16--17相似性的判定练习题

22.2 相似三角形的判定

一、精心选一选

1﹒下列说法中，不正确的是（ ）

A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似 B.底角为40°的两个等腰三角形相似 C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似 D.有个角为30°的两个等腰三角形相似

2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对

第2题图 第3题图 第5题图 第6题图

3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ） A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.

ADAEADAC＝ D.＝ ABACAEAB4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的

两个三角形是（ ）

① ② ③ ④

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，

AD1＝，DE＝4，则BC的长为（ ） DB2A.12 B.11 C.10 D.8

6﹒如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，

EF等于（ ） FC1231A. B. C. D.

2323则

7﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（ ）

A.4 B.7 C.3 D.12

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB 9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（ ）

A.33cm B.4cm C.23cm D.25cm 10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝ABAD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（ ）

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二、细心填一填

11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③⑤

ADAEADAE；④； ACABABACPEBP，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是PDPC__________________.（只填写序号）

第11题图 第12题图 第13题图

12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.

13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.

14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________.

第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则

AO等于__________. DO16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________. 三、解答题

17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.

18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE. （1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；

（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值.

19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点， ∠F＝∠C.

（1）若BC＝8，求FD的长；

（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.

20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B. （1）求证：ACCD＝CPBP；

（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.

21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H. （1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；

（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.

22.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. （1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.

23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？

22.2《相似三角形的判定》课时练习题

参

一、精心选一选

题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 A 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C 1﹒下列说法中，不正确的是（ ）

A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似 B.底角为40°的两个等腰三角形相似 C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似 D.有个角为30°的两个等腰三角形相似

解答：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A正确； B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B正确；

C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C正确；

D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D错误， 故选：D.

2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 解答：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC，

∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB， ∴△EDC∽△CBP， 故有3对相似三角形． 故选：D．

3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ） A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.

ADAEADAC＝ D.＝ ABACAEAB解答：∵∠DAE＝∠CAB，

∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△ADE， 当

ADAC＝时，△ABC∽△ADE， AEAB故选：C.

4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（ ）

① ② ③ ④

A.①与② B.①与③ C.②与③ D.②与④ 解答：由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为2，2，10， 图③中三角形的各边长分别为22，2，25，

∵222＝210＝， 225∴图①中三角形与图③中三角形相似，

故选：B.

5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，

AD1＝，DE＝4，则BC的长为（ ） DB2A.12 B.11 C.10 D.8

AD1＝，AD+DB＝AB， DB2AD1∴＝， AB3解答：∵

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， ∴

DEAD41＝，即＝， BCABBC3解得：BC＝12. 故选：A.

6﹒在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则

于（ ）

A. B.

EF等FC13123 C. D. 232解答：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ED∥BC，BC＝AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴

EFDE， CFCBEFk1， CF3k3设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k， ∴

故选：A.

7﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为（ ）

A.4 B.7 C.3 D.12 解答：∵DE：EA＝3：4， ∴DE：DA＝3：7， ∵EF∥AB， ∴

DEEF， DAAB33， 7AB∵EF＝3， ∴

解得：AB＝7，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝7， 故选：B.

8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB 解答：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠DCB， ∵PB＝PC，

∴∠PBC＝∠PCB，

∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB， ∴∠1＝∠2，故A正确， ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠E，

∴∠2＝∠E，故B正确； ∵∠CPF＝∠EPC，

∴△PFC∽△PCE，故C正确；

由已知条件不能证明△EFC∽△ECB， 故选：D.

9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（ ） A.33cm B.4cm C.23cm D.25cm 解答：∵E是AAC的中点，∴

AE1， AC2∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC， ∴

DEAE21，∴，

BCACBC2∴BC＝4cm，

∵AB＝AC，且四边形DEFG是正方形， ∴FC＝

1(4－2)＝1cm， 2由勾股定理得：EC＝EF2FC2＝5cm，

∴AC＝2EC＝25cm，

故选D.

10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝ABAD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（ ）

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 解答：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点， ∴AE＝CE＝BE， ∴∠ACE＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACE＝∠DAC， ∴CE∥AD，故①正确； ∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴

ACAD，即AC2＝ABAD，故②正确； ABAC∵CE∥AD，

FCAFEFDFFCEF，∴， AFDFAFDFACDE∴，故④正确， AFDF∴

∵△CDF与△BCE不具备相似的条件，∴③不正确， 故选：C.

