一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ） A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ） A．0.264×107千米 C．26.4×105千米
3．下列运算正确的是（ ） A．（xy3）2＝xy6 C．2x12÷x6＝2x6
B．
B．2.64×106千米 D．264×104千米
D．（a﹣3）2＝a2﹣9
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 C．无实数根
B．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图
书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ） A．C．
﹣﹣
＝100 ＝100
B．D．
﹣﹣
＝100 ＝100
8．0）如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，，且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（）
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）； ②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：12．不等式组
＝ ． 的整数解之和为 ．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过E， 点C作OA的平行线分别交两弧于点D、则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝2
，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝
，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对
称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分） 16．先化简
÷（
﹣x+1），然后从﹣
＜x＜
的范围内选取一个合适的整
数作为x的值代入求值．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74 八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩 人数 年级 七年级
0
1
10
1
8
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级 1 a 3 8 6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级 七年级 八年级
平均数 84.2 84
中位数 77 m
众数 74 n
根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 人．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，1.7，
＝1.4）
＝
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E． （1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积； （3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE． （1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝
，
且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝ ，n＝ ； （2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式； （3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？ 22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
，过点F作EF⊥AC
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 ，直线AE与BF所夹锐角的度数是 ； 【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图②给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长． 23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标； （3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ） A．
B．﹣
C．
D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可解答． 解：﹣1的相反数是1＝， 故选：A．
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ） A．0.264×107千米 C．26.4×105千米
B．2.64×106千米 D．264×104千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：1.1×105×24＝26.4×105＝2.64×106． 故选：B．
3．下列运算正确的是（ ） A．（xy3）2＝xy6 C．2x12÷x6＝2x6
【分析】A：根据积的乘方计算； B：化简二次根式后计算； C：根据单项式除以单项式计算； D：根据完全平方公式计算； 解：A：原式＝x2y6，∴不合题意； B：原式＝2
+
＝3
，∴不合题意；
B．
D．（a﹣3）2＝a2﹣9
C：原式＝2x6，∴合题意； D：原式＝a2﹣6a+9，∴不合题意；
故选：C．
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解：易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体． 故选：A．
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论． 解：∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°， ∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝55°， ∵∠4+∠EFC＝90°， ∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°， ∴∠2＝35°． 故选：B．
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 C．无实数根
B．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】利用新定义得到6x2﹣8x﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况． 解：由新定义得6x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ） A．C．
﹣﹣
＝100 ＝100
B．D．
﹣﹣
＝100 ＝100
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：故选：D．
8．0）如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，，且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
﹣
＝100．
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（） 即可
【分析】如图，作EH⊥BC于H．证明△ABC是等边三角形，求出OA＝BE＝2解决问题．
解：如图，作EH⊥BC于H．
∵四边形ABCD都是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵B（﹣2，0）， ∴OB＝2，OA＝2
，
由作图可知：BE平分∠ABC， ∴BE⊥AC， ∴BE＝OA＝2∴EH＝
，
EH＝3，
，BH＝
∴OH＝1， ∴E（1，故选：A．
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个
），
结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）； ②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是错误的；
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值有大于4的值，因此③是错误的；
由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|， ∴①是错误的；
②根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
③由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故③错误．
④由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确． 故选：B．
