菱形的判定

1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)

2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明

和计算．(难点) 一、情境导入

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．

二、合作探究

探究点一：四边相等的四边形是菱形

如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．

解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据“四边相等的四边形是菱形”得到结论．

证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.

∵∠B＝90°，AB＝6cm， BC＝8cm，

∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10(cm)， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形．

方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．

探究点二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

如图所示，▱ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．

解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC.

∴∠FDO＝∠EBO. 又∵EF垂直平分BD， ∴OB＝OD.

在△DOF和△BOE中， 

∠FDO＝∠EBO，

OD＝OB， ∠FOD＝∠EOB，

∴△DOF≌△BOE(ASA)． ∴OF＝OE.

∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形．

方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分．

探究点三：菱形的判定和性质的综合运用

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，

连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；

(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形BCFE的边长为4，高为23，∴S菱形BCFE＝4×23＝83.

方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．

三、板书设计

经历菱形的猜想、证明的过程，进一步提高学生的

推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.