第1章有理数小结

一、本章要求 1．本章教学要求

⑴ 通过实际例子，感受引入负数的必要性. 会用正负数表示实际问题中的数量.

⑵ 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母），会比较有理数的大小. 通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法.

⑶ 掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 能运用有理数的运算解决简单的问题.

⑷ 理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）.通过实例进一步感受大数，并能用科学记数法表示. 了解近似数与有效数字的概念. 2．本章结构

有理数

相反数 加法 减法 转化

加 加 减 加

法 法 法 减

法 运 法 混

则 算 则 合

律 运

算

正数和负数 数与点的对应 数轴 绝对值 有理数比大小 乘法 转化 除法乘方 乘 法 法 则 运 算 律 除 法 法 则 乘 除 混 合 运 算 乘方运算混合运算 科 学 记 数 近似数与有效数字 、法 3．重点与难点

本章重点：有理数的运算.

初中代数中运算贯穿始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用、综合运算的能力及选择简捷合理的运算途径上，这要求学生要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧. 有理数的运算是初等数学的基本运算，掌握有

1

理数的运算是学好后续内容的重要前提.

本章难点：对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解.

学生能认识到运算法则有一定的合理性就可以了，重要的是用法则进行运算，并运用有理数运算解决问题. 二、课时安排

教参建议本章教学时间约19课时：

1.1 正数和负数 2课时 （1课时）

1.2 有理数 4课时 （5课时） 1.3 有理数的加减法 4课时 （4课时） 1.4 有理数的乘除法 4课时 （4课时） 1.5 有理数的乘方 3课时 （4课时） 数学活动

小结 2课时 （3课时） 三、对教学的几点建议 1．充分利用好课本.

2．注意不要赶课时，把握好教学难度的要求.

可以加深要求的：近似数和有效数字一节中没有要求用科学记数法保留有效数字，但作为较高要求，可以让学生练一练.

3．充分利用教材提供的教学平台，和学生一起探索知识的形成过程，充分利用计算机辅助教学.

4．加强学生对概念的理解，熟悉符号语言的表达.

5．充分估计到有理数运算的教学难度，落实基本运算技能，重视算理、法则、运算律的理解和应用.

6．注意培养学生运用数形结合思想、分类讨论思想、转化思想解决问题的意识. 7．适当进行对探索规律型问题的研究. 四、相关练习 (一) 概念

1．有没有最小的正整数？有没有最大的负整数？有没有最小的整数？有没有最小的正数？有 没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有绝对值最小的有理数？ 2．一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是 ； 一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ；一个数的立方等于它本身，这个数是 . 3．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a1998b1998等于 . 4．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e<0且e1，那么(ab)2003(cd)2004e2005的值为 .

5．若19a+98b=0，则ab是（ ）

A．正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数

2

6．若(x2)2y50，则xy . 7．a为有理数，下列说法正确的是（ ）

1211的值不小于

2221212 C. (a)为负数 D. a为正数

222A．(a)为正数 B. a+

8．式子5(ab)2的最大值是 ，当它取最大值时，a与b的关系是 . 9．下列各组数中，结果一定相等的为（ ）

A．a2与(a)2 B. (a)2与a2 C. a2与(a)2 D. (a)2与(a)2

10．A、B两地相距6987000m，用科学记数法表示为 km；近似数2.30精确

到 位，它的有效数字是 ；用四舍五入法求 1549的近似数（保留两个有效数字）是 .

11．绝对值大于1.7而不大于4的整数有 . 12．(1)设a<0，b>0，且ab，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 .

(2)设a<0，b>0，且a+b<0，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 . (3)设ab<0，a+b<0，且a<0，用“<”号把a、-a、b、-b连接起来为 .

a，b，，b，cc13．已知a<0，b<0, c>0, ca, bc，用“<”号把a，连接起来

为 .

14．a、b、c、d是互不相等的有理数，且abbccd1，则ad= . 15．代数式x11x12x13的最小值为 ，此时x= . 16．代数式x2x2x3x1的最小值为 . 17．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则a-3= . 18．在数轴上，若点P表示-2，则距P点5个单位长的点表示的数是 . 19．已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，则所有满足

条件的点B与原点O的距离的和为 . 20．(1)已知：x4，y3，且xy<0，则x -y= .

(2)已知：x4，y3，且x(3)已知：x4，y9，且xyyx，则x -y= . (4)已知：x4，y9，则x -y= . 21．比较

22132和a的大小关系；a和a的大小关系；a和a的大小关系. a(二) 运算

3

22．计算下列各题

112211⑵ (6.5)(4)8.75(3)5

423157⑶ 1() 4424531⑷ 148()

241661531⑸ ()()1(3)

3211442111⑹ 30()

561012111⑺ ()()

36936471⑻ 899(1)

8822　224⑼ 11.35()1.05()7.7()

39324351⑽ 0.7 141927140.949422⑾ 43(43)

⑴ (2)(3)2.25()

14⑿ 113()22334.5

233⒀ 221()

132⒁ (11)22.531()

25311323 ⒂

(0.2)30.54421011215225255211⒃ 58.5(3)222()

4223⒄ 1011.1210109.93

12114(1)23()212(2)2334 ⒅

118()3(1)21222⒆ 已知(a1)ab20，

22求

1111的值. ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a1998)(b1998)4

⒇ 13131111579 15356399(三) 实际应用

23．某股民在上周五买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单

位：元）. 星期 每股涨跌(元) 一 +4 二 +4.5 三 -1 四 2.5 五 -6 根据上表回答问题

(1) 星期三收盘时，该股票每股多少元?