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉． 解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8﹣（x•2x）＝﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48﹣8x＝﹣8x+48，此时函数的图象为直线y
＝﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：
＝
．
【分析】利用负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，实数的运算法则对所求式子进行运算即可． 解：
＝+1
＝+1 ＝． 故答案为：． 12．不等式组
的整数解之和为 ﹣3 ．
【分析】首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再在解集范围内找到整数解，然后求其和即可． 解：
由①得：x≤， 由②得：x＞﹣4，
不等式组的解集为：﹣4＜x≤， 整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3， 故答案为：﹣3．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
，
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8， 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率＝故答案为．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为
π﹣
．
＝．
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积． 解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝2， ∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝2，OC＝1， ∴∠OCE＝90°，OE＝2OC， ∴∠EOC＝60°，CE＝∴阴影部分的面积为：故答案为
π﹣
．
，
﹣
﹣
＝
π﹣
，
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝2
，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝
，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对
或
．
称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为
【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可． 解：∵四边形ABMN是矩形， ∴AN＝BM＝∵CM＝CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS）， ∴BC＝AC＝2∴AC＝2AN， ∴∠ACN＝30°， ∵AB∥MN，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
，
，∠M＝∠N＝90°，
∵DA＝DF，
∴△ADF是等边三角形， ∴∠AFD＝60°， ∵∠DFE＝∠DAE＝30°， ∴EF平分∠AFD， ∴EF⊥AD，此时AE＝
．
．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝
综上所述，满足条件的EF的值为故答案为：
或
．
或．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分） 16．先化简
÷（
﹣x+1），然后从﹣
＜x＜
的范围内选取一个合适的整
数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题． 解：
÷（
﹣x+1）
＜x＜
中选取一
＝＝＝＝∵﹣
， ＜x＜
且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x＝﹣2时，原式＝﹣．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74 八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩 人数 年级 七年级 八年级
0 1
1 a
10 3
1 8
8 6
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
平均数、中位数、众数如表所示：
年级 七年级 八年级
平均数 84.2 84
中位数 77 m
众数 74 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，m＝ 88.5 ，n＝ 89 ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 460 人．
【分析】（1）根据总数据可得a的值，根据中位数和众数的定义可得m和n的值； （2）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得；
（3）分别计算该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的人数，相加可得结
论．
解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
八年级20人的成绩：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，
89，89，89，89，91，92，93，94，94，95， ∴m＝
＝88.5，n＝89，
故答案为：2，88.5，89．
（2）∵八年级读书知识竞赛的总体成绩的众数高于七年级，且八年级的中位数89高于七年级的中位数74，说明八年级分数不低于89分的人数比七年级多， ∴八年级读书知识竞赛的总体成绩较好． （3）
+
＝460，
则估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人． 故答案为：460．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，1.7，
＝1.4）
＝
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝进而求解．
解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D， ∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形，
CD，AD＝CD＝
BD，然后由AD﹣BD＝AB求出BD，
∴AD＝CD， ∴AC＝∵BC∥AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD，AD＝CD＝∵AD﹣BD＝AB， ∴
BD﹣BD＝20海里，
+1）海里，
）海里≈47海里，
＝
＝
BD，
＝
CD，
解得：BD＝10（∴CD＝∴AC＝
BD＝（30+10
CD≈66（海里），
答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E． （1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积； （3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
【分析】（1）求出A点坐标，代入反比例函数及一次函数解析式求得； （2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE求得；
（3）设A点坐标，求出kAE和kBC，由kAE＝kBC可得． 解：（1）∵B（3，3）， ∴＝3， ∴k＝9， ∴y＝， ∵OD＝3， ∴AC＝OD＝4， ∴＝4， ∴x＝， ∴A（，4），
∴，
∴，
∴；
（2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE ＝＝
+
＝＝6；
（3）设A（a，）， 直线AD：y＝mx+3过A点， ∴am+3＝， ∴m＝
，
设直线BC的解析式是：y＝cx+d， ∴∴c＝
， ，
∵BC∥AE， ∴
＝
，
∴a＝，
经检验．a＝是原方程的解， ∴C（，0），
∴BC2＝（3﹣）2+（）2， ∴BC＝
．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE． （1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得AC⊥OE，即可得OE∥BC，可证∠CBE＝∠EBO，
根据角平分线的性质可得CE＝EH； （2）根据sinA＝
＝
＝＝，设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0），根据AB＝6，可
求a的值，根据AD＝AB﹣BD＝6﹣4a，可求AD的值． 【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AC与⊙O相切， ∴OE⊥AC，且BC⊥AC， ∴OE∥BC， ∴∠CBE＝∠OEB， ∵EO＝OB， ∴∠EBO＝∠OEB
∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB， ∴CE＝EH； （2）解：∵sinA＝
＝
＝＝，
∴设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0） ∴OB＝2a，
∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝6， ∴a＝，
