计算理论期末练习题(2015)

1、集合

序列

元组

函数

关系 图

串：字母表中符号的有穷序列

语言:是字符串的集合

2、DFA、NFA、NFA到DFA的转换，DFA、NFA的形式化五元组表达

3、正则表达式、正则表达式和NFA之间的转换、利用泵引理证明不是正则语言 4、上下文无关文法

下推自动机

乔姆斯基范式（基本概念）

CFG到下推自动机的转换

从右至左压入栈中

5、利用泵引理证明不是上下文无关语言 6、图灵机、

图灵可识别语言：接受、拒绝、循环

判定器：对所有输入都停机的图灵机，永不循环。

图灵可判定语言：能让图灵机停机的语言，接受或者拒绝

要求可以做简单的判定性证明（例如：ADFA、ACFG、HALT-TM、ETM）

7、可归约性。要求可以利用规约，完成简单的定理证明。

计算理论练习题

1、画出识别下述语言的DFA状态图，其中，字母表为{0,1}。 1）{w|w从1开始且以0结束}；

2）{w|w含有至少3个1}；

3）{w|w含有子串0101}；

q1的0自循环处考虑00

4）{w|w的长度不小于3，并且第3个符号为0}；

5）{w|w从0开始且长度为奇数}；

6）{w | w是除11和111以外的任何字符}；

7）{w | w不含子串110}；

2、写出下述语言的正则表达式。 1）{w|w不含子串110}； (0∪10)*1*

2）{w|w的长度不超过5}；

ε∪∑∪∑∑∪∑∑∑∪∑∑∑∑∪∑∑∑∑∑ 3）{w|w是除11和111外的任意串}；

ε∪0∑*∪10 ∑*∪110 ∑*∪ 111 ∑ ∑* 包含11或111的串仍属于题设

4）{w|w的奇数位均为1}； (1Σ)*( 1)

前一个括号为串长为偶数，加后一个则奇偶都可以

5）{w|w含有至少2个0，并且至多含1个1}。 0*(00010001100) 0* 确保两个0一定在，并且最多1个1，不能在外面，即有可能为空 3、利用泵引理证明下述语言不是正则的。 1）A1={0n1n2n|n0};

证明：假设A1是正则的。设p是泵引理给出的关于A1的泵长度。

令S=012,

∵S是A1的一个成员且S的长度大于p，所以泵引理保证S可被分成3段S=xyz且满足泵引理的3个条件。根据条件3，y中只含0，xyyz中，0比1、2多，xyyz不是A1的成员。违反泵引理的条件1，矛盾。 ∴A1不是正则的。

2）A2={www|w{a,b}*};

证明：假设A2是正则的。设p是泵引理给出的关于A2的泵长度。

令S=ababab,

∵S是A2的一个成员且S的长度大于p，所以泵引理保证S可被分成3段S=xyz且满足泵引理的3个条件。根据条件3，y中只含a，所以xyyz中第一个a的个数将比后两个a的个数多，故xyyz不是A2的成员。违反泵引理的条件1，矛盾。 ∴A2不是正则的。

4、给出产生下述语言的上下文无关文法。 1）{w|w至少包含3个1}； S→A1A1A1A

p

p

p

ppp

A→0A|1A|ε

2）{w|w以相同的符号开始和结束}； S→0A0|1A1 A→0A|1A|ε

3）{w|w的长度为奇数}。 S→0A|1A A→0B|1B|ε B→0A|1A

5、利用泵引理证明下述语言不是上下文无关的。 1）{w#t|w,t{a,b}*,且w是t的子串}；

假设该语言上下文无关，设p为泵长度，取S=0p1p#0p1p, 由泵引理知，S可以划分为uvxyz且满足泵引理条件。显然，v,y中不包含#，不然抽取后的S=uxz中将不含#从而不在该语言中。

子串vxy不能落在#的左侧，否则uv2xy2z中#左侧的字符串长度将大于右边。

子串vxy不能落在#的右侧，否则uxz中#左侧的字符串长度也会大于右边。

现在假设#ϵx，则必存在不全为0的i,j，使得vy=1i0j，下面分两种情况考虑：

② j≠0, 则uxz=0p1p-i#0p-j1p不在该语言中

②j=0, 则uv2xy2z中#左侧的字符串长度大于右边，不在该语言中。0p 1p-i 1i # 0j 0p-j 1p=uvxyz; 0p 1p-i 12i # 02j 0p-j 1p=uv2xy2z;

2）{t1#t2##tk|k2,ti{a,b}*,且存在ij是的ti=tj}。

假设该语言上下文无关，设p为泵长度，取S=apbp#apbp, 由泵引理知，S可以划分为uvxyz且满足泵引理条件。显然，v,y中不包含#，不然抽取后的S=uxz中将不含#从而不在该语言中。

子串vxy不能落在#的左侧，否则uv2xy2z中#左侧的字符串长度将大于右边。

子串vxy不能落在#的右侧，否则uxz中#左侧的字符串长度也会大于右边。

于是vxy跨越#两侧.此时，S经抽取成uxz后，具有apbi#ajbp的形式，其中，i,j不全为p。(亦可为ap bp-i #ap-j bp，只是符号的不同，传达的意思都是p-i不等于p-j，是因为i与j是相等的)

因此，uxz不在该语言中。 综上该语言不是上下文无关的。

6、给出识别语言（01001010）*的NFA，将该NFA转化为等价的DFA。

7、已知DFA G如下图所示, 写出CONVERT(G)的结果，要求步骤

8、把下述正则表达式转换成非确定型自动机（NFA）。

a) (0∪1)*000(0∪1)* b) (((00)*(11))∪01)*

9、已知CFG G，如下： E→E＋T|T T→T×E|F F→（E）|a

给出下述字符串的语法分析树和派生。 a. a b. a+a c. a+a+a d. ((a))

10、在下列每个输入串上，给出M所进入的格局序列： a. 0

b. 00 c. 000 d. 000000