(2) 本周内该股票最高价是每股多少元？最低价是多少元?

(3) 已知买进股票时付了1.5‟的手续费，卖出时需付成交额1.5‟的手续费和1‟的交易费，若在本周五收盘前将全部股票一次性卖出，他的收益情况如何? 24．在篮球比赛中，往往要比较两个球队队员的平均身高，平均身高高的球队实力相对好一些.

下面给出一个球队队员的身高（单位：厘米）：190，195，200，202，210，221，197，190，200，198. 计算这支球队的平均身高. (四) 探索规律

25．观察下面三行数，

2, -4， 8， -16， 32， -64，„ ①

-2， -8， 4， -20， 28， -68，„ ② -1， 2， -4， 8， -16， 32，„ ③

(1) 第①行第10个数是多少？

(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3) 取每行第10个数，计算这三个数的和. 26．将正整数1，2，3，4，5，„，按以下方式排放： 1 4 → 5 8 → 9 12„

↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 2 → 3 6 → 7 10 → 11

则根据排放规律，从2002到2004的箭头依次为（ ） A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓

27．阳阳和明明玩上楼游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的

台阶数为一级、二级、三级、…，逐步增加时，楼梯的上法数依次为1、2、3、5、8、13、21、„（这就是著名的斐波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有 种上法. 28．下面是一个三角形数阵： 1 2 4 2

3 6 9 6 3

4 8 12 16 12 8 4

„„

根据该数阵的规律，猜想第10行所有数的和是 .

5

268422144888?29．观察右图寻找规律，在“？”处填上的数字是 . 30．古希腊数学家把数1、3、6、10、15、21、„叫做三角形数，

它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数 的差为 . 31．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

(1) f(1)0，f(2)1，f(3)2，f(4)3，„

111f3，f4，f5，„ 3451利用以上规律计算：ff(2008) . 200832．利用计算器探索：

332 ；3332 ；33332 ； 333332 ；

2由此你可以猜出33333333 . 33．用计算器探索：

1(2) f2，

2333333444444442222= ；  ； ；

123211234321121由此你可以猜想出类似的等式 . 34．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

1 2 3 4 5 输入 „ 输出 1 22 53 104 175 26„ 那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入数据是n（n是正整数）时， 输出的数据是 .

35．观察下列等式： 9 - 1 = 8 16 - 4 = 12 25 - 9 = 16 36 -16 = 20 „„

这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律

为 . 36．在一列数：2，32，43，54，65„中，第n个数（n为正整数）是 .

b2b5b8b1137. 一组按规律排列的式子：,2,3,4,ab0，其中第7个式子是 ，aaaa第n个式子是 （n为正整数）．

38. 观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+ „ + 8n (n是正整数)的结果为（ ）

6

A. 2n1 B. 18n C. 18(n1)

2 D. 4n4n

239. 已知一个等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向

外作小等边三角形（如图所示）． „„

n=3 n=4 n=5

当n = 8时，共向外作出了 个小等边三角形；当n = k时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k的式子表示）． (五) 阅读理解

40. 阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示

为AB.

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点， 如图1，ABOBbab 当A、B两点都不在原点时，

(1) 如图2，点A、B都在原点的右边，

O (A) 0 O A 0

图1

B

b

B

ABOBOAbabaab

(2) 如图3，点A、B都在原点的左边，

ABOBOAbab(a)abab

(3) 如图4，点A、B在原点的两边，

ABOAOBaba(b)abab

综上，数轴上A、B两点的距离ABab

回答下列问题：

(1) 数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，

数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ， 数轴上表示-1和3两点之间的距离是 .

(2) 数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是 ，

如果AB2，那么x为 .

a

图2

b

O 0

B A

b

图3

a

B O A

b 0

图4

a

(3) 当代数式x1x2取最小值时，相应的x的取值范围是 .

参考答案：

7

1．略； 2．0；非负数；负数和0；±1；0和1；0和±1；0和-1；0和±1；

3．1； 4．0； 5．B； 6．-7； 7．D； 8．5，互为相反数； 9．C； 10．6.987103， 百分位，2，3，0， 1.5103； 11．±2，±3，±4； 12．(1)a<-b111>x；当-11时，1时，x>x；当x=0或±1时，x=x；

21．(1)当x<-1或0(3)当01时，x>x；当x=0或1时，x=x； 22．⑴ -3； ⑵8； ⑶ 2228511； ⑷ -10； ⑸ 5； ⑹ 450； ⑺； ⑻799；

79435531⑼ -8； ⑽ -28； ⑾ -180； ⑿ ； ⒀ ； ⒁ ； ⒂ -121； ⒃ -19；

3482219995⒄ 81； ⒅ ； ⒆； ⒇ 25

200011523．(1)67.5元；(2)68.5元，59元；(3)亏了618.75元； 24．200.3厘米；

25．(1) -1024；(2)第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；

(3) -1540；

26．B； 27．89； 28．103； 29．162； 30．47； 31．1； 32．1089，110889，11108889，1111088889，1111111088888889； 33．121，12321，1234321，34．

5555555555123454321；

123454321n822，2； 35．(n2)n4(n1)； 36．(1)n1(n1)n； 65n13n1b20nb37．7，(1)； 38．A 39．18，3(k-2) naa40．(1)3，3，4；(2)x1，-3或1；(3) -1≤x≤2

8