重庆市南开中学2020级高三数学文科12月月考试卷

2020.12.11

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a(3,4),与a同向的单位向量为

A．(3,4)

34C．(3,43455B．(5,5)

55)

D．(5,5)

2．已知A{x|yx21,B{y|yx21},则AB

A．(,1)[1,) B．[1,)

C．[0,)

D．[0，1]

3．已知点P分有向线段AB的比为13,则A分有向线段PB比为

A．－4

B．4

C．

14 D．14 4．已知a(sin55,sin35),b(sin25,sin65),则ab=

A．sin10

B．

3 12C．

2 D．12 5．在等差数列{an}中，已知S3=9，S9=54，则{an}的通项an为

A．an3n3

B．an3n

C．ann2 D．ann16．tan(3267)的值是

A．tan6 B．6C．cot67tan7

7 D．cot67 7．给定两个向量a(3,4),b(2,1),若(axb)(ab),则x的值等于

A．－3

B．

32 C．3

D．32 8．已知函数ysin2xcosx34(x[0,23]),则函数的值域为 A．[14,74] B．[1,2] C．[314,1] D．[4,2]

9．若tan()215,tan(4)4,则tan(4)

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

A．

3 18B．

13 18C．

3 22D．

13 2210．要得到函数ycos(2x的变换是

4)1的图象，只需将函数ysinx的图象作下列变换，其中正确

（ ）

1,再按向量（,1）平移 281B．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,再按向量（,1）平移

241C．先按向量（,1）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,

241D．先按向量（,1）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,

82A．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的

（其中kZ） log0.5(sin2xcos2x)的单调递增区间为（ ）

11．函数y

A．(k3)

485C．(k,k)

88,k3)

883D．(k,k)

88B．(k,k12．已知ABC为B60的非等腰三角形，且BAc,BCa,CAb，则关于x的二次方程

2acx22|b|x10的根的个数叙述正确的是

（ ）

A．无实根 B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法确定

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置上。 13．等比数列{an}中,an0,a4a625,则a5 。

14．若向量a,b的夹角为30°，|a|3,|b|4,则|2ab| 。 15．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,0)的

部分图象如图所示，则f(x) 16．在ABC中，AB,则下列不等式中正确的序

号为 。（将你认为正确的都填上） ①sinAsinB ②cosAcosB

③sin2Asin2B ④cos2Acos2B

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（13分）平面内给定三个向量a(3,2),b(0,2),c(4,1) （1）求|ab| （2）若(akc)//(2ab),求实数k的值

18．（13分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a求：b，c及sin C

219．（12分）已知函数f(x)2cosx3sin2xa(aR).

7,A60，b+c=5且b（1）若xR,求f(x)的单调递增区间； （2）若x[0,

20．（12分）已知等差数列{an}中,a18,a42 （1）求数列{an}的通项公式

（2）设Sn|a1||a2||an|,求Sn （3）设bn2]时,f(x)的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值。

2(nN*),Tnb1b2bn,是否存在整数m，使得对于任意

n(12an)nN*均有Tn

m恒成立，若存在，求m的最大值，若不存在，说明理由 1621．（12分）某港口水的深度y（米）是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作yf(t)，下

面是某日水深的数据： T（时） 0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 y（米） 10.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数yAsintb的图象。 （Ⅰ）试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似表达式；

（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶

停靠时，船底只需下碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果

该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）。

22．（12分）已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x1,x2都满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，当

x<0时，f(x)<0

（1）判断f(x)的单调性和奇偶性 （2）是否存在这样的实数m，当[0,2]时，使不等式

f[sin2(2m)(sincos)

4如存在，求]f(32m)0对所有恒成立，

sincos出m的取值范围，若不存在，说明理由。

[参考答案]

一、选择题：DBDBD CABCA AC 二、填空题

13．5 14．2 15．4sin(4x4) 16．①②④

17．解：（1）ab(3,2)(0,2)(3,4)

|ab|32425

（2）akc(3,2)k(4,1)(4k3,k2)

2ba2(3,2)(0,2)(6,2) (akc)//(2bb)

2(4k3)6(k2)

k2

18．解：abc2accosA

2227b2c2bc(bc)23bc253bc

bc6,又bc5,bc b2,c3

ac, sinAsinCsinCsinA33321 ca271419．解：（1）f(x)1cos2x3sin2xa2sin(2x当2x6)(a1)

6[2k2,2k62](kZ),

即x[k （2）当x[0,3,k](kZ)时，f(x)为增函数

2]时，2x7[,] 666sin(2x1)[,]， 62f(x)[a,a3] a34,

a1

当f(x)4时，2x即xk又x[0,62k2,kZ

6,kZ,

2],

x6

20．解（1）已知等差数列{an}中,

a18,a42,a4a1 241ana1(n1)d102nd （2）当n5时,Sna1a2anna1n(n1)d9nn2 2当n5时,Sn(a1a2an)2S5n29n40

29nn(n5)Sn2n9n40(n5) （3）由题意，bn21

n(12an)n(n1)Tnb1b2bn111111(1)()1223n(n1)223

111 ()1nn1n1Tn是一个单调增数列，要Tnmm1mm8 又因恒成立，只须T1，故1616216mZ,故m的最大值为7。

21．解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数yf(t)的周期T=12

振幅A=3 b=10

y3sint610

（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）

3sint61011.5

sint61 2解得，2k66t2k5(kZ) 612k1t12k5(kZ)

在同一天内，取k=0或1

1t5或13t17

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时

22．解：

（1）令xy0,有f(0)0,令x1x,x2x

有f(x)f(x)f(xx)f(0)0即f(x)f(x),故f(x)为奇函数

在R上任取x1x2,则x1x20,由题意知f(x1x2)0

则f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0故f(x)是增函数4

f(32m)0 （2）要使fsin2(2m)(sincos)sincos4只须fsin2(2m)(sincos)f(32m)f(32m)sincos4又由f(x)为单调增函数有sin2(2m)(sincos)32msincos令tsincos,则sin2t21,[0,],2t2sin(4)[1,2]432m0对t[1,2]恒成立t2t(2t)(2t)42t(2t)m2tt22,即mtt2tt2令g(t)t,t2g'(t)12t,原命题等价于t21(m2)t在t[1,2]时g'(t)0, 故g(t)在[1,2]上为减函数,

m3时,原命题成立.法2：由t1(m2)t2432m0对t[1,2]恒成立 t有(t2mt2)(t2)0,t20,故t2mt20在t[1,2]恒成立

21m20只需m32(2)2m20