初中数学建模类型浅析

初中数学建模类型浅析

解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一，数学建模就是将具有实际意义的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决。选取若干范例，对其建模类型略陈管见，供参考。

一、建立几何模型 诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解。

例1 如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？

分析 这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P。使∠APB最大。为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求。当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利。可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。

二、建立三角模型 对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题。

例2 海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°。如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？

简析 根据题意作出如图2的示意图,继续航行能否触礁,就是比较AC与8的大小。问

BD63。。ctg30ctg60题转化为解直角三角形，求AC的长。AC=>8。继续航行没有触礁的危

险。

对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用，教学中应予以重视。 三、建立方程模型 对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题。

例3 某家俱的标价为132元，若降价为9折出售(即优惠10％)，仍可获利10％(相对于进货价)。求该家俱的进货价。

1320.9x10x简析 设该家俱的进货价为x元。则问题转化为求方程％的解。解得

x=108元。

例4 如图3(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)。把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？ (1997年安徽省中考题)

简析 如图3(2)。作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程(20－x)(32－2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)。

上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的，也是学生感知最为丰富的现实原型。 四、建立直角坐标系模型 当变量的变化具有(近似)函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题求解。

例5 在如图4所示的自动喷灌设备中，喷出的水流呈现抛物线状．设水管AB高出地面1．5米。水流最高点C比喷头B高2米，且与B点连线夹角与水平面成45°，求水流落地点到A点的距离。

简析 因水流路线是抛物线，可建立如图4所示的平面直角坐标系，问题转化为求抛物

1线与x轴交点的横坐标。由已知条件可求得抛物线的解析式y=-2(x-2)2+3.5。令y=0得

x=2±7,舍去负值，所以D到A点的距离为（2+7）米。

对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题，其物体运动的轨迹都是抛物线，往往可转化为二次函数图象问题去解决。当变量之间具有线性关系时，则可转化为直线或平面区域问题去解决。

江苏省邳州市陆井中学 袁银宗