：(1) 根据粘性力相似，有Rew＝Rea，即 则水管中的流速应为

uadaauwdww

daw6001.0106 uwua()()8()()5.33m/s 6dwa6015.010(2) 根据压力相似，有Eua＝Euw，即 则在原型风管中将产生的压力降为 pa(papw 22auawuwaua21.282)()pw()()4509.8111.95Pa wuw998.25.33－

7－2 用20℃的空气进行烟气余热回收装置的冷态模型试验，几何相似倍数为1/5，已知实际装置中烟气的运动粘度为248×106m2/s，流速为2.5m/s，问模型中空气流速为多大时，才能保证流动相似？

－－

已已知知：：Cl＝1/5，ν＝248×106m2/s，νm＝15×106m2/s，u＝2.5m/s。

解解析析：：根据雷诺数相等，即

udumdmm，得

dm15106 um()()u5()2.50.76m/s 6dm24810只有模型中空气的流速为0.76m/s时，才能保证流动相似。

7－3 用直径为25mm的水管模拟输道，已知输直径500mm，管长100m，输油量为0.1m3/s，油的运动粘度为150×106m2/s，水的运动粘度为1.0×106m2/s，试求：

－

－

(1) 模型管道的长度和模型的流量；

(2) 若在模型上测得压差为2.5cm水柱，输上的压差是多少？

－－

已已知知：：d＝500mm，dm＝25mm，l＝100m，Q＝0.1m3/s，ν＝150×106m2/s，νm＝1.0×106m2/s；

(Δp/γ)m＝2.5cmH2O。

1

解解析析：：(1) 根据几何相似

dl，得 dmlm lm(dm25)l1005.0m d500udumdm，或

(2) 由雷诺数相等，即

mQQm，得 dmdmdmm251.010653)()Q0.13.3310m/s Qm(6d500150104pmp4Qpd4pmdm(3) 由欧拉数相等，即，注意到u，可写成 ，则 22222umumdQmQm

pQ2dm4pm0.122()()()()0.0251.41mH2O 5Qmdm5003.33107－4 用同一管路通过空气进行水管阀门的局部阻力系数测定，水和空气的温度均为20℃，管路直径为50mm，水速为2.5m/s时，风速应为多大？通过空气时测得的压差应扩大多少倍方可与通过水时的压差相同？

－

已已知知：：d＝dm＝50mm，u＝2.5m/s，ρ＝1000kg/m3，ρm＝1.2kg/m3，ν＝1.0×106m2/s，νm＝νa－

＝15×106m2/s。

解解析析：：(1) 为保证粘性力相似，雷诺数必定相等，即

udumdmm，得

dm15106 um()()u1()2.537.5m/s 6dm1.010(2) 根据欧拉数相等，即

pmp，得 2u2mum

pmΔp(mum21.237.52)()()()0.27 u10002.5那么 n13.7倍 0.27即通过空气时测得的压差应扩大3.7倍，方可与通过水时的压差相同。

7－5 为研究输水管道上直径600mm阀门的阻力特性，采用直径300mm，几何相似的阀门用气流做模型实验，已知输水管道的流量为0.283m3/s，水的运动粘度为1.0×106m2/s，空气的

－

运动粘度为15×106m2/s，试求模型中空气的流量。

－

－－

已 已知知：：d＝600mm，dm＝300mm，Q＝0.283m3/s，ν＝1.0×106m2/s，νm＝νa＝15×106m2/s。

2

解解析析：：为了保证动力相似，雷诺数必定相等，即

udumdmm，或写成

QQm。 dmdmdmm30015106)()Q()()0.2832.12m3/s 由此得到 Qm(6d6001.0107－6 为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为8m/s时，测得迎风面压力为40N/m2，背风面压力为－24N/m2。若温度不变，风速增至10m/s时，迎风面和背风面的压力将为多少？