二、细心填一填

9； 51511514. ； 15. ； 16. ；

424ADAEADAE11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④； ACABABACPEBP⑤，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是PDPC11. 4，①②④⑤； 12. △APB∽△CPA； 13. __________________.（只填写序号） 解答：使△BPE∽△CPD的条件有4个，

∵∠CPD＝∠BPE，∠B＝∠C，∴△BPE∽△CPD，故①符合； ∵∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，

∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故②符合 ∵∠A＝∠A，

ADAE， ABAC∴△ACE∽△ABD，

∴∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，

∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故④符合；

∵∠CPD＝∠BPE，

PEBP， PDPC∴△BPE∽△CPD，故⑤符合， 故答案为：4，①②④⑤.

12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________. 解答：∵AP＝5，PB＝1，PC＝5，

∴

AP5PB15，， PC5AP55∵∠APB＝∠CPA， ∴△APB∽△CPA，

故答案为：△APB∽△CPA.

13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.

解答：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ABC∽△ACD， ∴

ABAC， ACAD∵AB＝5，AC＝3，

953，∴AD＝， 53AD9故答案为：．

5∴

14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________. 解答：∵∠AEC＝∠BED，

BEDE时，△BDE∽△ACE， AECE45即， 3CE15∴CE＝，

415故答案为：．

4∴当

15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则解答：∵∠ADO＝∠ADO，∠DOA＝∠DAE＝90°， ∴△AOD∽△EAD，

AO等于__________. DOAOAE1， DOAD21故答案为：.

2∴

16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________.

解答：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，∴OC＝5，

∵A与C关于直线MN对称， ∴AC⊥MN，∴∠COM＝90°， ∵在矩形ABCD中，∠B＝90°， ∴∠COM＝∠B＝90°， 又∵∠MCO＝∠ACB， ∴△COM∽△CBA，

OCOM， BCAB15∴OM＝，

415故答案为：.

4∴

三、解答题

17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE. 解答：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°，

∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°， ∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°， ∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°， ∴∠1＝∠3，

∴△ABD∽△DCE.

18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE. （1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；

（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值. 解答：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE＝AB， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠DAE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAE＝∠D；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴

EFBE， FAAD11BE1BC＝AD，即， 22AD2∵E为BC的中点， ∴BE＝

∴EF：FA＝1：2．

19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点， ∠F＝∠C.

（1）若BC＝8，求FD的长；

（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE. 解答：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE＝

1BC＝4，DE∥BC． 2∴∠AED＝∠C． ∵∠F＝∠C， ∴∠AED＝∠F， ∴FD＝DE＝4；

（2）∵AB＝AC，DE∥BC． ∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE， ∵∠AED＝∠F， ∴∠ADE＝∠F，

又∵∠AED＝∠AED， ∴△ADE∽△DFE．

20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B. （1）求证：ACCD＝CPBP；

（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长. 解答：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C，

∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC， ∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD，

BPAB， CDCP∴ABCD＝CPBP，

∴

∵AB＝AC，

∴ACCD＝CPBP；

（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP． ∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C． ∵∠B＝∠B，

BABP． BCBA10BP∵AB＝10，BC＝12，∴，

121025∴BP＝．

3∴△BAP∽△BCA，∴

21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H. （1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；

（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长. 解答：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠ECF＝90°，

∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∴△ABE∽△ECF； （2）△ABH∽△ECM， ∵BG⊥AC，∠ABC＝90°，

∴∠ABH+∠BAG＝90°，∠ECM+∠BAG＝90°， ∴∠ABH＝∠ECM， 又∠BAH＝∠CEM， ∴△ABH∽△ECM；

（3）作MN⊥BC于点N，

∵AB＝BE＝EC＝2，MN∥AB， ∴

ABMN1， ，∠AEB＝45°

BCNC21NC， 2132， 3∴∠MEN＝45°，NC＝2MN， ∴MN＝EN＝

∵NC+EN＝EC＝2，∴MN＝EN＝2×＝∴EM2＝MN2+EN2＝(∴EM＝2222

)+()， 3322. 322.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. （1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长. 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，

∴AM＝12252＝13，AD＝12，

1AM＝6.5， 2BMAM513∵△ABM∽△EFA，∴，即， AFAE6.5AE∵F是AM的中点，∴AF＝

∴AE＝16.9，

∴DE＝AE－AD＝4.9．

23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？ 解答：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似， 由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x， 分两种情况考虑：

当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA， ∴

BPBQ82BCAB，即x164x8， 解得：x＝0.8，

当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；

当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC， ∴

BPBQBABC，即82x4x816， 解得：x＝2，

当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．

综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．