2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第2章 概率-2.2-2.2.1

2.2.1 条件概率

1.了解条件概率的概念.

2.掌握求条件概率的两种方法.(难点)

3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题.(重点)

[基础·初探]

教材整理 条件概率

阅读教材P48～P49例1以上部分，完成下列问题. 1.两个事件A与B的交(或积)

把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记做D＝A∩B(或D＝AB). 2.条件概率 名称 条件 概率

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×)

(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生.(×) (3)P(B|A)≠P(A∩B).(√)

12

2.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )

331

A. 21

C. 9

2

B. 94D. 9

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率. P(B|A) 定义 符号表示 ＝错误!， P(A)>0 计算公式 P(B|A) 【解析】 由P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!，故选A. 【答案】 A

3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________.

【导学号：62980041】

0.4

【解析】 根据条件概率公式知P＝＝0.5.

0.8【答案】 0.5

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

利用定义求条件概率

一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.

(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A).

【精彩点拨】 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解.

【自主解答】 由古典概型的概率公式可知 2

(1)P(A)＝，

5

2×1＋3×282P(B)＝＝＝，

5×42052×11

P(A∩B)＝＝.

5×410

(2)P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.

1.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝错误!.

2.在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系.

[再练一题]

1.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.

【解析】 由公式P(A|B)＝错误!＝错误!，P(B|A)＝错误!＝错误!. 【答案】

23

35

利用基本事件个数求条件概率

现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

【精彩点拨】 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解.

【自主解答】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30， 根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝错误!＝错误!＝错误!. (2)因为n(A∩B)＝A24＝12，于是P(A∩B)＝错误!＝错误!＝错误!.

(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!. 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.

1.本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法.

2.计算条件概率的方法

(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A).

(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝错误!计算求得P(B|A).

(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即

P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.

[再练一题]

2.本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率.

【解】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.

32

法一：P(C|A)＝1－P(B|A)＝1－＝.

55

法二：n(A)＝A14×A15＝20，n(A∩C)＝A14×A12＝8， ∴P(C|A)＝错误!＝错误!＝错误!.

[探究共研型]

条件概率的综合应用 探究1

掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？

【提示】 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件.

探究2

“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？

【提示】 “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”. 探究3

先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率

【提示】 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.

111∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.

663

一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：

厂别 数量 等级 合格品 次品 475 25 4 56 1 119 81 甲厂 乙厂 合计 合计 500 700 1 200 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________. 【精彩点拨】 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算.

8127

【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.

1 200400251

(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.

50020

500

法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)

1 200＝

25

，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝错误!＝错误!. 1 200

271

【答案】 (1) (2) 40020

条件概率的解题策略

分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.

[再练一题]

3.已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人. (1)求此人患色盲的概率；

(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.

【解】 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.

(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C) ＝P(A)·P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝

51000.2510021

×＋×＝. 100200100200800

(2)P(A|C)＝错误!＝错误!＝错误!.

[构建·体系]

12

1.已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )

355

A. 62C. 15

9B. 101D. 15

【解析】 由P(B|A)＝错误!，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝错误!×错误!＝错误!. 【答案】 C

2.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )

【导学号：62980042】

1A. 41C. 2

1B. 3D.1

【解析】 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到1

中奖券的概率，显然是.

3

【答案】 B

3.把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________. 111

【解析】 ∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.

4221

【答案】 2

4.抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、二次骰子的点数.若设A＝{(x1，x

2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝

________.

311

【解析】 ∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝，

361236∴P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!. 1

【答案】 3

5.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么

(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？

【解】 (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出12×11

白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(A∩B)＝＝，

24×361

611

所以P(B|A)＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.

1332

(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，

P(A1)＝，P(A1∩B1)＝1

再摸出1个白球的概率为. 2

我还有这些不足：

(1) (2) 我的课下提升方案：

(1) (2)

122×21

＝，所以P(B1|A1)＝错误!＝错误!＝错误!.所以先摸出1个白球后放回，4×44