已已知知：：u1＝8m/s，u2＝10m/s，ρ1＝ρ2，p1，迎＝40N/m2，p1，背＝－24N/m2。 解解析析：：根据欧拉准数相等，即

p1p2，得 21u122u2 p2，迎(2u22102)()p1，迎1()24062.5N/m 1u182u22102)()p1，背1()2(24)37.5N/m 1u18 p2，背(7－7 已知汽车高为1.5m，行车速度为108km/h，拟在风洞中进行动力特性实验，风洞风速为45m/s，测得模型车的阻力为1.50kN，试求模型车的高度以及原型车受到的阻力。

已已知知：：h＝1.5m，u＝108km/h＝30m/s，um＝45m/s，ρ＝ρm，ν＝νm，Fm＝1.50kN。 解解析析：：(1) 根据雷诺数相等，即

uhumhmm，得

hm(um30)()h()11.51.0m um45FmF，得 22u2h2mumhm(2) 根据牛顿准数相等，即

F(u2h2301.5)()()F1()2()21.501.50kN mumhm451.07－8 直径为0.3m的管道中水的流速为1.0m/s，某段压降为70kN/m2，现用几何相似倍数为1/3的小型风管作模型试验，空气和水的温度均为20℃，两管流动均在水力光滑区。求：(1)模型中的风速；(2)模型相应管段的压力降。

已已知知：：Cl＝1/3，d＝0.3m，u＝1.0m/s，Δp＝70kN/m2，ρ＝1000kg/m3，ρm＝1.20kg/m3，ν＝

－－

1.0×106m2/s，νm＝15×106m2/s。

解解析析：：(1) 根据雷诺数相等，即

udumdmm3

，得

dm15106 um()()u3()1.045m/s 6dm1.010(2) 根据欧拉准数相等，即

pmp，得 22umum

pm(mum21.2452)()p()()270170.1kN/m u10001.07－9 模型水管的出口喷嘴直径为50mm，喷射流量为15L/s，模型喷嘴的受力为100N，对于直径扩大10倍的原型风管喷嘴，在流量10000m3/h时，其受力值为多少？设水和空气的温度均为20℃。

已已知知：：Cl＝1/10，dm＝50mm，Qm＝15L/s，Q＝10000m3/h，ρm＝1000kg/m3，ρ＝1.20kg/m3，νm＝1.0×106m2/s，ν＝15×106m2/s，Fm＝100N。

－

－

22FF4QFdFdm解解析析：：根据牛顿准数相等，即，注意到u，则有。 mm2222222udmumdmdQmQm由此可得到 F(Q2dm21.2100005022)()()Fm()()()10041.2N 3mQmd10003600151010507－10 防浪堤模型实验，几何相似倍数为1/40，测得浪的压力为130N，试求作用在原型防浪堤上浪的压力。

已已知知：：Cl＝1/40，Fm＝130N。

2FuF解解析析：：将牛顿准数Ne与付鲁德准数Fr进行组合，得 NeFr 223ulglgl由组合后的准数相等，即

FmF，得 33glmglm F(l3)()Fm14031308320kN mlm7－11 贮水池放水模型实验，已知模型几何相似倍数为1/225，开闸后10min水全部放空，试求放空贮水池所需时间。

已已知知：：Cl＝1/225，τm＝10min。

222St(u/l)g解2解析析：：将斯特罗哈准数St与付鲁德准数Fr进行组合，得 Frlu/gl 4

2g2gm由组合后的准数相等，即 ，得 llm l/lmm22510150min

7－12 溢水堰模型的几何相似倍数为1/20，模型中流量为300L/s，堰所受推力为300N，试求原型堰的流量和所受的推力。

已已知知：：Cl＝1/20，ρm＝ρ，Qm＝300L/s，Fm＝300N。

2222uQQuQ解解析析：：(1) 根据付鲁德准数相等，即。 m，注意到u，则有5m5Aglglmglglml由此可得 Q()2Qm2020.3536.7m2/s

lm55Fu2F(2) 将牛顿准数Ne与付鲁德准数Fr进行组合，得 NeFr 223ulglgl根据组合后的准数相等，即

FmF，得 3gl3mglm F(l3)()Fm12033002.4106N2400kN mlm－

7－13 油池通过直径d＝250mm的管路输送Q＝140L/s的石油，油的粘度为75×106m2/s，现在几何相似倍数为1/5的模型中研究避免油面发生旋涡而卷入空气的最小油深hmin，试验应保证Re数和Fr数都相等。问：(1)模型中液体的流量和粘度应为多少？(2)模型中观察到最小液深hmin为60mm时，原型中的最小油深hmin应为多少?