∵AD＝AB﹣BD＝6﹣4a， ∴AD＝．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝
，
且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝ ﹣ ，n＝ 27 ；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式； （3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
【分析】（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x和y的值代入相应的函数解析式求解；
（2）先求得第x天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售料分段列出函数解析式；
（3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解． 解：（1）∵第14天的售价为34元/千克， ∴当x＝14时，y＝34， ∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中， 14m﹣82m＝34， 解得：m＝﹣，
∵第27天的售价为27元/千克， ∴当x＝27时，y＝27， ∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中， 得：n＝27，
故答案为：﹣，27；
（2）由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36， ∴第x天的售价为y＝∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720， 当20≤x＜30时，
，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216， 综上，W＝
（3）当1≤x＜20，W＝1224时， ﹣3x2+102x+720＝1224， 解得：x1＝6，x2＝28， ∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天， 当20≤x≤30，W＝1224时， 36x+216＝1224， 解得：x＝28， ∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数， ∴x可取28，29，30共3天， 14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天．
22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
，过点F作EF⊥AC
，且x为正整数，
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 AE＝45° ； 【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结
BF ，直线AE与BF所夹锐角的度数是
合图②给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长． 【分析】（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．证明△ACE∽△BCF，推出＝
＝
，∠CAE＝∠CBF，可得结论．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
（3）分四种情形：如图③﹣1中，当点F在AC上时，如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，利用勾股定理求出BF即可，当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长．
解：（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝
BC，∠ACB＝∠ACE＝45°，
∵EF⊥CF， ∴∠CFE＝90°， ∴∠CEF＝∠FCE＝45°， ∴EC＝∴
＝
CF， ＝
，
∴△ACE∽△BCF， ∴
＝
＝BF，
，∠CAE＝∠CBF，
∴AE＝
∵∠CFB＝∠AFT， ∴∠ATF＝∠BCF＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°， 故答案为：AE＝
BF，45°．
（2）结论不变．
理由：如图②中，设AC交BF于点O，延长BF交AE于点J．
∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝45°，AC＝∴∠BCF＝∠ACE，∴△ACE∽△BCF， ∴
＝
＝BF，
，∠CAE＝∠CBF，
＝
，
BC，EC＝
CF，
∴AE＝
∵∠BOC＝∠AOJ， ∴∠AJO＝∠ACB＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°．
（3）如图③﹣1中，当点F在AC上时，过点F作FH⊥BC于点H．
∵△CFH是等腰直角三角形，CF＝2∴FH＝CH＝2，
，
此时点F到BC的距离为2，满足条件， ∴BH＝BC＝CH＝5﹣2＝3， ∴BF＝
＝
＝
，
∴AE＝BF＝．
如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，
BF＝∴AE＝
BF＝
＝
，
＝，
当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长为综上所述，满足条件的AE的值为
或
．
或，
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标； （3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）满足条件的点E有两种情形，需要分类讨论：
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，则OA′＝OA， ②当点E在x轴下方时，延长CE2交x轴于点G，则AC⊥CG．
（3）△AMN的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论： ①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝得5AE＝3AM，建立方程求解即可；
②若以MN为菱形对角线，如图3．由AM＝AN，建立方程求解即可； ③若以AM为菱形对角线，如图4．由
＝cosθ＝，得5AE＝3AN，建立方程求解即可．
﹣t，由
＝cosθ＝，
解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点， ∴B（3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3； （2）∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′， ∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠ECB+∠A′CO＝45°， ∴∠A′CO＝∠ACO，
∵∠A′OC＝∠AOC＝90°，OC＝OC， ∴△A′OC≌△AOC（ASA）， ∴OA′＝OA，
由x2﹣x﹣3＝0，得：x1＝∴A（
，0），
，x2＝3，
∴A′（，0），
设直线CA′的解析式为y＝kx+d， ∵C（0，﹣3），A′（，0），
∴，
解得：，
∴直线CA′的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，
解得：，，
∴E1（，2）；
②当点E在x轴下方时，
∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠BCO＝45°， ∴∠ACE2＝90°， 延长CE2交x轴于点G，
∵∠AOC＝∠COG＝∠ACG＝90°，
∴∠GCO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠GCO＝∠CAO， ∴△GCO∽△CAO， ∴
＝
，
∴＝，
∴OG＝4， ∴G（4，0），
设直线CG的解析式为y＝mx+n，
∵C（0，﹣3），G（4，0）， ∴
，
解得：，
∴直线CG的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，得：，
解得：，，
∴E2（，）；
或
；
综上，点E的横坐标为
（3）在Rt△ACO中，OA＝，OC＝3，∠AOC＝90°， ∴AC＝
＝
＝
，
设∠CAO＝θ，则tanθ＝＝＝，sinθ＝，cosθ＝，
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t，且0＜t＜①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝∵四边形AMND是菱形， ∴AE＝AN＝∴
﹣t，∠AEM＝90°，
﹣t，
，
＝cosθ＝，
﹣t）＝3t，
∴5AE＝3AM，即5（解得：t＝
；
②若以MN为菱形对角线，如图3， ∵AM＝AN， ∴t＝
﹣t，
；
解得：t＝
③若以AM为菱形对角线，如图4，设DN与AM交于点E， ∵四边形ANMD为菱形，
∴AM与DN互相垂直平分，即AE＝AM＝t，∠AEN＝90°， ∴
＝cosθ＝，
﹣t），
∴5AE＝3AN，即5×t＝3×（解得：t＝
；
综上，当t＝或或时，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形．
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