－

已已知知：：d＝250mm，Q＝140L/s，ν＝75×106m2/s，Cl＝1/5，hmin，m＝60mm。

解解析析：：(1) 试验应保证Re数和Fr数都相等，即

umdmm2umu2，，并注意到gdmgduduQmmdmQm2dmQ()()()() ，得 ；

d2QdQd联立以上两式，解得

d1 Qm(m)2Q()21402.5L/s

d5d1662 m(m)2()275106.710m/s

d5(2) 根据几何相似，可得

5

3355 hmin(d)hmin，m560300mm dm7－14 用水试验如图所示的管嘴，模型管嘴直径dm＝30mm，当Hm＝50m时，得流量Qm＝18×103m3/s，出口射流的平均流速ucm＝30m/s，为保证管嘴流量Q＝0.1m3/s及出口射流的平均

－

流速uc＝60m/s，问原型管嘴直径d及水头H应为多少？已知试验在自动模化区(阻力平方区)。

－

已已知知：：dm＝30mm，Hm＝50m，ucm＝30m/s，uc＝60m/s，Qm＝18×103m3/s，Q＝0.1m3/s。

解解析析：：已知试验在自动模化区(阻力平方区)，如果流体通过模型管嘴与通过原型管嘴的流动相似，那么，两者的速度系数和流量系数应分别相等，即m，m。则有

ucm2gHmQmuc2gH；

Q1d22gH412dm2gHm4

所以 HHm(uc260)50()2200m ucm301111Q2Hm40.15042 ddm()()0.03()()0.05m50mm

QmH200181037－15 溢流坝泄流模型实验，几何相似倍数为1/60，溢流坝的泄流量为500m3/s，试求：(1)模型的泄流量；(2)模型的堰上水头Hm＝6cm，原型对应的堰上水头是多少？

已已知知：：Cl＝1/60，Q＝500m3/s，Hm＝6cm，

22224QuQuQ解解析析：：(1) 由付鲁德准数相等，即，可写成 5m。 m，注意到u25dglglmglglml13由此得 Qm(m)2Q()25000.0179m/s

l60(2) 根据几何相似，即

55Hl，得 Hmlm HlH600.063.6m lm－

7－16 用几何相似倍数为1/10的模型试验炮弹的空气动力特性，已知炮弹的飞行速度为1000m/s，空气温度为40℃，空气的动力粘度为19.2×106Pa·s；模型空气温度为10℃，空气的动力粘度为17.8×106Pa·s，试求满足粘性力和弹性力相似，模型的风速和压力。

－

－

已已知知：：Cl＝1/10，u＝1000m/s，T＝40℃＝313K，Tm＝10℃＝283K，μ＝19.2×106Pa·s，μm

6

－

＝17.8×106Pa·s；设p＝105 N/m2。

解解析析：：(1) 根据马赫数相等，即

uumuu，注意到akRT，则有m。由此可得 aamTTm umTm283u1000950.87m/s T313(2) 根据雷诺数相等，即

ulmumlmpulpmumlm，注意到pRT，则有。由此mTmTmmTmul17.81062831000552得到 pm( )()()()p()()()10108.8210N/m6Tumlm313950.8719.2107－17 在风洞中进行超音速飞机的模型试验，模型的几何相似倍数为1/20，原型中大气温度为40℃，绝对压力为125kN/m2，飞机航速为360m/s，模型中空气温度为50℃，绝对压力为170kN/m2，为保证动力相似，求模型风速。若模型中实测阻力为125N，求原型飞机所受的阻力。

已已知知：：Cl＝1/20，T＝t＋273＝40＋273＝313K，p＝125kN/m2，u＝360m/s，Tm＝tm＋273＝50＋273＝323K，pm＝170kN/m2，FDm＝125N。

解解析析：：(1) 根据弹性力相似，有

umu，则得到 KRTKRTm umTm323u360365.7m/s T313(2) 根据阻力相似，并注意到气体状态方程，有

FDFDmTFDTmFDm， 或写成 2222u2l2mumlmpu2l2pmumlmpTmu2l21253233602)()()()FDm()()()(20)212536766N pmTumlm170313365.7由此可得 FD(7－18 车间长40m，宽20m，高8m，由直径为0.6m的风口送风，送风量为2.3m3/s，用几何相似倍数为1/5的模型实验，原型和模型的送风温度均为20℃，试求模型尺寸及送风量。(提示：模型用铸铁送风管，最低雷诺数60000时进入阻力平方区。)

－

已已知知：：Cl＝1/5，d0＝0.6m，Q0＝2.3m3/s，ν＝νm＝15×106m2/s，Reb＝60000。

解解析析：：(1) 根据几何相似，即

dl，得 dmlm车间模型的长为 Lm(dm1)L408m d5 7

车间模型的宽为 Bm(dm1)B204m d5dm1)H81.6m d5dm1)d00.60.12m d5车间模型的高为 Hm(模型送风口的直径为d0m((2) 根据雷诺数相等，即

udumdmm，或写为

QQm，由此得 dmdm Q0m(dmm1)()Q012.30.46m3/s d5但是，在Re＝60000时，进入阻力平方区(自动模化区)，所以不需要那么大的流量。 由RemQm60000，可得 Q0m60000151060.120.108m3/s。

mdm7－19 为研究温差射流运动的轨迹，用几何相似倍数为1/6的模型进行试验，已知原型风口的风速为22m/s，温差为15℃，模型风口的风速为8m/s，原型和模型周围空气的温度均为20℃，试求模型的温差应为多少？

已已知知：：Cl＝1/6，u0＝22m/s，ΔT0＝15℃＝15K，u0,m＝8m/s，Ta＝Tam＝20℃＝293K。 解解析析：：根据阿基米德准数相等，即

gR0T0gR0mT0m2，得模型风口的温差为 2Tau0u0mTam

T0m(R0u0m2Tam8)()()T06()211511.9K11.9℃ R0mu0Ta227－20 为研究吸风口附近气流的运动，用几何相似倍数为1/10的模型实验，测得模型吸风口的流速为10m/s，距风口0.2m处轴线上流速为0.5m/s，原型吸风口的流速为18m/s，试求与模型相对应点的位置及该点的流速。

已已知知：：Cl＝1/10，u0,m＝10m/s，sm＝0.2m，umax,m＝0.5m/s，u0＝18m/s，ρ＝C。 解解析析：：(1) 根据几何相似，即

sl，得 smlm s(llm)sm100.22.0m

220u00mu0m(2) 根据动量守衡关系，有 ，考虑不可压缩流体ρ＝C，得 22umum 8

umax(u018)umax，m0.50.9m/s u0m107－21 气力输送管道中气流的速度为10m/s，悬砂直径为0.03mm，密度为2500kg/m3，今在1：3的模型中进行空气动力性能试验，要求Re数相等和悬浮状况相似，求模型气流的速度和模型砂的粒径。设空气温度为20℃。

已已知知：：Cl＝1/3，u＝10m/s，ds＝0.03mm，ρs＝ρsm＝2500kg/m3，ρ＝ρm＝1.20kg/m3，ν＝νm＝15×106m2/s。

－

解解析析：：(1) 根据雷诺准数相等，即

udumdmm，得模型气流的速度为

um(md)()u131030m/s dm(2) 将CDud24和Refs1，代入自由沉降速度计算公式(6－66)，可得到斯托克斯自

Re由沉降速度公式(6－67)的使用条件为

2(1.215106)23ds2.62[]2.62[]35.83105m58.3μm

g(s)1.29.81(25001.2)即ds＝0.03mm＜58.3μm，可以使用斯托克斯公式(6－67)计算砂粒的自由沉降速度。

为了保证悬浮状况相似，根据速度相似可知，砂粒的自由沉降速度与管道内的气流速度应相似，即

11ufmum。将斯托克斯自由沉降速度公式(6－67)代入该式，得 ufu2dsmu 2m

uds则悬浮状态下模型砂的粒径为

dsmdsum300.030.052mm u107－22 已知文丘里流量计喉道流速u与流量计压力差Δp，主管直径d1、喉道直径d2，以及流体的密度ρ和运动粘度ν有关，试用瑞利法确定流速关系式。

已已知知：：uf(p,d1,d2,,) 解解析析：：up(Re,d2/d1) 7－23 假设自由落体的下落距离s与落体的质量m，重力加速度g及下落时间τ有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

9

已已知知：：sf(m，g，) 解解析析：：skg2

7－24 试用瑞利法推导不可压缩流体中流线型潜没物体所受到的阻力表示式，已知阻力FD

与物体的速度u、尺寸l、流体密度ρ和动力粘度μ有关。

已已知知：：FDf(u，l,，)

a22解解析析：：FDkReul

7－25 水泵的轴功率N与泵轴的转矩M、角速度ω有关，试用瑞利法导出轴功率表达式。 已已知知：：Nf(M,) 解解析析：：NkM

7－26 球形固体颗粒在流体中的自由沉降速度uf与颗粒的直径d、密度ρs以及流体的密度ρ、动力粘度μ，重力加速度g有关，试用π定理证明自由沉降速度关系式

uff(sufd，)gd 已已知知：：uff(,s,,g,d) 解解析析：：uff(sufd，)gd 7－27 作用在高速飞行炮弹上的阻力FD与弹体的飞行速度u、直径d、空气的密度ρ和动力粘度μ，以及音速a有关，试用π定理确定阻力的关系式

M)ud FD(Re，已已知知：：FDf(u，d，，，a) 解M)u2d2 解析析：：FD(Re，7－28 圆形孔口出流的流量Q与作用水头H、孔口直径d、水的密度ρ和动力粘度μ以及重力加速度g有关，试用瑞利法推导出孔口流量公式。

已已知知：：Qf(H，d，，，g)

ab解解析析：：QkReFr(22Hc)gdd2 d 10

题7－28图 题7－29图 力加速度g有关，试用π定理推导流量公式。

已已知知：：Qf(H，b，，，g)

5Hgbb解解析析：：Q1(，)gH2(Re，Fr，)Hb2gH HH3212

7－29 已知矩形薄壁堰的溢流量Q与堰上水头H、堰宽b、水的密度ρ和动力粘度μ以及重

7－30 在一定的速度范围内，流体绕过圆柱体，在圆柱体后部产生两侧交替释放的旋涡(卡门涡街)，已知旋涡释放频率n与来流速度u∞、流体的密度ρ和动力粘度μ，以及圆柱体的直径d有关，试用π定理证明n与其它量的关系为

uf(Re) nd已已知知：：f(n，u，，，d)0 解解析析：：uf(Re) nd7－31 流体流动的压力损失Δp取决于流体的速度u、密度ρ、动力粘度μ、弹性模量E、重力加速度g，以及一些线尺寸s、s1和s2。试确定其函数关系式。

已已知知：：pf(u,,,E,g,s,s1,s2) 解解析析：：s1s2pf(,,Re,Fr,M) 2ssu7－32 两个同轴的柱形圆筒，外筒固定，内筒旋转，筒间充满油液，求内筒旋转所需力矩M的准数方程式。已知影响因素为旋转角速度ω，筒高H，筒的间隙δ，筒的直径d，流体的密度ρ和动力粘度μ。

已已知知：：Mf(,H,,d,,) 解解析析：：

M2d5f(H,,) ddd2 11